Resolução de problemas por meio de sistemas

A diferença entre dois números é $14$. Se ao número maior somarmos o dobro do menor, o resultado é $53$. Encontre ambos os números montando um sistema de equações.

O perímetro de um retângulo mede $54 \text{ cm}$. Sabe-se que a base é $3 \text{ cm}$ maior que o dobro da altura. Determine as dimensões do retângulo.

A soma das idades de Salma e de seu avô é $72$ anos. Há $6$ anos, a idade do avô era o quíntuplo da idade de Salma. Elabore um sistema de equações e encontre as idades atuais de ambos.

O Hugo tenta resolver o seguinte problema do livro dele: «A Marta tem atualmente o triplo da idade do irmão Lucas. Daqui a $4$ anos, a idade da Marta será apenas o dobro da que o Lucas tiver. Quantos anos eles têm atualmente?». Para resolvê-lo, o Hugo formula este sistema, chamando de $x$ a idade atual da Marta e de $y$ a do Lucas:

Ao subtrair $4$ em ambos os membros da segunda equação, o Hugo obtém $x = 2y$, o que contradiz diretamente a primeira equação ($x = 3y$). O Hugo afirma então que «o enunciado está mal redigido e não tem solução lógica na realidade».

1. a) Localize o erro conceitual que o Hugo cometeu ao traduzir para a linguagem algébrica a condição «daqui a $4$ anos».
2. b) Explique com as suas palavras por que a formulação dele está incorreta e escreva a segunda equação de forma adequada.
3. c) Resolva o sistema corrigido e verifique que as idades obtidas cumprem exatamente as duas frases do enunciado original.

Um comerciante quer preparar $50 \text{ kg}$ de uma mistura de café. Ele utiliza um café de $6 \text{ \text{R\$}\ /kg}$ e outro de $8 \text{ \text{R\$}\ /kg}$. Se deseja que o preço da mistura seja exatamente $7,20 \text{ \text{R\$}\ /kg}$, quantos quilos de cada tipo de café ele deve utilizar?

Uma investidora distribui um capital de $\text{R\$}\ 20\,000$ em dois fundos de investimento. O primeiro oferece uma rentabilidade anual de $4\%$ e o segundo de $6\%$. Ao final de um ano, os lucros totais de ambos os fundos chegam a $\text{R\$}\ 1\,050$. Que quantia ela investiu em cada fundo?

Um ourives dispõe de duas ligas de ouro. A primeira contém $80\%$ de ouro e a segunda $60\%$ de ouro. Ele quer fundir partes de ambas para obter $50 \text{ gramos}$ de uma nova liga que tenha $75\%$ de ouro. Quantos gramas de cada liga ele deve utilizar?

Em um estacionamento há motocicletas e carros. No total são contados $35$ veículos e $114$ rodas (sem contar as de reserva). Calcule quantas motocicletas e quantos carros há no estacionamento.

Um cofre contém $45$ moedas que somam um total de $14,40$ reais. Se todas as moedas são de $20 \text{ cêntimos}$ e de $50 \text{ cêntimos}$, descubra quantas moedas há de cada tipo.

Em um teste de múltipla escolha com $30$ questões, são concedidos $5$ pontos por cada resposta correta e são descontados $2$ pontos por cada resposta incorreta ou em branco. Um estudante obteve $94$ pontos. Quantas questões respondeu corretamente?

O departamento de Educação Física de uma escola compra material esportivo de um distribuidor oficial em duas encomendas sucessivas:

• Na primeira encomenda, adquirem $3$ bolas de basquete e $4$ bolas de vôlei por um valor total de $146\text{ \text{R\$}\ }$.

• Na segunda encomenda, compram $5$ bolas de basquete e $4$ bolas de vôlei por um valor total de $194\text{ \text{R\$}\ }$.

1. a) Formule o sistema de equações lineares correspondente, chamando de $x$ o preço de uma bola de basquete e de $y$ o preço de uma bola de vôlei.
2. b) Analise os três métodos algébricos habituais (substituição, igualdade e adição). Justifique qual deles poupa mais cálculos e minimiza o risco de erro ao resolver este sistema em particular.
3. c) Resolva o sistema aplicando o método que você escolheu no item b) e verifique o resultado nos valores originais de ambas as encomendas.

A soma dos algarismos de um número de dois algarismos é $12$. Se invertermos a ordem dos seus algarismos, obtemos um novo número que é $18$ unidades maior que o número original. Qual é esse número?

Se ao numerador e ao denominador de uma fração for somado $2$, a fração resultante é equivalente a $\frac{2}{3}$. Se, em vez disso, for subtraído $1$ de ambos, a fração é equivalente a $\frac{1}{2}$. Encontre a fração original.

Dois veículos partem simultaneamente às $09:00\text{ h}$ para fazer o trajeto entre Madrid e Zaragoza ($315\text{ km}$ ao longo da autoestrada A-2) viajando em sentidos opostos: um veículo ligeiro de passageiros parte de Madrid em direção a Zaragoza e uma carrinha de distribuição parte de Zaragoza em direção a Madrid. Devido à carga e ao tipo de veículo, a velocidade média do ligeiro de passageiros supera em $15\text{ km/h}$ a da carrinha. Ambos os veículos cruzam-se na autoestrada após exatamente $1\text{ hora e } 30\text{ minutos}$ ($1,5\text{ horas}$) de trajeto contínuo.

1. a) Define as incógnitas indicando com precisão as suas unidades de medida.
2. b) Utilizando a relação física $d = v \cdot t$, formula um sistema linear de duas equações com duas incógnitas que modele a diferença de velocidades e a soma de distâncias percorridas até ao instante do cruzamento.
3. c) Resolve o sistema para determinar a velocidade média de cada veículo.
4. d) Interpreta o resultado: raciocina se ambos os condutores respeitaram o limite genérico legal de velocidade em autoestradas em Espanha ($120\text{ km/h}$) e calcula a que distância de Madrid ocorreu o encontro.

Um reservatório pode ser enchido por meio de duas torneiras, A e B. Se ambas forem abertas ao mesmo tempo, o reservatório enche em $6$ horas. Sabe-se que a torneira A, sozinha, demora $5$ horas a menos que a torneira B para encher o reservatório completo. Formule um sistema de equações e encontre quanto tempo cada torneira demoraria para enchê-lo separadamente.