Tabela de uma função
Um ingresso para um festival de música custa R$ 75,00. Se o grupo comprar $1$, $2$ ou $10$ ingressos, quanto paga? O mais prático é organizar os valores em uma tabela: uma linha com o número de ingressos e outra com o preço. A tabela é mais uma maneira de representar a relação entre duas grandezas, assim como a expressão algébrica ou o gráfico.
A tabela de valores
Observe que, em uma função, a cada valor de $x$ corresponde um único valor de $y$. Se em uma tabela o mesmo $x$ aparecer com dois valores de $y$ diferentes, essa relação não é uma função. O mesmo $y$ pode aparecer para valores de $x$ diferentes.
Para que uma relação seja uma função, a cada valor da variável independente ($x$) deve corresponder um único valor da variável dependente ($y$). Indique qual das…
Para que uma relação seja uma função, a cada valor da variável independente ($x$) deve corresponder um único valor da variável dependente ($y$).
Indique qual das seguintes tabelas NÃO representa uma função e explique o porquê:
Tabela A:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 5 | 5 | 7 | 7 |
Tabela B:
| $x$ | 1 | 2 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 4 | 5 | 6 | 8 |
Um ciclista avança por um percurso a uma velocidade constante de $20$ km/h. A tabela a seguir mostra a distância percorrida de acordo com o tempo decorrido: | Tempo em…
Um ciclista avança por um percurso a uma velocidade constante de $20$ km/h. A tabela a seguir mostra a distância percorrida de acordo com o tempo decorrido:
| Tempo em horas ($x$) | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| Distância em km ($y$) | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $60$ |
A partir da tabela, indique:
-
a) Qual é a variável independente e qual é a variável dependente?
-
b) É uma função contínua ou discreta? Justifique sua resposta.
Da expressão algébrica à tabela
Se você conhece a expressão algébrica, preencher a tabela é substituir $x$ por cada valor pedido e calcular $y$ (o valor numérico da expressão). Quando o contexto é um problema, comece escrevendo a expressão: a parte fixa (taxa, mensalidade) é o termo independente e a parte que depende de $x$ é multiplicada pelo preço unitário.
Dada a função definida pela expressão algébrica $y = 3x - 2$, construa uma tabela de valores calculando a imagem ($y$) para os seguintes valores da variável…
Dada a função definida pela expressão algébrica $y = 3x - 2$, construa uma tabela de valores calculando a imagem ($y$) para os seguintes valores da variável independente:
$x = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.
Uma empresa de aluguel de patinetes elétricos cobra uma taxa fixa de $2$ reais para desbloquear o patinete e depois $0,50$ reais por minuto de uso. Complete a tabela que…
Uma empresa de aluguel de patinetes elétricos cobra uma taxa fixa de $2$ reais para desbloquear o patinete e depois $0,50$ reais por minuto de uso.
Complete a tabela que relaciona o tempo de uso com o custo total do aluguel:
| Tempo em min ($x$) | 0 | 10 | 20 | 30 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|
| Custo em reais ($y$) | $2$ | ? | ? | ? | ? |
Um serviço de streaming de filmes tem uma oferta: o primeiro mês custa apenas $2$ reais e cada mês adicional custa $8$ reais. Escreva a função que relaciona o número de…
Um serviço de streaming de filmes tem uma oferta: o primeiro mês custa apenas $2$ reais e cada mês adicional custa $8$ reais.
Escreva a função que relaciona o número de meses contratados ($x$) com o custo total ($y$) e complete a seguinte tabela de valores:
| Meses ($x$) | 1 | 2 | 3 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Custo total em reais ($y$) | $2$ | ? | ? | ? | ? |
Uma plataforma de streaming* de jogos eletrônicos oferece um plano premium que custa $\text{R\$}\ 5$ por mês como taxa fixa, mais $\text{R\$}\ 0,50$ por cada hora de…
Uma plataforma de streaming de jogos eletrônicos oferece um plano premium que custa $\text{R\$}\ 5$ por mês como taxa fixa, mais $\text{R\$}\ 0,50$ por cada hora de jogo de alta qualidade.
A função que relaciona o custo mensal $y$ com o número de horas jogadas $x$ é $y = 0,5x + 5$.
Complete a seguinte tabela de valores no seu caderno para analisar o gasto mensal:
| Horas jogadas ($x$) | $0$ | $4$ | $10$ | $20$ | $35$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Custo total ($y$) |
Uma empresa de entregas cobra $\text{R\$}\ 4$ pelo envio de um pacote, mais uma quantia variável de $\text{R\$}\ 1,20$ para cada quilograma de peso. a) Identifique a…
Uma empresa de entregas cobra $\text{R\$}\ 4$ pelo envio de um pacote, mais uma quantia variável de $\text{R\$}\ 1,20$ para cada quilograma de peso.
