Área de sólidos geométricos

Um artesão está fabricando dados gigantes de madeira para uma brinquedoteca. Se cada dado é um cubo perfeito que tem uma aresta de $a = 12 \text{ cm}$, calcule a área total de madeira que terá que pintar em cada um dos dados.

Calcule a área total de uma caixa de sapatos com forma de paralelepípedo cujas dimensões são $15 \text{ cm}$ de largura, $30 \text{ cm}$ de comprimento e $10 \text{ cm}$ de altura. Desenhe de forma esquemática a planificação dela para ajudar no cálculo.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma tenda de jardim tem a forma de um prisma triangular regular reto. A base é um triângulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$. Se o comprimento da tenda (altura do prisma) é de $5 \text{ m}$, calcule a área lateral da tenda (sem incluir as duas bases triangulares).

Para um projeto de tecnologia, você tem que fabricar uma caixa de madeira com forma de prisma hexagonal regular. A aresta da base mede $4\text{ cm}$ e a altura do prisma é de $15\text{ cm}$. Calcule a superfície total de madeira que você precisará para construir a caixa (incluindo as duas bases).

(Nota: Para encontrar a área da base, lembre-se de que primeiro deve calcular o apótema do hexágono usando o teorema de Pitágoras).

Calcule a área total de um cubo sabendo que a diagonal de uma de suas faces mede $10\text{ cm}$.

(Dica: Utilize o teorema de Pitágoras em uma das faces para encontrar a medida da aresta do cubo antes de calcular a área).

Uma cooperativa de azeite de oliva extravirgem de Jaén quer comercializar uma lata metálica de design premium com a forma de um prisma hexagonal regular. Por razões ergonômicas e de manuseio na cozinha, a aresta da base hexagonal mede $4\text{ cm}$. O departamento financeiro impõe uma restrição de custos: a superfície total de folha de flandres consumida por cada embalagem fechada (incluindo ambas as bases hexagonais) não pode ultrapassar $450\text{ cm}^2$.\na) Determine a área de uma das bases hexagonais regulares. Lembre-se de que, para calcular o apótema da base, você deve utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo raio da base (que mede o mesmo que o lado, $4\text{ cm}$) e por metade do lado. Arredonde o apótema a duas casas decimais e a área da base aos décimos.\nb) A partir da área total máxima permitida ($450\text{ cm}^2$), formule uma equação ou inequação em que intervenham a altura $h$ da lata e as duas bases hexagonais.\nc) Resolva a expressão para deduzir a altura máxima que a lata pode ter. Se o maquinário de envase apenas permite calibrar alturas em números inteiros de centímetros, qual é a maior altura, em centímetros, que se pode fabricar cumprindo o orçamento de material?

Encontre a área total de uma pirâmide quadrangular regular se sabemos que o lado da base quadrada mede $8 \text{ cm}$ e a apótema de suas faces laterais mede $10 \text{ cm}$.

Observe a planificação deste sólido geométrico. Se cada um dos triângulos isósceles tem uma área de $15 \text{ cm}^2$ e o quadrado central tem um lado de $6 \text{ cm}$, qual é a área total da figura quando for montada? Que sólido geométrico se forma?

Uma tenda para um evento juvenil tem forma de pirâmide quadrangular regular. O lado da base quadrada mede $10\text{ m}$ e a altura da pirâmide (do centro da base até o vértice superior) é de $12\text{ m}$. Calcule quantos metros quadrados de lona foram necessários para fabricar as quatro faces laterais da tenda.

Uma empresa de design quer fabricar uma luminária de teto com forma de pirâmide hexagonal regular. O lado do hexágono da base mede $10\text{ cm}$ e a altura da pirâmide é de $24\text{ cm}$. Para que a luz se projete corretamente, é preciso revestir as faces laterais com uma folha de cobre especial. Calcule quantos $\text{cm}^2$ de folha de cobre são necessários para cobrir a superfície lateral da luminária. Considere que primeiro você deverá encontrar o apótema da base e, com ele, o apótema da pirâmide.

Um vaso moderno tem forma de tronco de pirâmide quadrangular regular. As bases são dois quadrados de lados $20\text{ cm}$ e $12\text{ cm}$, respectivamente. Se a altura das faces laterais (a apótema do tronco) é de $10\text{ cm}$, calcule a área total da superfície externa do vaso (bases superior e inferior incluídas).

Um arquiteto projetou uma claraboia para um museu que consiste em um tronco de pirâmide quadrangular regular de vidro. A base inferior tem um lado de $4\text{ m}$, a base superior um lado de $2\text{ m}$ e a altura do tronco é de $1,5\text{ m}$. O vidro utilizado para as faces laterais custa $85\text{ \text{R\$}\ /m}^2$. Calcule o orçamento necessário para comprar o vidro da superfície lateral, arredondando o resultado para duas casas decimais.

