Função linear ou de proporcionalidade direta

Dada a função de proporcionalidade direta $y = -3x$:

• Indique o valor do seu coeficiente angular.

• A função é crescente ou decrescente?

• Calcule o valor da imagem para $x = 2$ e para $x = -1$.

Indique, justificando, qual dos três gráficos a seguir corresponde a uma função de proporcionalidade direta.

Três amigos comparam seus planos de dados móveis para ver quantos "Gigas" consomem ao assistir a vídeos em alta definição. Sabe-se que o consumo é proporcional ao tempo de visualização.

• Plano A: $y = 0,8x$

• Plano B: $y = 1,2x$

• Plano C: $y = 0,5x$

Onde $x$ é o tempo em horas e $y$ são os Gigas consumidos.

1. a) Qual dos três planos consome dados mais rapidamente? Justifique sua resposta usando o conceito de coeficiente angular.
2. b) Se um usuário tem um limite de $6$ GB diários, quantas horas de vídeo poderá assistir com o Plano B antes de esgotar seus dados?

Em uma loja de doces, cada pacote de balas custa $\text{R\$}\ 1,50$. Queremos estudar a relação entre o número de pacotes que compramos ($x$) e o dinheiro total que pagamos ($y$).

Identifique:

• A variável independente.

• A variável dependente.

• A constante de proporcionalidade ($m$).

• A equação da função que relaciona ambas as grandezas.

Observe a seguinte tabela de valores que relaciona o tempo em que uma lâmpada LED fica acesa ($x$, em horas) com o consumo de energia ($y$, em watts-hora, Wh):

Indique se se trata de uma função de proporcionalidade direta, calcule sua constante de proporcionalidade e escreva sua equação.

Encontre o coeficiente angular da seguinte função de proporcionalidade direta representada no gráfico e escreva sua equação na forma $y = mx$.

Indique, de forma justificada, quais das seguintes tabelas correspondem a uma função de proporcionalidade direta. Para aquelas que corresponderem, calcule a constante de proporcionalidade ($m$) e escreva a equação.

Tabela 1:

Tabela 2:

Tabela 3:

Observe o gráfico a seguir, que representa duas funções de proporcionalidade direta, $r$ e $s$. Mostram os pontos obtidos por dois jogadores em um videogame ao longo do tempo (o tempo está em minutos).

1. a) Encontre a equação da reta $r$ sabendo que passa pelo ponto $P(2, 10)$.

1. b) Encontre a equação da reta $s$ sabendo que passa pelo ponto $Q(4, 8)$.

1. c) O que representa o coeficiente angular neste contexto?

Complete a seguinte tabela sabendo que a relação entre $x$ e $y$ é de proporcionalidade direta com uma constante $m = 4$. Depois, represente os pontos em um plano cartesiano.

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Encontre a equação da função de proporcionalidade direta $y = mx$ cujo gráfico passa pelo ponto $A(-3, 12)$. Represente a função graficamente, indicando pelo menos outros dois pontos pelos quais a reta passa.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um drone de entregas voa a uma velocidade constante de $12$ metros por segundo ($\text{m/s}$).

1. a) Complete a seguinte tabela que relaciona o tempo de voo ($x$) com a distância percorrida ($y$):

1. b) Represente graficamente a função em um plano cartesiano (tempo no eixo horizontal e distância no eixo vertical).

1. c) Indique qual é o coeficiente angular e explique que significado físico ele tem neste problema.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um entregador de pizza de bicicleta viaja a uma velocidade constante de $20 \text{ km/h}$.

• Escreva a função que relaciona a distância percorrida ($y$, em km) com o tempo decorrido ($x$, em horas).

• Quantos quilômetros ele terá percorrido após $3$ horas de trabalho?

Em uma receita culinária indica-se que para cada $100 \text{ g}$ de farinha devem-se usar $2$ ovos.

• Calcule a constante de proporcionalidade que relaciona o número de ovos ($y$) com a quantidade de farinha ($x$, medida em centenas de gramas).

• Escreva a equação da função.

• Se tivermos um pacote de $500 \text{ g}$ de farinha, de quantos ovos precisaremos de acordo com essa função?

Numa campanha de reciclagem, uma ONG determinou que, para cada quilograma de embalagens de plástico PET reciclado, são economizados $1,5$ litros de petróleo na fabricação de novos produtos.

1. a) Escreva a função que relaciona os quilogramas de plástico reciclados ($x$) com os litros de petróleo economizados ($y$).

1. b) Crie uma tabela de valores para $0, 5, 10$ e $20$ kg de plástico.

1. c) Quantos litros de petróleo serão economizados se o instituto conseguir reciclar $120$ kg de embalagens?

Em uma loja de aplicativos, a compra de um lote de "moedas virtuais" para um jogo segue uma função linear. Sabemos que $500$ moedas custam $4,50$ reais.

1. a) Calcule a constante de proporcionalidade (preço por moeda).
2. b) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o número de moedas ($x$) com o custo em reais ($y$).
3. c) Se um adolescente tem $15$ reais economizados, quantas moedas poderá comprar no máximo?

Uma empresa de impressão 3D cobra das escolas apenas pelo material utilizado. Sabe-se que $100$ gramas de filamento PLA custam $3,50$ reais.

