Corpos de revolução

Imagine que você cola as seguintes figuras planas em um palito e as faz girar rapidamente sobre ele. Identifique qual corpo de revolução é gerado em cada caso:

1. a) Um retângulo que gira sobre um dos seus lados.
2. b) Um triângulo retângulo que gira sobre um dos seus catetos.
3. c) Um semicírculo que gira sobre o seu diâmetro.

O Marcos quer construir com cartolina um chapéu de festa com a forma de um cone para o festival de fim de ano da sua escola. No caderno dele está escrito: «Como o cone é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos seus catetos, para fazer a superfície lateral vou recortar um triângulo isósceles cuja base meça o comprimento da circunferência da base e cuja altura seja a do cone; depois junto os dois lados iguais». Explique de forma fundamentada que erro geométrico o Marcos comete e o que aconteceria se ele tentasse enrolar esse triângulo. Em seguida, indique o nome da figura geométrica plana que constitui realmente a planificação lateral de um cone e explique que elemento do cone (raio, altura ou geratriz) coincide com o raio dessa figura plana.

Desenhe em seu caderno o corpo de revolução que é gerado ao fazer girar a seguinte figura plana ao redor do eixo indicado. Que nome recebe o corpo obtido? Descreva seus elementos principais (bases, altura e geratriz).

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

No seguinte desenho de um cone, identifique o nome dos elementos assinalados com as letras $r$, $h$ e $g$. Explique brevemente o que cada um deles representa.

Você tem um cilindro e um cone retos. Na figura aparece, com linha tracejada laranja, um corte horizontal (paralelo à base) e, com linha tracejada vermelha, um corte vertical que passa pelo centro das bases (o eixo do corpo).

1. a) Se fizermos o corte horizontal (paralelo à base) em um cilindro e em um cone, que figura geométrica plana obteremos na seção do corte em cada um?

1. b) Obteremos a mesma figura em cada corpo se o corte for vertical e passar pelo centro das bases? Indique que figura sai no cilindro e qual sai no cone.

Uma lata de refrigerante cilíndrica tem uma altura de $12$ cm e o raio da base dela mede $3$ cm. Desenhe de forma esquemática a planificação dela (as figuras que você obteria se cortasse a lata e a estendesse sobre uma mesa) e indique as medidas conhecidas no desenho.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Identifique qual destas planificações não poderia formar nunca um cilindro e explique por quê.

Ao descolar com cuidado o rótulo de papel que envolve completamente e sem sobreposição a parede lateral de uma lata cilíndrica de polpa de tomate, verifica-se que ele tem a forma de um retângulo com as medidas de $31,4\text{ cm}$ de base e $10\text{ cm}$ de altura. Sabendo que esse cilindro é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que coincide com um dos seus lados, deduza de forma fundamentada as dimensões exatas (base e altura) desse retângulo gerador original (adote $\pi \approx 3,14$). Se quiséssemos fabricar também as duas tampas metálicas circulares da lata, qual deve ser o raio exato de cada uma para que fechem o cilindro perfeitamente?

Um tubo de bolas de tênis tem forma de cilindro. A base tem um diâmetro de $7$ cm e a altura do tubo é de $22$ cm. Calcule a área da superfície lateral do tubo (sem contar as tampas).

Uma marca de refrigerantes quer projetar uma nova lata cilíndrica. O raio da base deve ser de $3,5\text{ cm}$ e a altura da lata de $12\text{ cm}$. Calcule a quantidade de metal (superfície total) necessária para fabricar uma destas latas. Arredonde o resultado para duas casas decimais.

Um reservatório de água tem forma de cilindro com um raio de $2\text{ metros}$ e uma altura de $5\text{ metros}$. Se o reservatório estiver cheio até três quartos da sua capacidade, quantos litros de água ele contém? (Lembre-se de que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litros}$).

Você tem uma cartolina retangular que mede exatamente $10\text{ cm}$ de largura por $20\text{ cm}$ de comprimento. Imagine que você a faz girar $360^\circ$ no espaço: primeiro em torno do seu lado de $10\text{ cm}$ (obtendo o cilindro $A$) e, num segundo ensaio, em torno do seu lado de $20\text{ cm}$ (obtendo o cilindro $B$). Antes de realizar qualquer cálculo, estime de forma fundamentada: qual dos dois cilindros você acha que terá maior área lateral? E qual você acha que encerrará maior volume interior? Registre a sua intuição inicial. Depois, confirme a sua estimativa calculando a área lateral de ambos os cilindros (deixe o resultado expresso em função de $\pi$) e o volume de cada um por meio da fórmula $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$. Por último, compare os resultados com a sua previsão e explique matematicamente por que o raio tem maior impacto do que a altura no volume de um cilindro.

