Sistemas de equações lineares

Verifique se o par de valores $x = 3$, $y = -2$ é solução do seguinte sistema de equações. Justifique sua resposta mostrando os cálculos.

Calcule o valor dos coeficientes $a$ e $b$ para que o par $(x, y) = (2, -1)$ seja a solução do seguinte sistema de equações:

Observe a seguinte representação gráfica de um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas. Determine a solução do sistema a partir do gráfico e classifique-o de acordo com o número de soluções.

Resolva o seguinte sistema de equações lineares utilizando o método da substituição:

Aplique o método da igualação para encontrar a solução do seguinte sistema:

Utilize o método da redução para resolver o seguinte sistema de equações:

Para resolver o sistema de equações:

três colegas de turma propõem caminhos diferentes:

• A Júlia propõe isolar $x$ na primeira equação e aplicar o método de substituição.

• O Rafael sugere subtrair diretamente a segunda equação da primeira para aplicar o método de redução (ou eliminação).

• A Beatriz prefere isolar a incógnita $y$ em ambas as equações e desenhar com régua as duas retas num plano cartesiano para localizar o ponto de interseção.

1. a) Compare as três propostas e justifique qual resulta ser mais direta, rápida e com menor risco de erro de cálculo. Justifique a sua escolha prestando atenção aos coeficientes das variáveis.
2. b) Aponte que limitação técnica teria o método gráfico da Beatriz caso a solução do sistema fosse um par de números não inteiros (por exemplo, com frações ou dízimas periódicas).
3. c) Resolva o sistema utilizando o método algébrico que você considerou mais conveniente no item a).

Resolva o seguinte sistema de equações lineares, efetuando as operações prévias para simplificar os parênteses e os denominadores:

A diferença entre dois números é $14$ e o dobro do maior mais o menor é igual a $55$. Monte um sistema de equações e calcule o valor de ambos os números.

Em uma fazenda há vacas e galinhas. Se no total são contadas $35$ cabeças e $110$ patas, elabore um sistema de equações lineares para descobrir quantos animais há de cada tipo.

Num cinema de Belo Horizonte, o preço do ingresso normal é de $8,50$ reais e o do ingresso com desconto para estudantes é de $6,00$ reais. Um grupo de 10 amigos foi na sexta-feira ao cinema e pagou na bilheteria um total de $67,50$ reais pelos seus ingressos.

1. a) Identifique com clareza as incógnitas $x$ e $y$ e escreva o sistema de duas equações lineares que modela esta situação de compra.
2. b) Sem resolver algebricamente o sistema, verifique por substituição se o grupo poderia ser composto por 5 pessoas com ingresso normal e 5 com ingresso de desconto para estudantes.
3. c) Resolva o sistema pelo método algébrico que preferir e determine exatamente quantos amigos compraram cada tipo de ingresso.

Há $4$ anos, a idade de um pai era o quádruplo da idade de sua filha. Daqui a $8$ anos, a idade do pai será o dobro da idade da filha. Elabore um sistema de equações e determine as idades atuais de ambos.

Uma perfumaria mistura dois tipos de colônias: uma custa $12$ reais/litro e a outra $20$ reais/litro. Desejam obter uma mistura de $50$ litros que tenha um preço final de $15$ reais/litro. Quantos litros de cada tipo de colônia devem usar?

Em um teste de múltipla escolha com $50$ questões, são concedidos $3$ pontos por cada resposta correta e é descontado $1$ ponto por cada resposta incorreta ou em branco. Se um estudante obteve $98$ pontos no total, quantas questões respondeu corretamente e quantas errou ou deixou em branco?

Um trem de carga sai de uma estação a uma velocidade constante de $80$ km/h. Uma hora e meia depois, sai da mesma estação e na mesma direção um trem de passageiros a $120$ km/h. Elabore um sistema de equações para descobrir quanto tempo o trem de passageiros levará para alcançar o de carga e a que distância da estação o fará.

Tem-se um retângulo de dimensões desconhecidas. Se a base for aumentada em $3$ cm e a altura for diminuída em $2$ cm, a área do retângulo não varia. Por outro lado, se a base for diminuída em $2$ cm e a altura for aumentada em $4$ cm, a área aumenta em $16$ cm$^2$. Elabore um sistema de equações lineares para calcular as dimensões originais do retângulo.

Um barco navega por um rio. Quando viaja a favor da correnteza, percorre uma distância de $60$ km em $3$ horas. Quando viaja contra a correnteza, leva $5$ horas para percorrer a mesma distância. Elabore um sistema de equações para calcular a velocidade do barco em águas paradas e a velocidade da correnteza do rio.

Segundo dados da Encuesta de Ocupación Hotelera do INE, os alojamentos rurais registram picos de ocupação em fins de semana prolongados. Um hotel rural em La Palma dispõe de 50 quartos no total, divididos entre 'standard' (a $70$ reais por noite) e 'superior com terraço' (a $100$ reais por noite). Durante um fim de semana prolongado em que esteve a $100\,\%$ de ocupação, o faturamento por noite chegou a $4.100$ reais.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo algébrico, estime de forma justificada se o hotel tem mais quartos standard ou mais superiores. Dica: calcule mentalmente ou num rascunho quanto o hotel teria faturado se todos os quartos fossem standard e quanto teria faturado se todos fossem superiores.
2. b) Formule e resolva o sistema de equações lineares para calcular o número exato de quartos de cada classe que o estabelecimento tem.
3. c) Verifique se o resultado exato coincide com a estimativa que você fez no item a) e calcule que porcentagem do total os quartos superiores representam.

