Operações com números racionais

Em uma pesquisa realizada na sua turma sobre a rede social favorita, $\frac{12}{30}$ dos alunos escolheram uma plataforma de vídeos curtos. Obtenha a fração irredutível para saber que parte do total esse grupo representa.

Para preparar um "smoothie" saudável, você misturou $\frac{3}{4}$ de litro de leite de aveia com $\frac{1}{2}$ litro de suco de laranja. Ao servir, são derramados $\frac{1}{8}$ de litro. Realize a operação passo a passo para saber que quantidade de mistura sobra na jarra.

Em uma prateleira de uma loja de quadrinhos, $\frac{2}{3}$ dos exemplares são de super-heróis. Desses quadrinhos de super-heróis, a metade ($\frac{1}{2}$) pertence a uma famosa editora americana. Calcule a fração do total da prateleira que os quadrinhos dessa editora específica representam realizando uma multiplicação de frações.

Queremos repartir $\frac{3}{2}$ de quilo de balas de goma em saquinhos. Se em cada saquinho colocarmos $\frac{1}{10}$ de quilo:

1. a) Quantos saquinhos poderemos encher completamente?
2. b) Faça a operação utilizando a divisão de frações: $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$

A Helena está resolvendo uma tarefa das aulas e afirma o seguinte: «Para calcular $-\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$, como dividir é repartir, divido o numerador pelo numerador e o denominador pelo denominador: $\frac{-3 : 2}{4 : 5}$. Como não dá exato, então simplesmente mudo o sinal da segunda fração e multiplico em linha: $-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$».

1. a) Identifique os dois erros conceituais que a Helena comete no seu raciocínio e explique a diferença fundamental entre a «fração inversa» e a «fração oposta».
2. b) Resolva a operação de forma correta passo a passo, deixando o resultado final como uma fração irredutível.

Observe a seguinte figura que representa uma torta de chocolate dividida em fatias iguais. Escreva a fração que representa a parte que falta e calcule a fração oposta e a fração inversa dessa quantidade.

Resolva a seguinte operação combinada respeitando a ordem das operações:

Antes de realizar cálculos longos com denominadores diferentes, é muito útil estimar o tamanho do resultado para antecipar a resposta e detectar possíveis erros. Você tem a seguinte operação: $E = \left( 1 - \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{11} \right)$.

1. a) Sem realizar o cálculo exato, estime de forma fundamentada o resultado respondendo a estas perguntas-guia:

• O fator $\left( 1 - \frac{1}{6} \right)$ é maior ou menor do que $1$? Está perto de $1$?

• Sabendo que $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, a fração $\frac{5}{11}$ é maior ou menor do que $\frac{1}{2}$? Os segundos parênteses somarão mais ou menos do que $1$?

• Com base no anterior, deduza de forma fundamentada se o produto final $E$ será ligeiramente menor do que $1$, exatamente $1$ ou visivelmente maior do que $1$.

1. b) Realize agora o cálculo exato de $E$ resolvendo os parênteses e multiplicando as frações. Expresse o resultado na forma de fração irredutível.
2. c) Obtenha a expressão decimal do seu resultado exato (com duas casas decimais) e verifique se a sua estimativa inicial estava correta.

Resolva a seguinte expressão combinada, simplificando o resultado até obter a fração irredutível:

Calcule o resultado da seguinte operação combinada, simplificando o resultado até obter a fração irredutível:

Encontre o valor da seguinte expressão levando em conta a hierarquia das operações e as regras dos sinais:

Calcule o valor da seguinte operação combinada com potências de expoente negativo e simplifique o resultado:

Para preparar um teste em duplas na aula de Matemática, você deve propor um enigma numérico com a seguinte igualdade incompleta:

1. a) Aplicando as propriedades das operações inversas e respeitando a prioridade das operações, isole passo a passo e calcule qual fração irredutível deve ser colocada no quadrado $\Box$.
2. b) Explique, a partir da regra dos sinais da multiplicação, por que o conteúdo dos parênteses tinha de ser necessariamente negativo e justifique por que a fração procurada $\Box$ tem de ser maior do que $\frac{2}{5}$.
3. c) Verifique a solução substituindo a fração obtida na expressão original e resolvendo-a passo a passo.

Para calcular o valor exato da expressão $M = \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{8}{9} - \frac{16}{21} \right)$, a Sofia e o David debatem qual é o caminho mais inteligente:

• Método da Sofia (parênteses primeiro): calcula o m.m.c. de $9$ e $21$, resolve a subtração dentro dos parênteses e depois multiplica por $\frac{3}{4}$, simplificando a fração resultante.

