Variável estatística

Um grupo de pesquisadores quer saber qual é o grupo de música favorito dos adolescentes brasileiros entre 12 e 16 anos. Para isso, realizam uma pesquisa com 500 alunos de várias escolas de São Paulo. Indique:

1. a) A população objeto de estudo.
2. b) A amostra escolhida.
3. c) O indivíduo.

Imagine que você quer realizar um estudo sobre a quantidade de dinheiro que os jovens do seu bairro gastam semanalmente em lazer.

1. a) Que tipo de variável é "dinheiro gasto"?
2. b) Se no bairro vivem $1.200$ jovens e você pergunta a $60$, qual é o tamanho da amostra?
3. c) Seria representativo se você perguntasse apenas aos jovens que estão na porta de um cinema em um sábado à tarde? Justifique sua resposta.

Deseja-se realizar um estudo sobre o consumo de frutas em uma escola. Determine se as seguintes amostras são aleatórias (escolhidas ao acaso e representativas) ou tendenciosas:

1. a) Perguntar aos 25 primeiros alunos que chegam à escola pela manhã.
2. b) Escolher ao acaso 5 alunos da lista de chamada de cada uma das turmas da escola.
3. c) Perguntar apenas aos alunos que estão comprando comida na cantina.
4. d) Sortear 50 números de matrícula entre todos os alunos da escola e perguntar a quem os possui.

Uma equipe de pesquisadores quer realizar um estudo sobre o consumo de bebidas energéticas entre os adolescentes de uma cidade de $50\,000$ habitantes. Para isso, selecionam $250$ estudantes entre $12$ e $18$ anos de diferentes escolas e perguntam a eles quantas latas consumiram na última semana.

Identifique os seguintes elementos do estudo estatístico:

1. a) A população objeto de estudo.
2. b) A amostra escolhida.
3. c) O indivíduo.
4. d) O tamanho da amostra.
5. e) A variável estatística e o seu tipo.

Para conhecer a opinião dos cidadãos sobre a construção de uma nova ciclovia no centro da cidade, um jornal local realiza uma pesquisa na porta de uma loja especializada em ciclismo de montanha.

1. a) Você considera que a amostra escolhida é representativa da população da cidade? Justifique a sua resposta.
2. b) Existe algum tipo de viés nesta escolha? Explique por quê.
3. c) Proponha um método de amostragem mais adequado para que os resultados sejam confiáveis.

Em uma escola há $600$ alunos matriculados. Pretende-se extrair uma amostra representativa de $60$ alunos por meio de uma amostragem estratificada por ano de escolaridade para realizar um estudo sobre hábitos de leitura. A distribuição por ano é a seguinte:

• $1º$ ano: $180$ alunos.

• $2º$ ano: $160$ alunos.

• $3º$ ano: $140$ alunos.

• $4º$ ano: $120$ alunos.

Calcule quantos alunos de cada ano deveriam ser escolhidos para que a amostra mantenha a proporcionalidade da população.

Uma prefeitura quer saber o número de animais de estimação que existem nas casas de um bairro recém-construído onde vivem $1\,200$ famílias. Para não perguntar a todos, decidem enviar uma pesquisa às $120$ famílias que moram nos primeiros endereços da lista alfabética de ruas.

1. a) Indique qual é a população e qual é a amostra.
2. b) Este é um método de amostragem aleatória simples? Por quê?
3. c) Identifique a variável e diga de que tipo é.
4. d) Se na amostra $15\%$ das famílias não têm animal de estimação, quantas famílias do bairro se estima que têm pelo menos um animal de estimação?

Numa escola com $800$ estudantes ($200$ do $1.^{\circ}$ ano do Ensino Fundamental, $200$ do $2.^{\circ}$, $150$ do $3.^{\circ}$, $150$ do $4.^{\circ}$ e $100$ do Ensino Médio), o Conselho Escolar quer averiguar o grau de satisfação com o cardápio e os preços da cantina da escola para decidir se renova o contrato do serviço. Dispõem de tempo e orçamento para entrevistar $80$ estudantes.

Propõem-se três métodos de amostragem:

• Método A: Entrevistar os primeiros $80$ alunos que fizerem fila na cantina na próxima segunda-feira durante o intervalo.

• Método B: Deixar uma urna com cédulas na portaria e pedir pelo sistema de som que compareçam para votar voluntariamente $80$ pessoas.

