Resolução de sistemas de equações

Resolva o seguinte sistema de equações lineares pelo método da substituição:

$\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema de equações usando o método da comparação:

$\begin{cases} x + 4y = 1 \\ x - 2y = 13 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema de equações pelo método da adição:

$\begin{cases} 5x + 2y = 11 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}$

Observe com atenção os dois sistemas de equações lineares a seguir:

Sistema A: $\begin{cases} x = 3y - 2 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases}$

Sistema B: $\begin{cases} 4x + 3y = 11 \\ 4x - 5y = -5 \end{cases}$

1. a) Sem resolvê-los ainda, analise a estrutura de ambos e indique de forma fundamentada qual dos três métodos algébricos básicos (substituição, igualação ou redução) é mais rápido e direto para cada um deles, explicando que elemento visual das equações justifica a sua escolha.
2. b) Escolha um dos dois sistemas e resolva-o aplicando o método que você selecionou no item anterior, verificando no final se a solução obtida satisfaz ambas as igualdades.

Elimine os parênteses e resolva o seguinte sistema linear:

$\begin{cases} 2(x + 1) - 3(y - 2) = 16 \\ 5x + y = 3 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema linear operando previamente com os denominadores para obter equações equivalentes mais simples:

$\begin{cases} \frac{x - 1}{3} + \frac{y + 2}{4} = 3 \\ \frac{2x + y}{7} - \frac{x - y}{2} = 3 \end{cases}$

A Lucía tentou resolver no quadro o seguinte sistema de equações com denominadores:

$\begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{y-2}{3} = 2 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

No caderno dela estava escrito este desenvolvimento:

• Passo 1 (eliminar os denominadores multiplicando a primeira equação por $6$): $3 \cdot (x + 1) - 2 \cdot (y - 2) = 12 \implies 3x + 3 - 2y - 4 = 12 \implies 3x - 2y = 13$.

• Passo 2 (isolar $y$ na segunda equação): $y = 2x - 1$.

• Passo 3 (substituir na primeira equação simplificada): $3x - 2 \cdot (2x - 1) = 13 \implies 3x - 4x - 2 = 13 \implies -x = 15 \implies x = -15$.

• Passo 4 (calcular a incógnita restante): $y = 2 \cdot (-15) - 1 = -31$.

1. a) A Lucía cometeu dois erros comuns com os sinais ao tirar os parênteses. Localize em quais passos eles se encontram e explique com precisão que propriedade ou regra matemática ela não respeitou em cada um.
2. b) Corrija o procedimento e resolva adequadamente o sistema para encontrar os valores corretos de $x$ e $y$.

A soma de dois números é $45$ e a diferença deles é $11$. Elabore um sistema de equações lineares e encontre esses números.

Uma associação juvenil de Goiânia organiza uma saída de voluntariado ambiental e compra na bilheteria dois tipos de títulos de transporte intermunicipal: bilhetes simples para trajetos curtos a $1,80$ reais cada um e passes multiviagem a $9,50$ reais cada um. No total adquirem $25$ títulos de transporte e a fatura chega exatamente a $137,40$ reais.

1. a) Defina com clareza que grandeza cada incógnita representa e escreva o sistema de duas equações lineares que modela esta compra.
2. b) Resolva o sistema pelo método que considerar mais conveniente e interprete o resultado, explicando quantos bilhetes simples e quantos passes multiviagem a associação comprou.

Um avô diz ao seu neto: "Há $5$ anos, a minha idade era o quíntuplo da sua, mas daqui a $10$ anos será apenas o dobro". Elabore um sistema de equações lineares e determine a idade atual de cada um.

O perímetro de um terreno retangular mede $140$ metros. Se a base diminuísse $5$ metros e a altura aumentasse $5$ metros, o terreno se tornaria um quadrado. Calcule as dimensões atuais do terreno.

Em um laboratório químico foram misturadas duas soluções ácidas. A primeira tem uma concentração de $20\%$ e a segunda de $50\%$. Se deseja-se obter $60$ litros de uma nova solução a $30\%$, quantos litros de cada tipo devem ser misturados?

Uma família de Belo Horizonte com tarifa de energia elétrica regulada analisa o termo de consumo de energia das suas duas últimas faturas bimestrais. Na primeira consumiram $250\text{ kWh}$ em horário de pico e $180\text{ kWh}$ em horário fora de pico, com um custo total de energia de $81,60$ reais. Na segunda fatura consumiram $150\text{ kWh}$ em pico e $220\text{ kWh}$ fora de pico, resultando em um custo de $62,40$ reais. O preço unitário do kWh em pico ($p$) e fora de pico ($v$) manteve-se constante em ambos os meses.

1. a) Sem resolver ainda o sistema, fundamente qual dos dois preços ($p$ ou $v$) deve ser maior e estime um intervalo de preços verossímil em reais por kWh (ou centavos de reais) para cada período, tendo em conta o custo habitual da eletricidade nas residências brasileiras.
2. b) Formule o sistema de equações lineares que descreve a situação e resolva-o por adição para obter os preços exatos de $p$ e $v$ em reais/kWh.
3. c) Compare os resultados exatos com a sua estimativa prévia e avalie criticamente se os valores obtidos confirmam a sua previsão inicial.