Um rolo industrial de aço tem forma de cilindro oco. O diâmetro externo do rolo é de $20 \text{ cm}$, o diâmetro interno é de $16 \text{ cm}$ e o seu comprimento total é de $50 \text{ cm}$. Se a densidade do aço é de $7,85 \text{ g/cm}^3$, calcule a massa total do rolo em quilogramas. (Lembre-se de que, para determinar o volume do cilindro oco, você deve subtrair o volume do cilindro interno do volume do cilindro externo).

Para fabricar um chapéu de festa em forma de cone, precisamos conhecer a sua geratriz ($g$). Se o chapéu tem uma altura de $8$ cm e um raio na base de $6$ cm, utilize o teorema de Pitágoras para calcular quanto deve medir a geratriz.

Para uma festa à fantasia, Ana está fabricando chapéus em forma de cone. Se cada chapéu tem uma geratriz de $25\text{ cm}$ e o diâmetro da base é de $14\text{ cm}$, qual será a altura do chapéu? Utilize o teorema de Pitágoras para encontrá-la.

Um cone de sinalização de trânsito tem uma altura de $60\text{ cm}$ e um raio da base de $15\text{ cm}$. Calcule a área lateral dele (a superfície que teria que ser pintada de laranja). Para isso, primeiro você deverá encontrar a geratriz do cone usando o teorema de Pitágoras.

Temos um pedaço de cartolina com forma de setor circular como o da imagem. Ao unir as bordas retas, formamos a superfície lateral de um cone. Calcule a área total desse cone sabendo que o raio do setor (que será a geratriz) é de $10\text{ cm}$ e que o comprimento do arco é de $18,84\text{ cm}$.

Numa aula de Educação Tecnológica pretende-se construir em escala um cone de sinalização rodoviária cuja base circular tenha um raio de $9\text{ cm}$ e cuja altura seja de $12\text{ cm}$. Para recortar em cartolina a peça correspondente à superfície lateral, duas alunas propõem caminhos distintos: a Irene calcula primeiro a geratriz $g$ por meio do teorema de Pitágoras e aplica diretamente a fórmula reduzida da área lateral: $A_{lat} = \pi \cdot r \cdot g$; já a Alba calcula também a geratriz $g$, mas depois descobre a medida do ângulo central $\alpha$ que o setor circular planificado deve ter, resolvendo a proporção $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{g}$, e em seguida calcula a área com a fórmula geral do setor circular: $A_{setor} = \frac{\pi \cdot g^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$. Faça os cálculos passo a passo usando os dois métodos (adote $\pi \approx 3,14$). Demonstre algebricamente por que a fórmula direta da Irene é equivalente ao procedimento da Alba. Se você tivesse de desenhar a planificação na cartolina com régua, compasso e transferidor para montá-la fisicamente, qual dos dois métodos fornece a informação indispensável para o traçado? Justifique sua resposta.

Para uma exposição de arte, foi construída uma peça de metal formada por um cone que se encaixa perfeitamente dentro de um cilindro de mesma altura ($12 \text{ cm}$) e mesmo raio da base ($5 \text{ cm}$). O cone está invertido, de modo que o seu vértice toca o centro da base inferior do cilindro. Calcule o volume de água necessário para encher o espaço vazio que fica entre as paredes do cilindro e o cone.

Calcule o volume de uma bola de boliche (que é uma esfera perfeita) sabendo que o seu raio mede $11$ cm. Utilize a fórmula $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ e tome como valor de $\pi \approx 3,14$.

Calcule o volume de uma bola de sorvete perfeitamente esférica que tem um raio de $3\text{ cm}$. Se o sorvete derreter dentro de um recipiente cilíndrico de mesma base e mesma altura que a esfera, qual altura alcançará o sorvete líquido? (Suponha que o volume não altera ao derreter).

Corta-se uma laranja esférica de $10\text{ cm}$ de diâmetro por um plano que passa a uma distância de $3\text{ cm}$ do centro. Ao separar os dois pedaços, a seção do corte é um círculo. Calcule o raio desse círculo de corte aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo sombreado.

Corta-se uma esfera de raio $13 \text{ cm}$ mediante um plano horizontal que passa a uma distância de $5 \text{ cm}$ do centro. Esse corte gera um círculo (seção). Calcule a área desse círculo de corte e a área da calota esférica superior resultante, sabendo que a superfície de uma calota esférica é calculada como $S = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h$, onde $h$ é a altura da calota.