• Método C: Obter a lista oficial da escola e selecionar por sorteio aleatório $20$ alunos do $1.^{\circ}$ ano, $20$ do $2.^{\circ}$, $15$ do $3.^{\circ}$, $15$ do $4.^{\circ}$ e $10$ do Ensino Médio.

1. a) Analise criticamente os métodos A e B: explique que vieses apresentam e por que razão não garantem uma amostra representativa.
2. b) Demonstre matematicamente que o método C distribui a amostra de forma proporcional ao tamanho real de cada ano de escolaridade e justifique por que razão é o procedimento mais rigoroso dos três.
3. c) Se a cantina fosse utilizada apenas por alunos do $3.^{\circ}$, $4.^{\circ}$ e Ensino Médio, a população definida inicialmente continuaria sendo adequada? Redefina a população para esse caso.

Uma prefeitura quer saber o grau de aceitação de uma nova norma de trânsito. Para isso, colocam um posto de informação na porta de uma escola às 9:00 da manhã e perguntam aos 100 primeiros adultos que passam por ali.

1. a) Defina a população objeto de estudo.
2. b) Descreva a amostra selecionada.
3. c) Analise criticamente o método de seleção da amostra. Considere que todos os cidadãos tiveram a mesma probabilidade de ser escolhidos? Proponha um método de amostragem aleatória estratificada que seja mais justo para este estudo.

De acordo com dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), a estrutura demográfica por idades de um município de $30\,000$ habitantes divide-se em: menores de $18$ anos ($18\,\%$), adultos de $18$ a $64$ anos ($62\,\%$) e pessoas de $65$ ou mais anos ($20\,\%$). A secretaria de mobilidade encomenda uma pesquisa de rua com tamanho de amostra de $n = 300$ pessoas para estimar a frequência semanal com que os moradores utilizam a ciclovia.

Antes de realizar o trabalho de campo, o técnico estima que uma amostra de $300$ pessoas será plenamente representativa desde que reflita proporcionalmente as três faixas etárias do município. Os pesquisadores realizam as entrevistas numa terça-feira útil entre as $10:00$ e as $12:30$ da manhã na praça central da localidade, obtendo uma amostra com os seguintes participantes reais: $12$ menores de $18$ anos, $114$ pessoas entre $18$ e $64$ anos, e $174$ pessoas de $65$ ou mais anos.

1. a) Faça a verificação matemática: calcule quantos indivíduos de cada grupo etário deveriam ter formado a amostra de $300$ pessoas para que representasse fielmente a população do município segundo os dados do INE.
2. b) Verifique a composição percentual da amostra que realmente foi obtida e determine qual grupo populacional está gravemente sobrerrepresentado e qual está sub-representado.
3. c) Justifique detalhadamente quais fatores do planejamento da coleta de dados (horário, dia e localização) provocaram esse desvio e, supondo que as pessoas com $65$ ou mais anos utilizam a ciclovia com menos frequência do que os demais moradores, justifique se a variável em estudo («frequência de utilização da ciclovia») ficará superestimada ou subestimada em relação à realidade do município.

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas ou quantitativas:

1. a) A cor favorita da capa de um celular.
2. b) O número de seguidores em uma conta do TikTok.
3. c) O tempo, em minutos, que leva de sua casa até a escola.
4. d) A marca de tênis que os alunos da sua turma preferem.

Dentro das variáveis quantitativas, devemos distinguir entre discretas e contínuas. Indique de que tipo é cada uma das seguintes:

1. a) O número de primos que cada estudante tem.
2. b) A capacidade, em litros, das garrafas de água vendidas na cantina.
3. c) O número de mensagens de WhatsApp que recebe ao longo de um dia.
4. d) A massa das mochilas dos alunos do 9º ano.

Relacione cada uma das seguintes situações com a natureza de sua variável estatística (Qualitativa, Quantitativa Discreta ou Quantitativa Contínua):

1. Os esportes praticados no centro esportivo municipal.

2. A temperatura máxima diária registrada em sua cidade durante o mês de julho.

3. O número de canais de televisão sintonizados em uma casa.

Para cada uma das seguintes perguntas de uma pesquisa, identifique se a resposta daria origem a uma variável qualitativa nominal, quantitativa discreta ou quantitativa contínua:

1. a) "Qual aplicativo de redes sociais você usa com mais frequência?"
2. b) "Quantas horas por dia (com decimais) você passa estudando?"
3. c) "Quantas vezes você foi ao cinema no último mês?"
4. d) "Qual é o seu sistema operacional preferido (Android ou iOS)?"