- a) Identifique a variável independente e a variável dependente.
- b) Monte uma tabela de valores que relacione o peso do pacote (de $1 \text{ kg}$ até $5 \text{ kg}$) com o custo total do envio.
- c) Escreva a expressão algébrica da função.
Dada a função $y = -2x + 3$, complete a seguinte tabela de valores incluindo números negativos e decimais: | $x$ | $-2$ | $-0,5$ | $0$ | $1$ | $2,5$ | | :--- | :---: |…
Dada a função $y = -2x + 3$, complete a seguinte tabela de valores incluindo números negativos e decimais:
| $x$ | $-2$ | $-0,5$ | $0$ | $1$ | $2,5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ |
Com base nos resultados, indique se a função é crescente ou decrescente.
Um drone levanta voo do chão e sobe a uma velocidade constante de $3$ metros por segundo. a) Elabore uma tabela de valores que relacione o tempo de voo (em segundos) com…
Um drone levanta voo do chão e sobe a uma velocidade constante de $3$ metros por segundo.
- a) Elabore uma tabela de valores que relacione o tempo de voo (em segundos) com a altura atingida (em metros) para os instantes $t = 0, 2, 4, 6, 8, 10$.
- b) Que altura atingirá o drone aos $12$ segundos?
- c) Quanto tempo levará para atingir uma altura de $45$ metros? Amplie a tabela se for necessário para responder.
Proporcionalidade direta: o quociente constante
Uma tabela representa grandezas diretamente proporcionais (função linear) se, ao dividir cada $y$ pelo respectivo $x$, obtém-se sempre o mesmo número: a constante de proporcionalidade $k$, e o gráfico é uma reta que passa pela origem.
Uma relação do tipo $y = ax + b$ com $b \neq 0$ não é de proporcionalidade direta. Por exemplo, se $x = 0$ e $y = b \neq 0$, não há quociente constante e o gráfico não passa pela origem. Por isso $y = x^2$ também não é: $\frac{1}{1} = 1$ mas $\frac{4}{2} = 2$.
Queremos estudar como varia o perímetro de um quadrado conforme o comprimento do seu lado. Lembre-se de que um quadrado tem os quatro lados iguais e de que o perímetro é…
Queremos estudar como varia o perímetro de um quadrado conforme o comprimento do seu lado. Lembre-se de que um quadrado tem os quatro lados iguais e de que o perímetro é a soma de todos eles.
Complete a tabela de valores e responda: quanto vale a constante de proporcionalidade entre o perímetro e o lado?
| Lado em cm ($x$) | 1 | 2,5 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Perímetro em cm ($y$) | ? | ? | $12$ | ? | ? |
Observe a relação entre o comprimento do lado de um quadrado e a sua área. Sabemos que, se o lado mede $x$, a área é dada pela função $y = x^2$. Copie e complete a…
Observe a relação entre o comprimento do lado de um quadrado e a sua área. Sabemos que, se o lado mede $x$, a área é dada pela função $y = x^2$.
Copie e complete a tabela no seu caderno:
| Lado do quadrado ($x$) em $cm$ | $1$ | $2,5$ | $4$ | $5$ | $6,2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Área ($y$) em $cm^2$ |
Esta é uma função de proporcionalidade direta? Justifique a sua resposta com base nos valores da tabela.
Proporcionalidade inversa: o produto constante
Há tabelas em que, quando $x$ aumenta, $y$ diminui de forma que o produto $x \times y$ é sempre igual. É o caso de dividir o aluguel de uma casa de campo de R$ 240,00 por $x$ pessoas: cada uma paga $y = \frac{240}{x}$. São grandezas **inversamente proporcionais**, $y = \frac{k}{x}$, com $k = x \times y$ a constante de proporcionalidade.
Observe a seguinte tabela de valores que relaciona duas grandezas: | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | 12 | 6 | 4 | 3 |…
Observe a seguinte tabela de valores que relaciona duas grandezas:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | 12 | 6 | 4 | 3 | 2,4 |
- a) Verifique que o produto $x \cdot y$ é constante em todos os pares de valores. Qual é esse valor?
- b) Que tipo de função é essa (linear, afim ou de proporcionalidade inversa)?
Um grupo de amigos quer alugar uma casa de campo que custa $\text{R\$}\ 240$ o fim de semana. O preço que cada um deve pagar ($y…
Um grupo de amigos quer alugar uma casa de campo que custa $\text{R\$}\ 240$ o fim de semana. O preço que cada um deve pagar ($y$) depende do número de pessoas que forem ($x$).
