Fatorial

Calcule o valor exato da expressão $6! - 4!$.

Na gala final do festival Benidorm Fest transmitida pela TV, 6 artistas classificados devem se apresentar no palco para competir pela vaga em um grande festival internacional da canção.

1. a) Modele esta situação: expresse, por meio de um fatorial, de quantas formas distintas a equipe de produção pode ordenar as apresentações dos 6 participantes ao longo da noite e calcule esse número total.
2. b) Se a organização decidir, por sorteio prévio, fixar qual artista se apresentará em primeiro lugar e qual artista encerrará a gala em sexto lugar, de quantas formas podem ser ordenados agora os outros 4 artistas? Justifique o resultado escrevendo a operação adequada com fatoriais.

Em uma corrida de $100$ metros rasos participam $8$ atletas. Expresse utilizando um fatorial de quantas formas distintas eles podem chegar à linha de chegada, supondo que não há empates, e calcule seu valor final.

Verifique se a igualdade $4! + 3! = 7!$ é verdadeira ou falsa, justificando a resposta mediante o cálculo dos fatoriais correspondentes.

Simplifique a seguinte fração de fatoriais sem usar calculadora: $\frac{8!}{6!}$.

Expresse o produto numérico $12 \cdot 11 \cdot 10$ utilizando uma divisão de fatoriais.

Calcule o resultado do seguinte quociente: $\frac{7!}{5! \cdot 2!}$.

Calcule mentalmente o valor de $\frac{100!}{99!}$.

Numa aula de 4.º do ESO, o professor pede para simplificar a fração $\dfrac{8!}{4!}$. O Sergio realiza a seguinte operação no quadro:

1. a) Explica por palavras tuas por que razão o raciocínio do Sergio está incorreto, apoiando-te no significado do fatorial como produto de números inteiros consecutivos.
2. b) Desenvolve de forma correta a expressão $\dfrac{8!}{4!}$ simplificando os fatores comuns antes de multiplicar e encontra o seu verdadeiro valor.

Uma equipe de inspetores da empresa de trens urbanos de São Paulo deve fiscalizar 5 estações consecutivas escolhidas em uma linha que conta com um total de 8 estações ($A, B, C, D, E, F, G, H$), sendo importante a ordem exata em que são visitadas. O número de possíveis rotas ordenadas é dado pela expressão $\dfrac{8!}{(8-5)!}$.

1. a) Sem fazer operações completas no papel nem usar calculadora, faça uma estimativa: você acha que haverá mais ou menos de 5000 rotas possíveis? Justifique a sua conjectura aproximando mentalmente o produto dos números que ficarão por simplificar.
2. b) Desenvolva a expressão simplificando o fatorial do denominador e obtenha o número exato de itinerários possíveis.
3. c) Verifique se a sua estimativa inicial estava correta calculando a diferença entre o valor real e os 5000 estimados, e explique por que razão este tipo de cálculo cresce com tanta rapidez ao aumentar o número de elementos.

Para organizar os turnos noturnos de serviço em um posto local da Cruz Vermelha, deve-se calcular de quantas formas se podem atribuir duas funções de responsabilidade distinta (motorista de ambulância e técnico de emergências) entre os 9 voluntários disponíveis. A fórmula aplicada leva ao cálculo de $\dfrac{9!}{7! \cdot 1!}$.

Dois membros da equipe propõem estratégias diferentes:

• Estratégia do Lucas: Calcular primeiro $9! = 362\,880$ e $7! = 5\,040$, e depois realizar a divisão $\dfrac{362\,880}{5\,040 \cdot 1}$.

• Estratégia da Júlia: Expressar $9!$ como $9 \cdot 8 \cdot 7!$, cancelar diretamente o termo $7!$ presente no numerador e no denominador, e resolver $9 \cdot 8$.

1. a) Aplique a estratégia da Júlia para obter o número de formas de atribuir o serviço de turno.
2. b) Compare ambos os procedimentos e redija um argumento justificando qual dos dois é mais conveniente quando se fazem cálculos à mão ou com números maiores (por exemplo, com $\dfrac{100!}{98!}$).

Expresse por meio de um quociente de fatoriais o produto algébrico $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)$.

Simplifique a expressão algébrica $\frac{(n+1)!}{n!}$ indicando o resultado em função de $n$.

Simplifique ao máximo a expressão algébrica $\frac{n!}{(n-2)!}$, desenvolvendo o numerador até poder cancelar termos com o denominador.

Expresse como quociente de fatoriais a expressão polinomial $(x+3)(x+2)(x+1)$, supondo que $x$ é um número natural.

Simplifique a expressão $\frac{(n+1)! - n!}{n!}$ colocando o fator comum em evidência no numerador.

Demonstre algebricamente que $n! + (n-1)! = (n+1) \cdot (n-1)!$ para qualquer número natural $n \geq 1$.

Simplifique ao máximo a expressão algébrica $\frac{n!}{(n-2)!} + \frac{(n+1)!}{(n-1)!}$, expressando o resultado final como um polinômio em função de $n$.

Demonstre a identidade $\frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(n-k)!}$ detalhando os passos algébricos para todo número natural $n \geq k \geq 1$.

Determine o valor do número natural $x$ sabendo que $x! = 120$.

Resolva a equação $\frac{(x+2)!}{(x+1)!} = 15$ indicando o valor de $x$.

Resolva a equação $\frac{x!}{(x-1)!} = x^2 - 12$, encontrando o valor ou os valores possíveis para o número natural $x$.

Resolva a equação do segundo grau resultante da expressão $\frac{n!}{(n-2)!} = 42$, indicando o único valor válido para o número natural $n$.

Resolva a equação $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 5x = 12$, determinando os valores possíveis para $x$ e descartando aqueles que não pertençam aos números naturais.

Dica: Lembre-se de que $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!$.

Resolva a equação $\frac{(n+2)!}{n!} = 72$ para encontrar o valor do número natural $n$.

Um sistema de segurança requer um código que consiste em $5$ letras distintas escolhidas entre $A, B, C, D$ e $E$. Use fatoriais para determinar e calcular quantos códigos diferentes podem ser criados.

Em uma prateleira serão colocados $4$ livros de matemática e $3$ livros de física. Se os livros da mesma matéria devem ficar sempre juntos, expresse o número total de ordenações possíveis utilizando o produto de vários fatoriais e calcule seu valor final.

Seis amigos vão jantar em um restaurante e se sentam ao redor de uma mesa circular. Considerando que em uma mesa circular as posições relativas são as que importam (permutação circular), expresse com fatoriais o número de maneiras diferentes em que eles podem se sentar e calcule o resultado.

Procura-se uma expressão com fatoriais da forma $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ cujo resultado numérico seja exatamente igual a $210$, sabendo ainda que, ao desenvolvê-la e cancelá-la, se obtêm unicamente 3 fatores inteiros consecutivos decrescentes.

1. a) A partir da decomposição em fatores primos do número $210$, deduza de forma fundamentada quais são esses 3 fatores consecutivos e determine os valores numéricos exatos dos números naturais $n$ e $k$.
2. b) Verifique que a sua expressão $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ equivale efetivamente a $210$.
3. c) Crie e invente o enunciado de um problema do cotidiano (por exemplo, num contexto escolar, esportivo ou comercial) cuja resolução matemática corresponda exatamente à expressão que você encontrou, explicando o que representam na sua história tanto o número $n$ quanto o número $k$.

Uma van de distribuição dos Correios no centro histórico de Salvador deve entregar encomendas em $n$ lojas diferentes, passando exatamente uma vez por cada uma delas antes de voltar à central logística.

1. a) Se na primeira rota do dia tiver de visitar 6 lojas, expresse por meio de um fatorial o número de itinerários possíveis e calcule-o.
2. b) Para a segunda rota, acrescenta-se mais uma loja, de modo que ela deve visitar 7 lojas. Utilizando a propriedade $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$, explique como calcular o novo número de rotas a partir do resultado do item anterior, sem necessidade de multiplicar os 7 fatores um a um.
3. c) O servidor do centro logístico utiliza um algoritmo elementar que analisa cada uma das rotas possíveis para encontrar a mais rápida, levando $0,002$ segundos para avaliar cada rota individual. Se, em um dia especial de liquidação, a van tivesse de visitar 14 lojas, sabendo que $14! \approx 8,72 \cdot 10^{10}$, calcule quantos dias inteiros o computador levaria para avaliar todas as rotas e justifique por que esse método de busca não é viável na gestão logística real.