Observe a seguinte tabela de dados coletados sobre os hábitos de leitura de um grupo de estudantes e classifique cada coluna de acordo com o tipo de variável estatística que representa:

1. a) Livros lidos por ano.
2. b) Gênero favorito.
3. c) Tempo médio de leitura diário.

O Marcos realizou uma pequena pesquisa com os colegas de turma para um trabalho de Matemática sobre hábitos de vida e de lazer. No seu relatório preliminar, classificou as seguintes quatro variáveis:

1. CEP do domicílio: «Quantitativa contínua, porque é formado por um número de cinco algarismos e pode tomar valores muito altos».

2. Número da camisa do seu esportista preferido: «Quantitativa discreta, porque é sempre um número inteiro sem decimais».

3. Tempo diário dedicado ao uso do celular: «Quantitativa discreta, porque ao perguntar às pessoas todas respondem com números inteiros de minutos, como $45$ ou $60$ minutos».

4. Nível de satisfação com as instalações esportivas do bairro (Baixo, Médio, Alto): «Qualitativa».

Identifique os erros conceituais que o Marcos cometeu, argumente por que a justificativa dele é incorreta em cada caso e escreva a classificação correta e completa das quatro variáveis.

Na tabela a seguir são apresentadas várias variáveis coletadas em uma pesquisa realizada em um clube de e-sports. Classifique cada uma delas em qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua:

Um biólogo está medindo o crescimento de uma espécie de samambaia em uma estufa. Ao fim de um mês, anota as alturas (em cm) de $20$ exemplares. Os dados obtidos são uma variável quantitativa contínua. O histograma mostra as alturas agrupadas em intervalos de $5$ cm.

1. a) Explique a diferença entre uma variável quantitativa discreta e uma contínua usando este exemplo.

1. b) Se os dados forem agrupados em intervalos como $[10, 15), [15, 20), [20, 25)$..., qual seria o ponto médio da classe do segundo intervalo?

1. c) Que valor o ponto médio da classe representa nos cálculos estatísticos?

Realiza-se um estudo sobre a qualidade do ar em diferentes pontos de uma região. Para isso, instalam-se estações de medição que registram a concentração de partículas $PM_{10}$ (em $\mu g/m^3$).

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta:

1. a) A variável "concentração de partículas" é qualitativa porque indica a qualidade do ar.
2. b) Se medirmos a concentração em $15$ pontos escolhidos ao acaso, o indivíduo é cada um desses pontos de medição.
3. c) O número de habitantes das zonas onde se mede é uma variável quantitativa contínua.
4. d) A variável "nível de contaminação" com valores (Baixo, Médio, Alto) é uma variável qualitativa ordinal.

Imagine que você trabalha no departamento de marketing de uma plataforma de streaming de música. Você quer investigar a relação entre a idade dos usuários e o estilo de música que mais ouvem.

Para isso, você cria um banco de dados com os seguintes campos para cada usuário:

1. Idade (anos completos).

2. Minutos diários de audição.

3. Gênero musical preferido (Pop, Rock, Trap, Outros).

4. Grau de satisfação com o serviço (de $1$ a $5$).

1. a) Classifique cada uma das quatro variáveis anteriores (qualitativa ou quantitativa; e, dentro de cada tipo, nominal ou ordinal, discreta ou contínua).

1. b) Explique que tipo de gráfico (gráfico de barras, gráfico de setores ou histograma) você acha que seria mais adequado para representar os dados da variável "Gênero musical preferido" e por quê. Indique também se algum dos três não seria adequado e justifique a resposta.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

A Agência Estatal de Meteorologia (AEMET) dispõe de estações automáticas de medição distribuídas por toda a Espanha. Durante um episódio de onda de calor em julho, uma equipe de analistas coleta dados às $16:00\text{ h}$ de $45$ estações selecionadas na Andaluzia para estudar o impacto das temperaturas extremas. De cada estação são anotados os seguintes dados:

• A província onde se localiza.

• A temperatura do ar registrada à sombra (em $^{\circ}\text{C}$, com precisão de décimos).

• O número de rajadas de vento superiores a $40\text{ km/h}$ registradas nas últimas três horas.

• A altitude acima do nível do mar em que a estação está instalada (em metros).

• O nível do aviso meteorológico em vigor emitido para essa zona (Verde, Amarelo, Laranja, Vermelho).