A tabela que relaciona ambas as grandezas é a seguinte:
| Pessoas ($x$) | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Preço por pessoa ($y$) | $120$ | $60$ | $30$ |
- a) Complete os valores que faltam.
- b) Escreva a fórmula da função.
- c) Que tipo de função é (linear, afim ou de proporcionalidade inversa)?
Em um laboratório de física, estuda-se a relação entre a pressão e o volume de um gás a temperatura constante (Lei de Boyle). Os dados obtidos estão reunidos na seguinte…
Em um laboratório de física, estuda-se a relação entre a pressão e o volume de um gás a temperatura constante (Lei de Boyle). Os dados obtidos estão reunidos na seguinte tabela de valores:
| Volume $V$ ($litros$) | 2 | 4 | 5 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Pressão $P$ ($atm$) | 10 | 5 | 4 | 2,5 | 2 |
a) Verifique se se trata de uma função de proporcionalidade inversa calculando a constante de proporcionalidade $k = V \cdot P$ para cada par de valores.
b) Que volume o gás ocupará se a pressão aumentar para $20 \text{ atm}$?
c) Se o volume for reduzido à quarta parte do inicial ($2 \text{ litros}$), o que acontece com a pressão segundo a constante encontrada?
Da tabela à expressão algébrica
Se a tabela não corresponde a proporcionalidade, pode ser de uma função afim, $y = ax + b$. Para encontrar $a$, veja quanto varia $y$ quando $x$ aumenta uma unidade (é o coeficiente angular). O valor de $b$ é o de $y$ quando $x = 0$ (o coeficiente linear).
Coeficiente angular negativo: função decrescente
O coeficiente angular também pode ser negativo. Se $a < 0$, quando $x$ aumenta, $y$ diminui: a função é decrescente. Se $a > 0$, a função é crescente.
Mediu-se a temperatura de um congelador desde que foi ligado. Os dados obtidos são apresentados na seguinte tabela: | Tempo decorrido ($min$) | $0$ | $5$ | $10$ | $15$ |…
Mediu-se a temperatura de um congelador desde que foi ligado. Os dados obtidos são apresentados na seguinte tabela:
| Tempo decorrido ($min$) | $0$ | $5$ | $10$ | $15$ | $20$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Temperatura ($^\circ C$) | $18$ | $10$ | $2$ | $-6$ | $-14$ |
- a) Qual é a temperatura inicial do congelador?
- b) Quantos graus a temperatura desce a cada $5$ minutos? É uma descida uniforme?
- c) Se a tendência se mantiver, qual será a temperatura aos $25$ minutos?
Encontre a expressão algébrica da função que corresponde à seguinte tabela de valores: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |…
Encontre a expressão algébrica da função que corresponde à seguinte tabela de valores:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-2$ | $1$ | $4$ | $7$ | $10$ |
Dada a seguinte tabela de valores de uma função afim, encontre os valores que faltam e determine a expressão algébrica que a define: | $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 3 | | :---…
Dada a seguinte tabela de valores de uma função afim, encontre os valores que faltam e determine a expressão algébrica que a define:
| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | -11 | -5 | -2 |
a) Calcule o aumento de $y$ para cada unidade que aumenta $x$ para encontrar o coeficiente angular $m$.
b) Complete os espaços da tabela com base na regularidade encontrada.
c) Escreva a expressão algébrica da função na forma $y = mx + n$.
Um ciclista profissional realiza um treino de resistência. A tabela mostra a distância percorrida em função do tempo, mas em diferentes trechos de intensidade: | Tempo…
Um ciclista profissional realiza um treino de resistência. A tabela mostra a distância percorrida em função do tempo, mas em diferentes trechos de intensidade:
| Tempo ($h$) | 0 | 1 | 1,5 | 2,5 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Distância ($km$) | 0 | 30 | 45 | 75 | 120 |
a) Indique se a velocidade foi constante durante todo o treino analisando os incrementos da tabela.
b) Que distância terá percorrido após $3 \text{ horas e } 15 \text{ minutos}$ se mantiver o mesmo ritmo do último trecho?
c) Represente os pontos da tabela em um sistema de coordenadas. Todos os pontos estão alinhados sobre a mesma reta que passa pela origem?
Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.
Problemas com tabelas
Nos problemas, construa a tabela, descubra o padrão e responda. Você pode prolongar a tabela (por exemplo, para saber quando se atinge um valor) ou usar a expressão algébrica. Para comparar duas ofertas, construa uma tabela com as duas e veja onde uma ultrapassa a outra.