Calcule a área lateral de um cilindro cuja circunferência da base mede $C = 25,12 \text{ cm}$ e cuja altura é de $h = 10 \text{ cm}$. (Dica: Lembre-se de que, ao abrir o cilindro, a área lateral é um retângulo cuja base é o comprimento da circunferência).

Para um projeto de tecnologia, você precisa forrar com papel adesivo um porta-lápis cilíndrico. O porta-lápis tem um raio da base de $r = 4 \text{ cm}$ e uma altura de $h = 12 \text{ cm}$. Calcule quantos centímetros quadrados de papel serão necessários, sabendo que o porta-lápis é aberto em cima (só tem uma base). Considere $\pi \approx 3,14$.

Um fabricante de velas artesanais quer revestir com um papel protetor prateado a superfície lateral de uma vela cilíndrica. A vela tem um diâmetro de $8\text{ cm}$ e uma altura de $20\text{ cm}$. Se o papel só deve cobrir a parte curva (sem as bases), qual área de papel é necessária para cada vela? Utilize $\pi \approx 3,14$.

Em uma sorveteria de design, criaram uma casquinha com forma de cone reto cuja altura é de $12\text{ cm}$ e o raio da sua base é de $5\text{ cm}$. Calcule a área total da casquinha (superfície lateral mais o círculo da base) para saber quanto chocolate precisam para cobri-la por completo.

(Dica: Primeiro você deverá encontrar a geratriz do cone).

No interior de Minas Gerais vai ser restaurado o telhado cônico de um moinho de vento para proteger o seu maquinário interno das chuvas torrenciais registradas pelo INMET. O telhado tem a forma de um cone reto: o raio da sua base circular mede $3\text{ m}$ e a altura vertical desde o centro da base até o vértice mede $4\text{ m}$. Apenas se vai impermeabilizar a superfície lateral exterior (o cone não tem base para cobrir, uma vez que assenta aberta sobre a torre de alvenaria).\na) Modele a seção do telhado por meio de um triângulo retângulo para calcular a geratriz do cone aplicando o teorema de Pitágoras.\nb) Calcule os metros quadrados de superfície cônica que devem ser impermeabilizados (adote $\pi \approx 3,14$).\nc) Para colocar as telas impermeabilizantes é necessário encomendar $10\,\%$ extra de material devido a cortes e sobreposições. Se o metro quadrado de tela custa $\text{R\$}\ 25$, calcule o custo total do material necessário para a restauração.

Uma bola de basquete tem raio de $r = 12 \text{ cm}$. Calcule a superfície de couro necessária para fabricá-la, arredondando o resultado para duas casas decimais. (Lembre-se de que a área da esfera é $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$).

Para os treinos escolares da Confederação Brasileira de Handebol utilizam-se bolas regulamentares esféricas de tamanho 2, cujo raio é de $8,5\text{ cm}$.\na) Antes de efetuar qualquer cálculo exato, faça uma estimativa aproximada da área da superfície esférica arredondando mentalmente o raio para $8\text{ cm}$ e o número $\pi$ para $3$. Justifique se você acha que a área real superará os $1.000\text{ cm}^2$ ou se será menor.\nb) Calcule agora com precisão a superfície de couro da bola aplicando a fórmula da área da esfera ($A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$), tomando o raio real de $8,5\text{ cm}$ e $\pi \approx 3,14$. Arredonde o resultado aos centésimos.\nc) Compare o valor obtido com a sua estimativa inicial e avalie por que motivo estimar previamente um resultado nos ajuda a verificar se os cálculos feitos com a calculadora são razoáveis.

Quer-se restaurar a cúpula de um observatório astronômico que tem forma de semiesfera de $6\text{ metros}$ de raio. Se o orçamento para a pintura é de $\text{R\$}\ 15$ por metro quadrado, quanto custará pintar a superfície exterior da cúpula? (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Um fabricante de bolas de ginástica produz esferas de borracha de dois tamanhos. A bola pequena tem uma superfície de $5024\text{ cm}^2$. A bola grande tem um raio que é exatamente o dobro do da bola pequena. Calcule a área da superfície da bola grande. Qual é a relação numérica (razão) entre a área da bola grande e a da pequena? Use $\pi = 3,14$.

Um farol decorativo para um jardim é formado por dois corpos: um cilindro de $10\text{ cm}$ de raio e $30\text{ cm}$ de altura, coroado por um cone de mesma base e $15\text{ cm}$ de geratriz. Calcule a área total da superfície externa deste farol (sem contar a base sobre a qual ele se apoia).

Um reservatório industrial tem forma de cilindro reto coroado por um cone de mesma base. A altura da parte cilíndrica é de $8\text{ m}$ e a altura da parte cônica é de $3\text{ m}$. O diâmetro do reservatório é de $8\text{ m}$. Deseja-se pintar toda a superfície exterior lateral e a base superior (cone), mas não a base sobre a qual se apoia. Se com cada lata de tinta é possível cobrir $15\text{ m}^2$, quantas latas de tinta devem ser compradas, no mínimo?

