Medida do volume

Observe a escada de unidades de volume da figura.

a) Por qual número se multiplica ao descer um degrau? E por qual se divide ao subir?

b) Usando a escada, expresse $2,4\ \text{m}^3$ em decímetros cúbicos e em centímetros cúbicos.

Converta para as unidades indicadas:

a) $3\ \text{m}^3$ para decímetros cúbicos.

b) $4\,500\ \text{dm}^3$ para metros cúbicos.

c) $0,75\ \text{dm}^3$ para centímetros cúbicos.

Ao converter $2,5\ \text{m}^3$ para centímetros cúbicos, Miguel escreve em seu caderno: $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.

a) Explique o erro que ele cometeu.

b) Faça a conversão correta.

c) Quantos litros são $2,5\ \text{m}^3$?

Em qual unidade expressaria o volume de cada um destes objetos? Escolha entre $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ e $\text{hm}^3$, e justifique sua escolha:

a) Um cubo de açúcar.

b) Uma mochila.

c) A água de uma represa.

d) Uma piscina municipal.

Dos três valores propostos para cada volume, apenas um é razoável. Escolha-o e justifique sua resposta:

a) Uma lata de refrigerante: $3,3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ ou $3,3\ \text{dm}^3$.

b) Uma máquina de lavar: $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ ou $2,5\ \text{m}^3$.

c) Um copo de água: $25$ ml, $250$ ml ou $2,5$ l.

Complete no caderno:

a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$

b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ litros

c) $0,5\ \text{m}^3 =$ ____ litros

Um reservatório de água tem um volume de $2,5\ \text{m}^3$. Quantos litros de água cabem nele? Quantas garrafas de $5$ litros poderiam ser cheias?

Um reservatório contém $1,2\ \text{m}^3$ de água. Quantas garrafas de $750$ ml podem ser preenchidas com ela?

Uma piscina desmontável mede $3\ \text{m}$ de comprimento, $2\ \text{m}$ de largura e $0,75\ \text{m}$ de profundidade.

a) Quantos litros de água cabem na piscina?

b) Se for cheia com uma mangueira que despeja $15$ litros por minuto, quantas horas leva para encher?

Uma garagem de $45\ \text{m}^2$ de área foi inundada e a água atinge $0,6\ \text{m}$ de altura. A água é retirada com uma bomba que extrai $45$ litros por minuto.

a) Quantos litros de água há na garagem?

b) Quanto tempo a bomba levará para esvaziá-la? Expresse o resultado em horas.

Expresse em decímetros cúbicos: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.

Expresse em forma complexa: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.

Expresse em metros cúbicos e calcule: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Expresse o resultado também em hectolitros.

Uma associação de irrigantes consome numa semana $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ de água.

a) Expresse essa quantidade em litros.

b) Se o consumo for distribuído igualmente pelos $7$ dias da semana, quantos litros são consumidos por dia?

c) Expresse o consumo diário em metros cúbicos.

A Valentina precisa converter $3,4\text{ m}^3$ para litros para saber quanta água é necessária para uma piscina infantil inflável. No caderno dela, escreveu o seguinte procedimento:

«Como $1\text{ dm}^3$ equivale a $1\text{ litro}$, primeiro passo para decímetros cúbicos: $3,4\text{ m}^3 = 340\text{ dm}^3$, porque de metros para decímetros desce-se um degrau e na tabela acrescenta-se um zero ou anda-se com a vírgula uma casa por cada dimensão do plano, ou seja, dois zeros. Portanto, cabem $340\text{ litros}$».

a) Identifique o erro que a Valentina cometeu ao fazer a mudança de unidades de volume.

b) Apoiando-se na ideia de um cubo de $1\text{ m}$ de aresta formado por cubinhos de $1\text{ dm}$, explique por que razão, ao descer um degrau de volume, se multiplica por $1\,000$ e não por $10$ nem por $100$.

c) Corrija os cálculos da Valentina e determine a capacidade real da piscina em litros.

No laboratório de ciências há um aquário com a forma de paralelepípedo retângulo cujas medidas internas são $60\text{ cm}$ de comprimento, $30\text{ cm}$ de largura e $40\text{ cm}$ de altura.

a) Antes de fazer contas detalhadas, faça uma estimativa rápida: pensando que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro}$, você acha que para enchê-lo serão necessárias mais de $100$ garrafas de água de $1,5\text{ litros}$ ou menos de $100$? Escreva sua previsão fundamentada.

b) Converta mentalmente as três dimensões para decímetros e calcule o volume exato do aquário em decímetros cúbicos e a sua capacidade em litros.

c) Calcule quantas garrafas de $1,5\text{ litros}$ são necessárias, com exatidão, para enchê-lo por completo e compare esse valor com a sua estimativa inicial. Sua intuição estava certa?