Dois ciclistas partem ao mesmo tempo de duas cidades, A e B, separadas por $90$ km, e vão ao encontro um do outro. Se viajam a velocidades constantes, cruzam-se ao fim de $3$ horas. Se o ciclista que parte de A tivesse saído uma hora antes do que o de B, eles se encontrariam $2$ horas e $40$ minutos depois da saída do ciclista de B. A que velocidade cada ciclista circula?

Determine o valor do parâmetro $k$ para que o seguinte sistema linear seja incompatível, e justifique a posição relativa que teriam as duas retas que o formam no plano cartesiano:

$\begin{cases} 3x - (k+1)y = 5 \\ 6x - 8y = 12 \end{cases}$

Imagina que fazes parte da equipa que redige as provas de avaliação diagnóstica do 4.º ano do ESO e tens de conceber um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas ($x$ e $y$) que cumpra simultaneamente as três condições seguintes:

1. A sua solução única deve ser exatamente $x = 3$, $y = -2$.

2. Nenhum dos coeficientes das incógnitas nem dos termos independentes pode ser $0$, $1$ nem $-1$.

3. Ao aplicar o método de redução somando diretamente as duas equações membro a membro (sem necessidade de multiplicar previamente nenhuma equação por outro número), uma das incógnitas deve eliminar-se completamente.

1. a) Escreva o sistema que você construiu e justifique passo a passo por que ele satisfaz cada uma das três condições.
2. b) Modifique a segunda equação do seu sistema para que o novo sistema resultante seja impossível (não tenha nenhuma solução). Explique de forma fundamentada a justificativa algébrica e a interpretação geométrica (posição relativa das retas) de por que essa alteração impede que haja solução.

Resolva o seguinte sistema escalonado de três equações com três incógnitas:

$\begin{cases} 2x - y + 3z = 14 \\ 5y - 2z = -3 \\ 4z = 16 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema de três equações com três incógnitas utilizando o método de Gauss ou por substituição sucessiva:

$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ 3x + y + z = 8 \end{cases}$

Uma empresa de transportes tem três tipos de vans: A, B e C. A van A pode transportar $2$ toneladas, a B $3$ toneladas e a C $5$ toneladas. Certo dia foram utilizadas $12$ vans no total para transportar $38$ toneladas de mercadoria. Se o número de vans do tipo A usadas é igual à soma das vans dos tipos B e C, elabore e resolva um sistema de três equações para saber quantas vans de cada tipo foram utilizadas.

Numa estação intermunicipal de triagem de resíduos na Bahia são gerenciados semanalmente três tipos de materiais recicláveis: plástico, papel/papelão e vidro. Durante uma semana de amostragem foram coletados os seguintes dados:

1. Entre os três materiais foram tratadas no total $180\text{ toneladas}$.

2. A soma das toneladas de papel/papelão e de vidro duplicou exatamente a quantidade de plástico processado.

3. O custo logístico de reciclagem é de $40$ reais por tonelada de plástico, $20$ reais por tonelada de papel/papelão e $10$ reais por tonelada de vidro, chegando o custo total de tratamento dessa semana a $4300$ reais.

1. a) Atribua uma incógnita a cada material e formule um sistema canônico de três equações lineares com três incógnitas que represente a situação.
2. b) Aplique o método de Gauss para transformar o sistema em um sistema escalonado equivalente, indicando com clareza as operações elementares realizadas entre linhas.
3. c) Resolva o sistema escalonado de baixo para cima para determinar quantas toneladas de cada resíduo foram processadas e analise se as quantidades guardam uma proporção lógica no contexto da coleta seletiva urbana.

Resolva o seguinte sistema não linear, formado pela equação de uma parábola e uma reta:

$\begin{cases} y = x^2 - 4x + 3 \\ y = x - 1 \end{cases}$

Encontre todas as soluções reais do seguinte sistema de equações do segundo grau:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases}$

Encontre os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta dadas pelo seguinte sistema não linear:

$\begin{cases} x \cdot y = 12 \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema não linear simétrico:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 58 \\ x \cdot y = 21 \end{cases}$

Um estádio de atletismo tem uma pista formada por um retângulo central e dois semicírculos nas extremidades. O perímetro total da linha interna da pista é de $400$ metros e a área do retângulo central é de $5600$ metros quadrados. Elabore um sistema de equações não lineares para encontrar o raio $R$ dos semicírculos e o comprimento $L$ do trecho reto. Considere $\pi \approx 3$.

Encontre as soluções do seguinte sistema de equações irracionais:

$\begin{cases} x - y = 5 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema de equações exponenciais:

$\begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema de equações com frações algébricas aplicando uma mudança de variável adequada:

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 2 \\ \frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Encontre a solução do seguinte sistema de equações logarítmicas:

$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = 2 \\ x - 4y = 0 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema exponencial:

$\begin{cases} 3^x + 2^y = 17 \\ 3^{x+1} - 2^{y+2} = -5 \end{cases}$