Uma empresa de telecomunicações oferece um plano de dados para "gamers" que consiste em uma mensalidade fixa de $\text{R\$}\ 12…
Uma empresa de telecomunicações oferece um plano de dados para "gamers" que consiste em uma mensalidade fixa de $\text{R\$}\ 12$ por mês. Essa mensalidade inclui os primeiros $20 \text{ GB}$ de download. A partir daí, cada $\text{GB}$ extra custa $\text{R\$}\ 1,5$.
a) Complete a seguinte tabela de valores que relaciona o consumo de dados em um mês ($x$) com o custo total da fatura ($y$):
| Dados consumidos ($GB$) | 10 | 20 | 25 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|
| Custo total ($\text{R\$}\ $) |
b) Essa relação é uma função de proporcionalidade direta? Justifique a sua resposta analisando os quocientes da tabela.
c) Determine a expressão algébrica da função para o trecho em que o consumo é superior a $20 \text{ GB}$.
Duas plataformas de streaming competem por clientes. A plataforma "CineTotal" cobra uma mensalidade fixa de $\text{R\$}\ 8$ e $\text{R\$}\ 0,50$ por cada filme de…
Duas plataformas de streaming competem por clientes. A plataforma "CineTotal" cobra uma mensalidade fixa de $\text{R\$}\ 8$ e $\text{R\$}\ 0,50$ por cada filme de estreia alugado. A plataforma "EstrenosYA" não tem mensalidade fixa, mas cobra $\text{R\$}\ 2,50$ por cada filme de estreia.
a) Elabore uma tabela de valores comparativa para o aluguel de $0, 2, 4, 5$ e $6$ filmes em ambas as plataformas.
b) Analisando a tabela, a partir de quantos filmes passa a compensar mais a assinatura do "CineTotal"?
c) Que tipo de função representa cada plataforma? (Linear, afim ou constante).
Uma equipe de espeleólogos está descendo em um abismo profundo. Eles observaram que a temperatura aumenta de forma constante à medida que descem. Ao nível do solo (…
Uma equipe de espeleólogos está descendo em um abismo profundo. Eles observaram que a temperatura aumenta de forma constante à medida que descem. Ao nível do solo ($0 \text{ m}$), a temperatura é de $18 \text{ °C}$. A cada $150 \text{ m}$ de descida, a temperatura aumenta $2,25 \text{ °C}$.
a) Construa uma tabela de valores que mostre a temperatura para profundidades de $0, 300, 600, 900$ e $1200$ metros abaixo do nível do solo.
b) Calcule a constante de crescimento (coeficiente angular) desta função, expressando quanto a temperatura aumenta a cada metro de descida.
c) Se no fundo do abismo o termômetro marca $45 \text{ °C}$, utilize a lógica da tabela para determinar a que profundidade eles se encontram.
Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.
Um jardineiro utiliza um reservatório de $500 \text{ litros}$ de água para regar. O reservatório perde água em um ritmo constante de $12,5 \text{ litros}$ por minuto…
Um jardineiro utiliza um reservatório de $500 \text{ litros}$ de água para regar. O reservatório perde água em um ritmo constante de $12,5 \text{ litros}$ por minuto quando a irrigação está ligada. O gráfico mostra como varia o volume de água do reservatório com o tempo.
a) Crie uma tabela de valores que relacione o tempo decorrido ($0, 5, 10, 20, 30$ minutos) com a quantidade de água restante no reservatório.
b) Identifique o valor do coeficiente linear (quantidade inicial) e o coeficiente angular (ritmo de perda) a partir dos dados da sua tabela.
c) Quanto tempo o reservatório levará para ficar exatamente com a metade da sua capacidade?
Uma ONG calculou que o custo de enviar pacotes de ajuda humanitária depende do número de caminhões utilizados. Os custos fixos de logística são de $\text{R\$}\ 2500…
Uma ONG calculou que o custo de enviar pacotes de ajuda humanitária depende do número de caminhões utilizados. Os custos fixos de logística são de $\text{R\$}\ 2500$ e o custo operacional de cada caminhão é de $\text{R\$}\ 1200$.
a) Complete a tabela de valores relacionando o número de caminhões ($1, 2, 5, 10$) com o custo total do envio.
b) Se o orçamento máximo da ONG para um envio é de $\text{R\$}\ 20000$, adicione uma coluna à tabela calculando o dinheiro restante em cada caso.
c) A função "dinheiro restante" é uma função crescente ou decrescente? Justifique a sua resposta observando a tabela.
Voltando ao início: para $1$, $2$ ou $10$ ingressos a R$ 75,00 cada, o grupo paga R$ 75,00, R$ 150,00 e R$ 750,00, valores calculados com $y = 75x$ e organizados de forma clara na tabela.