O perímetro de um triângulo isósceles é de $40$ cm. Se a base aumentasse $25\%$ e os lados iguais diminuíssem $10\%$, o triângulo se tornaria equilátero. Elabore um sistema de equações para determinar os comprimentos dos lados do triângulo original.

Na Espanha, a tarifa elétrica regulada doméstica (2.0TD) divide o consumo diário em dois períodos principais de energia: horas de ponta (tarifa cara: $0,22$ reais/kWh) e horas de vazio (tarifa econômica: $0,12$ reais/kWh). Durante o mês de outubro, uma família de Toledo consumiu um total de $280$ kWh e o montante correspondente à energia faturada foi de $45,60$ reais.

1. a) Formule o sistema de equações lineares e calcule quantos kWh a família consumiu em horas de ponta e quantos em horas de vazio em outubro.
2. b) Em novembro, a família ligou os acumuladores de calor e o seu consumo total subiu para $300$ kWh (um consumo superior ao do mês anterior). Contudo, ao programar os seus eletrodomésticos em horário noturno, a fatura do termo de energia desceu para $44,00$ reais. Formule o novo sistema e determine o consumo de ponta e de vazio de novembro.
3. c) Calcule a porcentagem de consumo em horário de vazio que a família teve em outubro e em novembro. A partir dessas porcentagens, justifique matematicamente como é possível que, consumindo mais $20$ kWh no total em novembro, tenham conseguido pagar menos na fatura.

O Marcos quer classificar o seguinte sistema de equações lineares sem resolvê-lo numericamente:

No caderno, ele escreveu: «Verifico as razões dos coeficientes: $\dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$. Como os dois quocientes coincidem, as duas retas são a mesma e o sistema é possível e indeterminado (tem infinitas soluções)».

1. a) Encontre o erro conceitual cometido pelo Marcos e explique por que a análise dele está incompleta, apoiando-se na relação entre os quocientes $\dfrac{a_1}{a_2}$, $\dfrac{b_1}{b_2}$ e $\dfrac{c_1}{c_2}$.
2. b) Corrija a classificação: quantas soluções este sistema realmente tem e qual é a posição relativa das duas retas no plano cartesiano?

Classifique os seguintes sistemas em compatíveis determinados, compatíveis indeterminados ou incompatíveis, analisando a proporção entre seus coeficientes, sem necessidade de resolvê-los. Justifique sua resposta em cada caso.

1. a) $ \begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ -6x + 4y = -10 \end{cases} $
2. b) $ \begin{cases} x + 4y = 7 \\ 2x + 8y = 12 \end{cases} $
3. c) $ \begin{cases} 5x - y = 3 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases} $

Crie você mesmo um sistema de duas equações lineares com incógnitas $x$ e $y$ cumprindo as seguintes condições passo a passo:

1. a) Escreva uma primeira equação linear cujos coeficientes $a_1$ e $b_1$ sejam números inteiros não nulos e diferentes de $1$ e de $-1$, de modo que se verifique para a solução particular $x = 3$, $y = -1$.
2. b) Construa uma segunda equação que forme, juntamente com a primeira, um sistema possível e determinado cuja única solução seja o par $(3, -1)$. Demonstre que a solução é única verificando a condição dos quocientes $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$.
3. c) Modifique apenas os coeficientes das incógnitas ($a_2$ e $b_2$) da sua segunda equação para transformar o sistema em um sistema impossível. Demonstre que se cumpre a condição $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$ e explique que ajuste você teria de fazer no termo independente $c_2$ para que o sistema admita infinitas soluções.

Discuta o seguinte sistema de equações em função do parâmetro $k$. Determine para que valores de $k$ o sistema não tem solução e para quais tem uma solução única.

Dois operários, trabalhando juntos, conseguem terminar uma obra em $12$ dias. Se o primeiro operário trabalhar durante $3$ dias e o segundo durante $8$ dias, completam exatamente $

rac{5}{12}$ da mesma. Formula um sistema de equações (sugestão: utiliza as incógnitas auxiliares $u =

rac{1}{x}$, $v =

rac{1}{y}$) para calcular quantos dias cada operário demoraria para realizar a obra completa trabalhando sozinho.

Resolva o seguinte sistema de equações não lineares realizando uma mudança de variável adequada (por exemplo, $A = \frac{1}{x+1}$, $B = \frac{1}{y-2}$):

Resolva o seguinte sistema de três equações com três incógnitas utilizando o método do escalonamento (método de Gauss):

A soma dos três algarismos de um número é $15$. O algarismo das dezenas é a média aritmética dos outros dois algarismos. Se a ordem dos algarismos for invertida, o número obtido supera o original em $396$. Elabore um sistema de três equações com três incógnitas e encontre o número original.

Um investidor divide seu capital de $60\,000$ reais em três fundos de investimento: A, B e C. O fundo A proporciona a ele um rendimento anual de $4\%$, o fundo B de $6\%$ e o fundo C de $9\%$. Sabendo que ele investiu no fundo C a mesma quantia que nos fundos A e B juntos, e que o lucro total anual foi de $4\,050$ reais, elabore um sistema de três equações lineares e calcule quanto dinheiro foi destinado a cada fundo.

Resolva o seguinte sistema de três equações com três incógnitas, operando cuidadosamente com as frações antes de aplicar o método de Gauss ou outro método de resolução: