Sistemas não lineares

Resolva o seguinte sistema de equações não lineares:

$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $

Determine as soluções do sistema:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $

O Marcos está resolvendo este sistema não linear para encontrar dois números desconhecidos:

$ \begin{cases} x + y = 9 \\ x^2 + y^2 = 41 \end{cases} $

No caderno dele, desenvolveu o seguinte procedimento:

«Isolo $y$ na primeira equação: $y = 9 - x$. Substituo na segunda:

$x^2 + (9 - x)^2 = 41 \implies x^2 + 81 - x^2 = 41 \implies 81 = 41$.

Como me dá uma igualdade absurda ($81 = 41$), concluo que o sistema não tem solução real.»

1. a) Encontre e explique de forma fundamentada o erro algébrico que o Marcos cometeu ao operar a potência.
2. b) Corrija o raciocínio dele, resolva a equação do segundo grau resultante e encontre os pares de soluções $(x, y)$.
3. c) Verifique se as soluções obtidas cumprem as duas condições do sistema original.

Para determinar os pontos de interseção entre uma trajetória parabólica e uma rampa retilínea, formula-se o seguinte sistema de equações:

$ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 1 \\ x + y = 5 \end{cases} $

Três membros de uma equipe de trabalho propõem três caminhos diferentes para resolvê-lo:

• A Aitana propõe isolar $x$ na segunda equação ($x = 5 - y$) e substituí-lo nos dois $x$ da primeira equação.

• O Borja propõe isolar $y$ na segunda equação ($y = 5 - x$) e igualar ambas as expressões de $y$.

• A Carla sugere desenhar a parábola e a reta em papel milimetrado para ler diretamente os pontos de interseção.

1. a) Compare os procedimentos da Aitana e do Borja: fundamente qual dos dois métodos algébricos é mais rápido e tem menor risco de cometer erros com os sinais e as potências.
2. b) Resolva o sistema seguindo a estratégia mais eficiente que você escolheu e determine as coordenadas dos pontos de interseção.
3. c) Avalie a proposta gráfica da Carla: explique que vantagem visual ela oferece e qual é a sua principal limitação em relação ao cálculo algébrico se os pontos de interseção não tiverem coordenadas inteiras.

Na programação de um videogame, o salto de um personagem descreve a parábola $y = -x^2 + 6x$, enquanto uma barreira laser móvel se desloca ao longo da reta $y = 2x + k$, onde $k$ é um parâmetro que ajusta a altura inicial do feixe.

1. a) Formule o sistema de equações não linear formado pela parábola e pela reta, e obtenha a equação do segundo grau que resulta após aplicar o método de substituição (mantendo a letra $k$ indicada).
2. b) Problema inverso: Determine que valor exato deve ter $k$ para que o feixe laser seja tangente à trajetória do salto, isto é, para que o sistema tenha uma ÚNICA solução real (o personagem encosta no laser exatamente em um único ponto sem atravessá-lo). Encontre as coordenadas $(x, y)$ desse ponto de contato.
3. c) Analise que valores $k$ pode assumir para que o personagem passe perfeitamente por baixo do laser sem nunca tocá-lo (o sistema não tenha nenhuma solução real). Justifique a sua resposta analisando o sinal do discriminante.

Resolva o sistema:

$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x \cdot y = 12 \end{cases} $

Calcule dois números inteiros positivos sabendo que a soma deles é $15$ e o produto deles é $56$.

A diferença de dois números naturais é $3$ e a diferença dos quadrados deles é $33$. Quais são esses números?

O perímetro de um retângulo mede $28 \text{ cm}$ e a área dele é $48 \text{ cm}^2$. Determine o comprimento dos lados dele montando um sistema de equações.

A prefeitura de São Paulo implementou um plano de hortas urbanas e atribuiu a uma associação de moradores uma parcela retangular de $60\text{ m}^2$ de área. Para proteger os cultivos dos coelhos, a associação dispõe de um rolo fechado de $32\text{ metros}$ de tela metálica para cercar exatamente todo o perímetro exterior.

1. a) Chame $x$ de comprimento e $y$ de largura da parcela e formule um sistema de equações não linear que reúna a informação do perímetro e da área.
2. b) Resolva o sistema pelo método de substituição, isolando uma incógnita na equação do primeiro grau.
3. c) Interprete o resultado: você obterá dois pares de soluções matemáticas $(x, y)$, mas quantas parcelas retangulares distintas representam no terreno real? Justifique a sua resposta.

As diagonais de um losango diferem em $4 \text{ cm}$ e sua área é de $96 \text{ cm}^2$. Calcule o comprimento de ambas as diagonais.

Um grupo de amigos decide comprar juntos um presente de aniversário que custa $120$ reais. No último momento, mais $2$ amigos se juntam ao grupo, o que faz com que cada um dos iniciais tenha de pagar $3$ reais a menos. Elabore um sistema de equações e encontre quantos amigos havia no início.

Se a base de um retângulo aumentar $2 \text{ cm}$ e a altura dele aumentar $1 \text{ cm}$, a área aumenta $22 \text{ cm}^2$. Sabendo que a base original mede o dobro da altura, encontre as dimensões iniciais do retângulo.

Um arame de $40 \text{ cm}$ de comprimento é cortado em dois pedaços. Com cada pedaço forma-se um quadrado. Se a soma das áreas dos dois quadrados é de $58 \text{ cm}^2$, qual é o comprimento de cada pedaço de arame?

Determine as dimensões de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede $13 \text{ cm}$, sabendo que, se ambos os catetos aumentarem seu comprimento em $2 \text{ cm}$, a área do triângulo aumenta em $19 \text{ cm}^2$.

Uma van realiza um trajeto de $300 \text{ km}$. Se aumentasse sua velocidade média em $10 \text{ km/h}$, levaria uma hora a menos para completar a viagem. Determine a velocidade original e o tempo que ela gasta.

Duas mangueiras enchem juntas um reservatório em $6$ horas. Se a primeira mangueira leva $5$ horas a menos que a segunda para encher o reservatório sozinha, de quanto tempo cada mangueira precisa para enchê-lo individualmente?

Resolva o seguinte sistema com radicais:

$ \begin{cases} \sqrt{x} + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Resolva o sistema com frações algébricas:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ x + y = 5 \end{cases} $

Resolva o sistema de equações irracionais:

$ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 4 \\ x - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $

Resolva o seguinte sistema de equações exponenciais:

$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $

Encontre a solução do sistema logarítmico:

$ \begin{cases} \log(x) + \log(y) = 2 \\ x - y = 15 \end{cases} $

Resolva o seguinte sistema não linear:

$ \begin{cases} x^2 + xy = 24 \\ y^2 + xy = 12 \end{cases} $

Resolva o seguinte sistema misto:

$ \begin{cases} \log_2(x) - \log_2(y) = 1 \\ 3^{x-y} = 81 \end{cases} $

Resolva o sistema racional:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} = 5 \\ \frac{x^2}{y} = 9 \end{cases} $

Resolva o sistema irracional mediante uma mudança de variável ou manipulação algébrica adequada:

$ \begin{cases} \sqrt{x-1} + \sqrt{y+2} = 5 \\ x + y = 12 \end{cases} $

Encontre os pontos de interseção entre a circunferência de equação $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0$ e a reta $x - y = 1$. Represente graficamente a situação.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma empresa fabrica dois tipos de peças. O custo de produzir $x$ peças do tipo A e $y$ peças do tipo B é dado pela relação $C = x^2 + y^2$. Sabemos que ela fabrica um total de $14$ peças e que o custo total é de $100$ reais. Quantas peças de cada tipo ela fabrica, sabendo que produz mais peças do tipo A do que do tipo B?

Um condomínio de São Paulo vai instalar painéis solares na cobertura plana do seu edifício, que tem forma retangular com uma área total de $180\text{ m}^2$. De acordo com a norma técnica de edificações, é obrigatório deixar livre um corredor perimetral de segurança de $1\text{ metro}$ de largura em todo o contorno exterior para tarefas de manutenção e evacuação. Ao descontar esse corredor, a área retangular central útil reservada para os painéis fica reduzida a $130\text{ m}^2$.

1. a) Se chamarmos de $x$ o comprimento total da cobertura e de $y$ a sua largura total, escreva a expressão algébrica das dimensões úteis interiores (subtraindo o corredor de ambos os lados) e formule o sistema de equações não linear que relaciona a área total com a área útil.
2. b) Desenvolva a equação da área útil e utilize a da área total para transformar o sistema em uma equação linear equivalente entre $x$ e $y$.
3. c) Resolva o sistema para calcular as dimensões exteriores da cobertura ($x$ e $y$) e as dimensões da zona útil para os painéis.
4. d) Sabendo que cada painel fotovoltaico padrão mede $2\text{ m} \times 1\text{ m}$, calcule o número teórico máximo de painéis que cabem por área na zona útil e explique por que, na prática, a distribuição real de linhas e colunas poderá acomodar menos um painel.