• Método do David (propriedade distributiva): aplica a propriedade distributiva calculando $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{21}$, simplificando cada produto antes de realizar a subtração.

1. a) Resolva a expressão seguindo em detalhe o método proposto pela Sofia até chegar à fração irredutível.
2. b) Resolva a expressão seguindo o método do David, indicando com clareza as simplificações cruzadas prévias a cada multiplicação.
3. c) Analise o tamanho dos denominadores e numeradores com que você operou em cada caminho. Justifique qual dos dois métodos é mais eficaz e apresenta menor risco de erro de cálculo neste caso concreto.

Um adolescente dedica $\frac{1}{3}$ do seu tempo livre da tarde a praticar esportes e $\frac{2}{5}$ a estudar matemática.

1. a) Calcule que fração do seu tempo livre total essas duas atividades ocupam.
2. b) Que fração de tempo lhe resta livre para jogar videogame?

A bateria do seu celular tem uma capacidade total de $4500$ mAh. Se neste momento a tela indica que resta exatamente $\frac{4}{9}$ da sua capacidade:

1. a) Quantos mAh estão disponíveis?
2. b) Se o modo de economia de energia é ativado quando resta $\frac{1}{5}$ do total, quantos mAh representam esse limite?

Três amigos decidem comprar um presente para um colega que está mudando de escola. O primeiro contribui com $\frac{2}{5}$ do preço total, o segundo contribui com $\frac{1}{3}$ do que resta e o terceiro completa o pagamento com $16$ reais.

1. a) Que fração do total representa a quantia dada pelo segundo amigo?
2. b) Qual é o preço total do presente?
3. c) Quanto dinheiro cada um colocou?

Um criador de conteúdo gravou um vídeo para seu canal. Durante a edição, cortou $\frac{1}{6}$ da filmagem total por erros de som. Depois, eliminou $\frac{2}{5}$ do que restava porque o ritmo estava muito lento. No final, o vídeo editado tem uma duração de $18$ minutos.

1. a) Que fração da filmagem original representa o vídeo final de $18$ minutos?
2. b) Quanto durava a gravação original antes de começar a editar?

Uma jovem influencer está organizando seu orçamento mensal proveniente de suas colaborações. Destina $\frac{2}{5}$ de sua renda ao aluguel de seu estúdio e $\frac{1}{4}$ do restante à edição de vídeo. Se, após esses gastos, ainda lhe restam $\frac{5}{9}$ do que sobrou para economizar e ela ainda dispõe de $480$ reais para despesas pessoais, a quanto chegam seus rendimentos totais mensais?

Um arquiteto está projetando uma área de jogos em um parque retangular. Ele decidiu dividir o terreno como mostrado no seguinte esquema:

Se a área de "Gramado" ocupa exatamente a metade do terreno e a área de "Balanços" é $\frac{3}{10}$ do total do parque:

1. a) Que fração do total representa a área de "Areia"?
2. b) Se o parque tem uma superfície total de $1200$ $m^2$, quantos metros quadrados mede a área de "Areia"?

Em um laboratório de química, um recipiente contém $2,4$ litros de uma solução ácida. Para um experimento, retiram-se primeiro $\frac{2}{3}$ do conteúdo. Depois, adicionam-se $0,5$ litros de água destilada para diluir a mistura. Finalmente, utilizam-se $\frac{3}{5}$ da mistura resultante.

1. a) Realize todas as operações trabalhando exclusivamente com frações.
2. b) Quantos litros de mistura restam ao final no recipiente? Expresse o resultado tanto em fração quanto em número decimal.

No final da primavera, um reservatório da bacia hidrográfica do rio São Francisco encontra-se cheio até $\frac{4}{5}$ da sua capacidade total. Durante o verão, devido à evaporação e à irrigação agrícola, consome-se $\frac{3}{8}$ da água que o reservatório continha. Em setembro, graças às primeiras tempestades, entra uma quantidade de água equivalente a $\frac{1}{10}$ da capacidade total do reservatório.

1. a) Que fração da capacidade total do reservatório representa a água consumida durante o verão?
2. b) Apresente uma única expressão com frações que expresse a fração da capacidade total que o reservatório contém após as chuvas de setembro, e calcule-a simplificando até a fração irredutível.
3. c) Se a capacidade máxima total do reservatório for de $160\text{ hm}^3$, quantos hectômetros cúbicos de água ficam efetivamente armazenados no final de setembro?