Uma cooperativa de sucos projeta uma embalagem de papelão com a forma de paralelepípedo retângulo. Para cumprir as normas comerciais, a embalagem deve conter exatamente $1\text{ litro}$ de suco e dispor ainda de um espaço superior livre de líquido de $50\text{ cm}^3$ para não derramar ao abrir.

a) Qual deve ser o volume interno total da embalagem expresso em centímetros cúbicos ($\text{cm}^3$)?

b) Se, por razões ergonômicas, a base da embalagem deve ser um retângulo de $7\text{ cm}$ de largura por $10\text{ cm}$ de comprimento, que altura exata deve ter a caixa?

c) Se a máquina de embalagem não aceita caixas com mais de $12\text{ cm}$ de altura, proponha novas dimensões internas inteiras para o comprimento, a largura e a altura (em centímetros) que mantenham com exatidão o volume total necessário.

Para encher o reservatório de irrigação da horta escolar, coletou-se água de três fontes diferentes: um galão fornece $0,45\text{ m}^3$, outro recipiente contém $280\text{ dm}^3$ e um coletor de água da chuva fornece $70\,000\text{ cm}^3$. Queremos saber quantos regadores de $8\text{ litros}$ podem ser enchidos com todo o volume reunido. Dois alunos propõem caminhos diferentes:

• Caminho da Clara: Converter previamente cada uma das três quantidades para decímetros cúbicos (litros), somá-las e dividir o total por $8$.

• Caminho do David: Expressar todas as quantidades em metros cúbicos com números decimais, somá-las, passar a soma final para centímetros cúbicos e dividir por $8\,000\text{ cm}^3$.

a) Faça os cálculos seguindo passo a passo os dois métodos e comprove que se chega à mesma solução.

b) Qual dos dois métodos você considera mais eficiente e seguro para não se enganar ao deslocar vírgulas ou acrescentar zeros? Justifique sua escolha com base nas equivalências entre as unidades do Sistema Métrico Decimal e as de capacidade.

Um reservatório tem capacidade de $0,45\ \text{km}^3$. Após um ano de seca, está em $62\%$ de sua capacidade.

a) Quantos hectômetros cúbicos de água ele contém?

b) Quantos litros são? Expresse o resultado em notação científica.

c) Quantos hectômetros cúbicos faltam para enchê-lo por completo?

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registra durante uma tempestade de outono uma precipitação acumulada de $65\text{ l/m}^2$ em uma localidade. O telhado do ginásio de esportes municipal é plano e tem uma superfície retangular de $40\text{ m}$ de comprimento por $25\text{ m}$ de largura. Toda a água que cai nesse telhado é conduzida para uma cisterna subterrânea cúbica de $4\text{ m}$ de aresta que, antes do início da chuva, já continha $12\,000\text{ litros}$ de água.

a) Demonstre de forma fundamentada, utilizando a mudança de unidades de volume e superfície, por que uma precipitação de $1\text{ l/m}^2$ equivale exatamente a uma altura ou lâmina de água de $1\text{ mm}$ de espessura.

b) Modele matematicamente a situação e calcule o volume de água da chuva, em metros cúbicos, que cairá sobre o telhado durante a tempestade.

c) Determine se a cisterna vai transbordar ou se terá capacidade suficiente para armazenar toda a água recolhida. Justifique a sua resposta indicando quantos litros faltarão para encher ou quantos litros vão transbordar.

Um reservatório vazio pesa $12$ kg e, cheio de diesel, pesa $522$ kg. Se a densidade do diesel é $0,85\ \text{kg/dm}^3$, quantos litros de diesel o reservatório contém?

Para medir o volume de uma pedra, nós a submergimos em um copo cilíndrico com água, como mostrado na figura. O diâmetro interno do copo é $8$ cm e o nível da água sobe de $5$ cm para $8$ cm.

a) Quanto o nível da água subiu?

b) Calcule o volume da pedra em centímetros cúbicos (considere $\pi \approx 3,14$).

Uma banheira está cheia de água até a borda. Marta entra nela e transbordam $35$ litros de água.

a) Qual é o volume, em decímetros cúbicos, da parte do corpo de Marta que fica submersa?

b) Se Marta pesa $32$ kg, qual é a densidade média do seu corpo em $\text{kg/dm}^3$? Compare-a com a densidade da água ($1\ \text{kg/dm}^3$) e explique por que ela consegue flutuar.