1. a) Determine a função que calcula o custo ($y$) de acordo com os gramas de material ($x$).
2. b) É uma função crescente ou decrescente? Por quê?
3. c) Se a peça que você quer imprimir para o seu projeto de Tecnologia pesa $45$ gramas, quanto custará a impressão?

Em uma plataforma de streaming de videogames, a qualidade da transmissão consome dados de forma proporcional ao tempo de uso. Um usuário verificou que, após jogar durante $15$ minutos, seu roteador indica um consumo de $1,2$ Gigabytes (GB).

• Determine a constante de proporcionalidade $m$ que relaciona o consumo de dados ($y$, em GB) com o tempo ($x$, em minutos).

• Escreva a equação da função linear que modela essa situação.

• Se o usuário tem um limite diário de $5$ GB antes que sua velocidade seja reduzida, quantos minutos e segundos exatos ele pode jogar mantendo essa qualidade?

Um laboratório de robótica está testando um protótipo que se desloca em linha reta a velocidade constante. Sabe-se que a função que relaciona a distância percorrida ($d$) com o tempo ($t$) é uma função de proporcionalidade direta. No instante $t = 4,5$ segundos, o robô percorreu exatamente $11,25$ metros.

• Calcule o coeficiente angular da função e indique qual grandeza física ele representa neste contexto.

• Escreva a expressão algébrica da função.

• Se o robô deve percorrer uma pista de $0,05$ quilômetros, quanto tempo levará? Expresse o resultado em segundos.

O gráfico a seguir mostra a relação entre o volume de água ($V$) em um recipiente cilíndrico e a altura ($h$) atingida pelo nível da água. Devido à forma do recipiente, essa relação é de proporcionalidade direta.

• A partir dos pontos observados no gráfico, determine a constante de proporcionalidade.

• Escreva a equação que permite calcular o volume em função da altura.

• Qual altura a água atingirá se despejarmos $7$ litros no recipiente?

Em uma oficina de design, utiliza-se uma máquina de corte a laser que consome energia de forma proporcional à área do material cortado. Observou-se que, para cortar $4$ peças quadradas de $15$ cm de lado cada uma, a máquina consome $180$ Joules (J).

• Calcule o consumo de energia por centímetro quadrado cortado ($cm^2$).

• Defina a função linear que relaciona o consumo total de energia ($y$) com a área cortada ($x$).

• Quanta energia a máquina consumiria para cortar um único painel retangular de $0,4$ metros de comprimento por $25$ centímetros de largura?

Dois amigos, Ana e Marcos, estão economizando para uma viagem. Ana economiza em um ritmo constante, que se expressa pela função $f(x) = 12,5x$, em que $x$ é o número de semanas e $y$ o dinheiro economizado em reais. Marcos não sabe a sua função, mas sabe que na semana $8$ tinha economizado exatamente $92$ reais e que a sua economia também é proporcional ao tempo.

1. a) Determine a equação da função de Marcos, $g(x)$.

1. b) Represente ambas as funções nos mesmos eixos coordenados (esboço).

1. c) Qual dos dois tem o "coeficiente angular" maior? Interprete este resultado em termos de quem economiza mais rápido.

1. d) Se a viagem custar $300$ reais, quantas semanas de diferença haverá entre o momento em que Ana conseguir o dinheiro e o momento em que Marcos o conseguir?

Um mapa em escala mostra uma relação de proporcionalidade direta entre a distância medida no papel ($x$, em milímetros) e a distância real no terreno ($y$, em quilômetros). Sabemos que uma distância real de $150$ km é representada no mapa por um segmento de $60$ mm.

• Determine a equação da função linear que permite converter mm do mapa em km reais.

• Qual distância real separa duas cidades se no mapa elas estão a $14,4$ centímetros? (Cuidado com as unidades).

• Se quisermos representar uma trilha de $12.500$ metros, quantos milímetros ela medirá no mapa?

A lei de Hooke estabelece que a deformação de uma mola é diretamente proporcional à força aplicada sobre ela. Uma mola mede $12$ cm em repouso. Ao pendurar um peso de $2$ kg, a mola passa a medir $15$ cm.

• Atenção: A função de proporcionalidade relaciona a força (ou massa, neste caso) com a deformação (o quanto aumenta o comprimento), não com o comprimento total. Calcule a deformação produzida pelos $2$ kg.

• Determine a constante de proporcionalidade $m$ ($cm/kg$).

• Escreva a função $y = mx$ que relaciona a deformação $y$ com a massa $x$.

• Qual será o comprimento total da mola se pendurarmos um peso de $5,4$ kg?

Uma empresa de reciclagem de plástico estima que o peso do polietileno obtido ($y$) é diretamente proporcional ao número de garrafas vazias processadas ($x$). Ao processar um contêiner com $120$ garrafas, são obtidos $3,3$ kg de material reciclado.

• Encontre a constante de proporcionalidade e explique seu significado.

• Se a empresa receber um pedido para fabricar peças que exigem $55$ kg de plástico, quantas garrafas precisará reciclar?

• Se para cada garrafa reciclada a empresa receber um subsídio de $0,015$ reais, escreva a função linear que relaciona o dinheiro recebido ($D$) com o peso do plástico obtido ($y$). (Nota: você deverá combinar a relação garrafas-peso com a relação garrafas-dinheiro).