Calcule o valor exato da seguinte expressão combinada, transformando previamente os números decimais em suas respectivas frações geratrizes e simplificando os passos intermediários:

Em um laboratório de química, um tanque contém uma mistura de álcool e água. Inicialmente, $\frac{2}{7}$ do conteúdo é álcool. Retiram-se $12$ litros da mistura e substituem-se por $12$ litros de álcool puro. Se agora a mistura contém $\frac{2}{5}$ de álcool, quantos litros de líquido há no total no tanque?

Em uma competição de eSports, o prêmio total é repartido da seguinte forma: a equipe vencedora leva $\frac{4}{7}$ do total, a segunda colocada $\frac{2}{3}$ do que resta, e a terceira colocada o restante. Se a diferença entre o prêmio da segunda e o da terceira é de $3.500$ reais, calcule o valor total do prêmio e quanto dinheiro cada uma das três equipes recebe.

Observe o design deste azulejo moderno para um centro cultural. O quadrado externo tem uma área de $1$ m$^2$. Foram sombreadas diferentes regiões seguindo um padrão geométrico. Determine que fração do total representa a região sombreada na cor laranja e calcule quantos cm$^2$ correspondem a ela.

Encontre o valor de $x$ na seguinte igualdade de potências com números racionais, aplicando as propriedades necessárias para simplificar a expressão:

Um drone de vigilância realiza um trajeto de ida e volta entre duas bases. Na ida, voa com o vento a favor a uma velocidade constante. Na volta, com o vento em contra, sua velocidade se reduz a $\frac{3}{5}$ partes da velocidade de ida. Se o tempo total de voo foi de $1$ hora e $20$ minutos, que fração do tempo total ele empregou na viagem de volta? Expresse o resultado também em minutos e segundos.

Três sócios investem em um negócio tecnológico. O primeiro aporta $12.000$ reais, o segundo aporta $\frac{2}{5}$ partes do total e o terceiro aporta a mesma quantidade que os outros dois juntos menos $18.000$ reais.

1. a) Qual é o investimento total do negócio?
2. b) Que fração do total cada sócio aporta? (Expresse as frações de forma irredutível).

Em uma exigente etapa de montanha da Vuelta a España:

• No primeiro trecho desiste $\frac{1}{12}$ dos ciclistas que largaram.

• No segundo trecho, durante a subida a uma contagem de montanha de categoria especial, abandona $\frac{2}{11}$ dos corredores que ainda continuavam na prova.

• No terceiro trecho, devido a uma intensa chuva de granizo na descida, desiste $\frac{1}{3}$ dos ciclistas que superaram a contagem de montanha.

• No início da subida final até a linha de chegada restam apenas $60$ corredores disputando a etapa.

1. a) Expresse por meio de um produto encadeado de frações a parte do pelotão que continua na prova trecho a trecho, e simplifique cruzando fatores para demonstrar que os $60$ corredores representam exatamente $\frac{1}{2}$ do pelotão inicial.
2. b) Deduza quantos ciclistas largaram no início da etapa.
3. c) Na transmissão de televisão, um comentarista afirma: «Como desistiu $\frac{1}{12}$ no início, $\frac{2}{11}$ na subida e $\frac{1}{3}$ na descida, somamos $\frac{1}{12} + \frac{2}{11} + \frac{1}{3} = \frac{79}{132}$, o que significa que quase $60\,\%$ do pelotão abandonou». Justifique com precisão matemática o grave erro conceitual do comentarista e indique qual é a fração real do pelotão inicial que abandonou a corrida.

Desafio do tema. Como o tempo influencia o nosso meio ambiente? Torne-se um analista meteorológico analisando dados reais do seu estado.

1. Coleta de dados: Acesse o site oficial do INMET e registre as temperaturas máximas e mínimas (inteiros ou decimais com sinal) e a precipitação dos últimos $7$ dias.

2. Inteiros e frações: Calcule a amplitude térmica diária ($T_{\text{máx}} - T_{\text{mín}}$) aplicando operações com números inteiros e decimais. Expresse por meio de uma fração os dias com chuva em relação ao total semanal, determine a sua fração irredutível e encontre uma equivalente projetada para um mês de $28$ dias.

3. Cálculo e conclusões: Insira os dados em uma planilha para encontrar a temperatura média da semana e estime a economia na irrigação sabendo que cada litro coletado representa $0,18$ reais (a precipitação em l/m² indica os litros coletados por metro quadrado, por isso expressa a economia em reais/m²). Redija um breve relatório fundamentando os seus resultados.

Será valorizado:

• Correção na aplicação de sinais e na subtração de inteiros/decimais na amplitude térmica.

• Determinação rigorosa da fração irredutível e da sua equivalente.

• Precisão nas operações combinadas com decimais na planilha.

• Clareza e fundamentação matemática do relatório final.