Diagrames de blocs i simplificació

Explica els elements d'un diagrama de blocs d'un sistema de control: què representen els blocs, les fletxes, el punt de suma i el punt de ramificació, posant com a exemple la calefacció d'un habitatge amb termòstat.

Explica amb les teves paraules què és la funció de transferència d'un bloc (la relació entre la seva sortida i la seva entrada) i per què, quan els blocs són guanys constants, es pot treballar amb nombres en lloc d'equacions diferencials.

En un diagrama de blocs, distingeix entre senyal i variable física: dona tres exemples de senyals en el control d'un forn (temperatura de referència en graus, tensió del termoparell en mil·livolts, potència de la resistència en watts) i explica quin bloc converteix les unes en les altres.

Dos blocs en sèrie tenen funcions de transferència $G_1 = 5$ i $G_2 = 2$. a) Calcula la funció de transferència equivalent del conjunt. b) Si a l'entrada s'aplica un senyal de $3$ unitats, calcula el senyal a la sortida de cada bloc. c) Explica la regla general per reduir blocs en sèrie.

Tres blocs en sèrie tenen guanys $G_1 = 2$, $G_2 = 5$ i $G_3 = 0{,}5$. a) Calcula el guany equivalent. b) Per a una entrada de $4$ unitats, calcula la sortida de cada bloc intermedi i la final. c) Explica per què l'ordre dels blocs no altera el guany total però sí els senyals intermedis.

El cabal de sortida $q$ (en $\text{m}^3/\text{h}$) d'una vàlvula de control no lineal respon a la corba $q(u) = u^2$, on $u$ és el senyal de control en volts ($u \in [0, 5]\text{ V}$). La vàlvula s'integra en un llaç tancat lineal dissenyat i sintonitzat per operar al voltant del punt de treball nominal $u_0 = 2\text{ V}$.

1. a) Linealitza el comportament de la vàlvula al voltant d'$u_0 = 2\text{ V}$ mitjançant el desenvolupament en sèrie de Taylor de primer ordre i calcula la funció de transferència incremental $G_v = \frac{\Delta q}{\Delta u}$ en aquest punt.
2. b) Suposa que el llaç tancat és estable i té un comportament òptim a $u_0 = 2\text{ V}$. Prediu i justifica com canviarà la resposta del sistema (rapidesa, estabilitat i oscil·lacions) si el punt d'operació canvia bruscament a plena obertura ($u = 4{,}5\text{ V}$) o a cabals mínims a prop del tancament ($u = 0{,}2\text{ V}$).
3. c) A partir de les teves deduccions, rebat amb arguments quantitatius la següent afirmació: «Com que el controlador implementat és lineal i de paràmetres fixos, el llaç respondrà amb la mateixa rapidesa i esmorteïment davant de variacions de cabal independentment del nivell en què es trobi treballant la vàlvula».

Un punt de suma rep tres senyals: $a$ amb signe $+$, $b$ amb signe $-$ i $c$ amb signe $-$. Escriu l'expressió del senyal de sortida i calcula el seu valor per a $a = 10$, $b = 3$ i $c = 4$. Què representaria en un sistema de control que un senyal entri amb signe negatiu?

Un punt de ramificació duplica un senyal cap a dos blocs. Explica si el senyal es «divideix entre dos» en valor o es copia íntegrament a ambdues branques, i per què en diagrames de blocs la resposta és la segona (el senyal és informació, no un corrent que es reparteix).

Dos blocs en paral·lel reben la mateixa entrada i les seves sortides es sumen: $G_1 = 4$ i $G_2 = 6$. a) Calcula la funció de transferència equivalent. b) Explica com canviaria el resultat si el punt de suma restés la segona sortida en lloc de sumar-la. c) Compara amb el cas sèrie: per què en paral·lel se sumen i en sèrie es multipliquen?

Un llaç de realimentació negativa té $G = 10$ a la cadena directa i $H = 0{,}1$ a la de retorn. a) Calcula la funció de transferència en llaç tancat $M = \frac{G}{1 + G \cdot H}$. b) Compara el guany en llaç tancat amb el de llaç obert i explica què es perd i què es guanya en tancar el llaç (precisió, rebuig de pertorbacions).

Un llaç de realimentació negativa té $G = 20$ i $H = 0{,}05$. a) Calcula el guany en llaç tancat $M = \frac{G}{1 + G \cdot H}$. b) Repeteix el càlcul per a $G = 10$ i $H = 0{,}1$, i descobreix què tenen en comú ambdós llaços. c) Raona cap a quin valor tendeix $M$ quan el producte $G \cdot H$ és molt gran i de què depèn aleshores el guany del sistema.