Para conceber um monólito comemorativo em um parque público, a prefeitura projeta uma torre composta por um prisma quadrangular reto de base quadrada com $4\text{ m}$ de lado e $10\text{ m}$ de altura, coroado por uma pirâmide quadrangular reta de base idêntica e uma altura vertical de $1,5\text{ m}$. Dois arquitetos discutem como calcular a superfície exterior total que necessitará de tratamento hidrófugo (incluindo a base inferior do prisma que se apoia no terreno preparado):\n- Método da Laura: «Calculo a área total da pirâmide completa pela sua fórmula, somo a ela a área total do prisma completo pela sua fórmula e subtraio duas vezes a área do quadrado onde se unem».\n- Método do Sérgio: «Olho para a planificação exterior do corpo conjunto: calculo diretamente a área da base inferior, a área lateral do prisma e a área lateral da pirâmide, somando essas três quantidades».\na) Demonstre formalmente que ambos os métodos chegam à mesma expressão algébrica da superfície.\nb) Justifique qual dos dois métodos é mais conveniente e eficiente para evitar erros na prática de oficina.\nc) Aplique o método mais conveniente para determinar a superfície exterior total que deve ser tratada. (Leve em conta que, para a pirâmide, você deve calcular primeiro o seu apótema usando o teorema de Pitágoras com metade do lado da base e a sua altura vertical).

Foi projetado um troféu de acrílico que consiste em um cilindro reto de $10\text{ cm}$ de altura e $6\text{ cm}$ de diâmetro, do qual se extraiu uma semiesfera perfeita na base superior, cujo raio coincide exatamente com o raio do cilindro. Calcule a área total da superfície do troféu (superfície externa cilíndrica, superfície da base inferior e a superfície curva da cavidade semiesférica). Use $\pi \approx 3,14$.

Um cubo de madeira de $12\text{ cm}$ de aresta é cortado mediante um plano que passa pelos pontos médios de três arestas concorrentes em um mesmo vértice, separando uma pequena pirâmide triangular (um tetraedro irregular). Calcule a área total da figura resultante que fica após retirar a pequena pirâmide. Ajuda: O corte gera uma nova face que é um triângulo equilátero cujos lados são as diagonais dos quadrados de lado $6\text{ cm}$.

Deseja-se construir uma estufa com forma de meio cilindro apoiado sobre o solo, como mostrado na figura. O comprimento da estufa é de $15\text{ m}$ e a largura da base (o diâmetro do semicilindro) é de $6\text{ m}$. Se o plástico para cobrir a parte curva e as duas paredes frontais (semicírculos) custa $12\text{ \text{R\$}\ /m}^2$, qual será o custo total do plástico necessário? (Não se conta o solo).

Uma peça mecânica de aço tem a forma de um prisma reto de base quadrada com um furo cilíndrico que a atravessa de base a base pelo centro. O lado do quadrado da base do prisma mede $10\text{ cm}$ e a altura da peça é de $20\text{ cm}$. O diâmetro do furo cilíndrico é de $8\text{ cm}$. Calcule a área da superfície total da peça (incluindo a superfície interna do furo).

O Marcos quer forrar com papel adesivo um porta-lápis que tem a forma cilíndrica. O recipiente está aberto na parte superior, a sua base circular tem um raio de $4\text{ cm}$ e a sua altura é de $12\text{ cm}$. Para calcular a quantidade de papel necessária, o Marcos anota no caderno:\n- Área lateral: $A_L = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 12 \approx 301,59\text{ cm}^2$\n- Área da base: $A_{base} = \pi \cdot 4^2 \approx 50,27\text{ cm}^2$\n- Área total: $A_T = A_L + 2 \cdot A_{base} = 301,59 + 2 \cdot 50,27 = 402,13\text{ cm}^2$\na) Indique o erro de raciocínio geométrico que o Marcos cometeu, levando em conta a função do objeto que vai forrar.\nb) Explique que modificação deve ser feita na fórmula da área total a partir da planificação de um cilindro aberto em cima.\nc) Calcule a superfície real de papel adesivo que o Marcos precisa recortar (use $\pi \approx 3,14$).

Uma fábrica de conservas vegetais de Minas Gerais produz latas cilíndricas de folha-de-flandres para embalar palmitos. A equipe técnica fixou que a base circular da lata deve ter um raio de $4\text{ cm}$. A máquina de corte dispõe de exatamente $351,68\text{ cm}^2$ de chapa metálica para fabricar cada lata completa fechada (área lateral mais as duas tampas circulares).\na) Formule uma equação em que a incógnita seja a altura $h$ do cilindro, utilizando os dados fornecidos e a fórmula da área total ($A_T = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2$, usando $\pi \approx 3,14$).\nb) Resolva a equação para calcular a altura exata que a lata deve ter.\nc) Se o departamento de qualidade indica que para essa quantidade de conserva a altura ideal deve situar-se entre $9\text{ cm}$ e $11\text{ cm}$, determine de forma justificada se as dimensões encontradas cumprem o referido padrão de qualidade.