Calcule o volume do corpo gerado ao girar $360^\circ$ o seguinte polígono irregular ao redor do eixo vertical indicado. O polígono é formado por um retângulo de $2 \times 4 \text{ cm}$ e um triângulo retângulo de base $3 \text{ cm}$ unido ao seu lateral.

Um reservatório de água tem forma de tronco de cone invertido. O raio da base superior (aberta) é de $4 \text{ metros}$ e o da base inferior (fundo) é de $2 \text{ metros}$. A altura total do reservatório é de $6 \text{ metros}$. Se o reservatório for preenchido até a metade da sua altura ($3 \text{ metros}$), utilize a semelhança de triângulos para encontrar o raio da superfície da água nesse momento e calcule o volume de água acumulado.

Uma boia marítima é formada pela união de dois cones idênticos pelas bases. O comprimento total da boia de ponta a ponta é de $2 \text{ metros}$ e o diâmetro da seção circular central onde eles se unem é de $120 \text{ cm}$. Calcule o volume total da boia em litros e a sua superfície externa total.

Um sorvete de casquinha tem forma de cone de $15 \text{ cm}$ de altura e $3 \text{ cm}$ de raio na abertura superior. Coloca-se uma bola de sorvete que é uma esfera perfeita de $3,5 \text{ cm}$ de raio. Devido ao tamanho, parte da bola fica fora da casquinha e parte fica dentro. Se a bola se apoia exatamente na borda circular do cone, qual é a distância do ponto mais baixo da bola de sorvete até o vértice inferior da casquinha? (Utilize o teorema de Pitágoras).

Uma empresa de perfumes está projetando um novo frasco de vidro. O frasco tem uma base cilíndrica de $3 \text{ cm}$ de raio e $6 \text{ cm}$ de altura. Sobre essa base, apoia-se um tronco de cone cuja base superior tem $1 \text{ cm}$ de raio e cuja geratriz mede $5 \text{ cm}$. Sabendo que a tampa é uma semiesfera perfeita que se encaixa exatamente na abertura superior de $1 \text{ cm}$ de raio, calcule a área total externa do frasco (sem contar a base de apoio).

Uma empresa de fornecimentos agrícolas de Ribeirão Preto (SP) encomenda o projeto de um silo vertical para armazenar cereais. A estrutura completa é um sólido de revolução formado por um cilindro inferior com $4\text{ m}$ de diâmetro externo e $6\text{ m}$ de altura, arrematado por uma cobertura cônica superior com a mesma base circular e uma altura de $1,5\text{ m}$. Em primeiro lugar, modele geometricamente a seção plana: descreva com precisão que figura plana poligonal (indicando as medidas de todos os seus lados) gera este sólido completo ao girar $360^\circ$ em torno do eixo vertical de simetria do silo. Em segundo lugar, para impermeabilizar o exterior, será aplicada uma resina protetora sobre a parede cilíndrica vertical e sobre a cobertura cônica (o chão e a união horizontal interna entre o cilindro e o cone não são tratados). Calcule os metros quadrados totais de superfície que devem ser impermeabilizados (adote $\pi \approx 3,14$). Por último, se cada lata de resina custa $\text{R\$}\ 45$, dá para cobrir exatamente $12\text{ m}^2$ e não se vendem latas fracionadas, determine o orçamento mínimo necessário se for obrigatório aplicar duas demãos completas em toda a superfície.

Uma oficina de design educativo fabrica maquetes para explicar a geometria do planeta Terra e as projeções cartográficas. Para construir a superfície lateral de uma cúpula cônica protetora, cortam sobre uma folha de plástico um setor circular com um raio de $20\text{ cm}$ e um ângulo central de amplitude $144^\circ$. Formule e resolva o problema inverso: ao enrolar o setor circular unindo seus bordos retos para formar o cone, calcule o raio da base circular que se obtém e a altura vertical que esse cone alcançará (arredonde a altura às décimas de centímetro). Por outro lado, para a maquete esférica do globo terrestre, um aluno da equipe propõe: «Para que as escolas possam recortar e montar em aula uma esfera perfeita de cartolina, podemos imprimir a sua planificação em uma única folha retangular contínua, tal como fazemos com o cilindro e o cone». Analise e explique detalhadamente por que razão a proposta do aluno é um erro geométrico incontornável, baseando-se nas propriedades da planificação da esfera e explicando o que acontece inevitavelmente com qualquer mapa plano do mundo quando tenta representar a superfície terrestre sem deformá-la.