Um bloco de cortiça tem um volume de $25\ \text{dm}^3$ e uma densidade de $0,24\ \text{kg/dm}^3$.

a) Qual é a sua massa?

b) Ele flutuará na água? Justifique a resposta comparando as densidades.

c) Qual volume de cortiça seria necessário para ter uma massa de $30$ kg?

Um bloco de concreto de $1,5\ \text{m} \times 0,8\ \text{m} \times 0,4\ \text{m}$ tem uma densidade de $2\,400\ \text{kg/m}^3$.

a) Calcule seu volume e sua massa.

b) Um guindaste pode levantar até $1,5$ toneladas. Ele consegue mover o bloco?

c) Ele conseguiria mover dois blocos de uma vez? Justifique a resposta.

Conta a lenda que Arquimedes descobriu como verificar se a coroa do rei era de ouro puro medindo a água deslocada ao submergi-la. Na figura, uma coroa de $750$ g é submersa em uma proveta com água.

a) Qual é o volume da coroa?

b) Calcule sua densidade em $\text{g/cm}^3$.

c) Sabendo que a densidade do ouro é $19,3\ \text{g/cm}^3$ e a da prata é $10,5\ \text{g/cm}^3$, a coroa poderia ser de ouro maciço? Justifique a resposta.

Um bloco de gelo de $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ tem uma densidade de $0,92\ \text{kg/dm}^3$.

a) Calcule seu volume em decímetros cúbicos.

b) Qual é a sua massa?

c) Ao derreter, a água resultante tem uma densidade de $1\ \text{kg/dm}^3$. Qual volume ela ocupará? Ocupa mais ou menos que o gelo? A que se deve essa diferença?

Para calcular o volume de uma escultura de bronze maciça e de forma muito irregular, ela é mergulhada completamente em um recipiente cheio de água até a borda e todo o líquido que transborda é recolhido em um recipiente cúbico auxiliar de $20\text{ cm}$ de aresta interna.

a) Sabendo que a água recolhida enche exatamente três quartos do recipiente auxiliar, calcule o volume da escultura em decímetros cúbicos e expresse-o também em litros.

b) Ao pesar em uma balança a água deslocada pela escultura, o instrumento marca uma massa de $6\text{ kg}$. Explique por que essa medida de massa confirma que os cálculos de capacidade e volume do item anterior estão corretos.

c) Planeja-se fabricar uma réplica na escala $2:1$ dessa escultura (ou seja, duplicando cada uma de suas dimensões lineares: comprimento, largura e altura). Um membro da oficina afirma: «Como é o dobro do tamanho, ao ser mergulhada ela deslocará $12\text{ litros}$ de água, que pesarão $12\text{ kg}$». Fundamente, a partir de como se calcula o volume em três dimensões, por que essa afirmação é incorreta e determine o volume real (em $\text{dm}^3$) e a massa de água que a réplica deslocará.

Justifique se estas afirmações são verdadeiras ou falsas:

a) $1\ \text{dm}^3$ equivale a $1$ litro.

b) $1\ \text{m}^3$ equivale a $100$ litros.

c) $1\ \text{cm}^3$ de água tem uma massa de $1$ grama.

d) Para passar de $\text{m}^3$ para $\text{cm}^3$, multiplicamos por $1\,000$.

Desafio do tema. Auditoria geométrica e sustentabilidade na sua despensa.

1. Coleta de dados: Escolha em casa duas embalagens de uso diário: um poliedro (como uma caixa de leite longa vida ou uma caixa de cereais) e um corpo de revolução (uma lata cilíndrica ou um frasco). Meça com uma régua as dimensões deles em centímetros e anote a capacidade líquida indicada no rótulo (em $ml$ ou $cl$).

2. Cálculo e equivalências: Modele ambos no GeoGebra 3D ou registre seus dados em uma planilha. Determine a área total ($cm^2$) e o volume teórico ($cm^3$) de cada corpo. Converta esse volume para litros ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$) e compare-o com o valor do rótulo, justificando se existem discrepâncias devidas à espessura ou ao espaço de segurança.

3. Proposta fundamentada: Calcule a razão $\text{Área}/\text{Volume}$ para ambas as embalagens. Elabore um relatório breve (uma página) propondo qual é a forma mais eficiente para comercializar $0,5\text{ L}$ de produto usando a menor quantidade possível de material e minimizando a pegada ecológica.

Serão avaliados:

• Precisão nas medições reais, cálculo algébrico de áreas e volumes, e equivalência correta entre unidades de capacidade e volume.

• Uso rigoroso de ferramentas digitais (planilha ou GeoGebra) para representar e analisar os corpos tridimensionais.

• Qualidade da proposta final e justificativa matemática sobre a otimização da embalagem.