En un llaç amb realimentació unitària ($H = 1$) i $G = 50$: a) calcula la funció de transferència $M$ i la sortida per a una referència de $10$ unitats. b) Calcula l'error $e = r - y$. c) Explica per què augmentar $G$ redueix l'error però mai no l'anul·la en un sistema sense integrador.

Un tècnic de manteniment afirma: «Com que el sistema realimentat de la figura té un guany directe total elevat ($G_1 \cdot G_2 = 10$, amb $G_1 = 2$ i $G_2 = 5$, en sèrie) i la referència és constant ($r = 10$), la sortida mesurada pel sensor, de guany $H = 0{,}2$ en la realimentació negativa, hauria d'igualar exactament la referència, fent que el senyal d'error a l'entrada de l'actuador sigui zero si tot funciona bé».

1. a) Demostra analíticament si l'afirmació del tècnic és correcta o errònia: redueix el diagrama al seu bloc equivalent pas a pas (primer els blocs en sèrie i després el llaç realimentat), calcula el valor de la sortida $y$ en règim permanent i determina el valor numèric exacte del senyal d'error actuant $e = r - H \cdot y$.

1. b) Justifica físicament la paradoxa: per què en un llaç amb acció proporcional és imprescindible que l'error $e$ NO sigui nul per mantenir una sortida estacionària diferent de zero?

1. c) Si s'exigeix que l'error en règim permanent es redueixi a la meitat sense alterar el guany del sensor ($H = 0{,}2$), prediu quina modificació hauries de fer sobre el guany directe i explica quines conseqüències negatives podria provocar aquesta mesura en un actuador físic real.

S'analitza el posicionament angular d'un eix motor mitjançant un sistema de control en cascada. La planta del motor ($G_2 = 4$) compta amb un llaç intern de realimentació de velocitat negativa ($H_2 = 0{,}25$). Abans d'aquest llaç intern s'ubica un preamplificador ajustable de guany $K$. Tot el conjunt es tanca mitjançant un llaç extern de posició amb realimentació negativa unitària ($H_1 = 1$).

1. a) Modela el diagrama de blocs del sistema i obtén la funció de transferència equivalent global $M = \frac{Y}{R}$ en funció de $K$.
2. b) Si s'ajusta $K = 2$, calcula la sortida $y$ en règim permanent davant d'una entrada esglaó de referència $r = 10$ i calcula l'error estacionari de posició.
3. c) Un estudiant proposa simplificar el muntatge eliminant la realimentació interna ($H_2 = 0$) i ajustant un nou valor de $K$ per obtenir exactament la mateixa funció de transferència estàtica global. Determina aquest valor de $K$ i rebat la seva proposta justificant quin avantatge dinàmic i de rebuig a pertorbacions internes al motor es perdria en suprimir el llaç menor.

Un dipòsit cilíndric de secció transversal $A = 2\text{ m}^2$ disposa d'una bomba de cabal d'entrada $q_e(t) = K_b \cdot u(t)$, amb $K_b = 0{,}05\text{ m}^3/(\text{s}\cdot\text{V})$, controlada per tensió $u(t)$. El dipòsit proveeix una xarxa de consum que extreu un cabal imprevist $q_s(t)$ (pertorbació). El nivell real $h(t)$ es mesura amb un sensor lineal de guany $K_s = 2\text{ V/m}$.

1. a) Dedueix l'equació diferencial del balanç de matèria al dipòsit, expressa-la en el domini de Laplace ($s$) i elabora el diagrama de blocs detallat del llaç tancat de control, identificant clarament les funcions de transferència de cada bloc, el punt de suma de la pertorbació i les unitats físiques de cada senyal.
2. b) Demostra analíticament per què la planta del dipòsit actua com un integrador natural i indica quina classificació de 'tipus de sistema' (tipus 0, 1 o 2) adquireix el conjunt en llaç obert si s'utilitza un regulador proporcional $K_p$.
3. c) Per a aquest regulador proporcional ($K_p = 4\text{ V/V}$), prediu quantitativament l'error en règim permanent que patirà el nivell d'aigua davant d'un esglaó unitari de referència en consigna de nivell ($h_{ref} = 1\text{ m}$ amb $q_s = 0$) i compara'l amb l'error en règim permanent que provocarà una extracció contínua i constant de cabal $q_s = 0{,}02\text{ m}^3/\text{s}$.