1. a) Identifique a população do estudo, a amostra selecionada, o tamanho da amostra e o indivíduo.
2. b) Classifique cada uma das cinco variáveis registradas em qualitativa (especificando se é nominal ou ordinal) ou quantitativa (especificando se é discreta ou contínua).
3. c) Justifique se faria sentido substituir este estudo amostral por um censo completo e argumente uma vantagem e uma desvantagem que teria a realização desse censo.

Um desenvolvedor de jogos eletrônicos está analisando o comportamento dos jogadores em uma fase Beta. Para otimizar o desempenho, registra os seguintes dados de cada usuário:

1. O nome do servidor ao qual se conectam (Norte, Sul, Leste, Oeste).

2. O código identificador único da conta (um número de 8 algarismos).

3. O tempo de resposta ou ping medido em milissegundos.

4. O número de vezes que o jogador pressionou o botão de "pausa" em uma hora.

5. O nível de satisfação do usuário, pontuado como: "Muito insatisfeito", "Insatisfeito", "Neutro", "Satisfeito" ou "Muito satisfeito".

Raciocine e classifique cada uma das variáveis anteriores. Preste especial atenção à variável número 2: o fato de ser um número implica que seja uma variável quantitativa? Justifique a sua resposta.

Em um laboratório de biologia, estuda-se o crescimento de uma colônia de bactérias. O pesquisador decide registrar a temperatura da cultura a cada hora. A temperatura pode assumir valores como $36,42 ^\circ C$, $36,45 ^\circ C$, etc. No entanto, para simplificar o relatório final, o pesquisador agrupa os resultados em três categorias: "Frio" (menos de $30 ^\circ C$), "Ótimo" (entre $30 ^\circ C$ e $40 ^\circ C$) e "Excesso de calor" (mais de $40 ^\circ C$).

1. a) Que tipo de variável é a temperatura medida originalmente?
2. b) Que tipo de variável é a que finalmente aparece no relatório após agrupar os dados?
3. c) Perdeu-se informação nesse processo? Explique qual vantagem e qual inconveniente traz a realização dessa transformação do ponto de vista estatístico.

Frequentemente, as variáveis quantitativas contínuas são apresentadas como discretas devido à precisão dos instrumentos de medição. Um sensor de precisão mede a espessura de chapas de aço produzidas em uma fábrica. O sensor mostra valores como $2,00$ mm, $2,01$ mm, $2,02$ mm...

1. a) Embora o sensor mostre apenas duas casas decimais, por que a espessura é considerada uma variável quantitativa contínua e não discreta?
2. b) Se a fábrica produz 10.000 chapas por dia e o controle de qualidade decide medir apenas as chapas fabricadas entre 12:00 e 12:15, a amostra será representativa da produção total do dia? Justifique a sua resposta mencionando possíveis fatores que poderiam variar ao longo da jornada.

Realiza-se um estudo sobre a saúde auditiva dos jovens. Mede-se a intensidade do volume em que ouvem música com fones de ouvido (em decibéis, dB).

A figura mostra o intervalo em que se encontram os valores medidos e o limiar de 85 dB que a equipe médica fixa.

1. Classifique a variável "Intensidade do som em dB".

2. Se os valores obtidos oscilam entre $65,4$ dB e $105,9$ dB, explique por que não faria sentido tratar esta variável como uma variável qualitativa nominal.

3. A equipe de médicos decide que, se a intensidade ultrapassar os $85$ dB, o risco é "Alto", e se for inferior, o risco é "Baixo". Classifique esta nova variável "Risco auditivo".

Uma plataforma de streaming analisa os dados dos seus assinantes para melhorar suas recomendações. Classifique as seguintes variáveis que o algoritmo dela utiliza:

1. a) Tempo total (em segundos) que um usuário permanece assistindo a um vídeo antes de fechá-lo.
2. b) Tipo de dispositivo utilizado (Smart TV, Smartphone, Tablet, PC).
3. c) Número de vezes que um usuário compartilhou um link da plataforma no último mês.
4. d) Classificação média dos filmes assistidos (de 1 a 5 estrelas, permitindo meias estrelas como 3,5).
5. e) Posição que uma série ocupa no "Top 10" dos mais assistidos no país.

Discuta se a variável (d) poderia ser considerada contínua ou discreta dependendo de como os dados originais são coletados (votos individuais vs. média calculada).

A equipe diretiva da sua escola quer realizar um estudo estatístico sobre a mobilidade sustentável e os hábitos de transporte da comunidade escolar. Elabore você mesmo o questionário do estudo, cumprindo exatamente as seguintes condições:

1. a) Redija uma pergunta cuja resposta seja uma variável qualitativa nominal (sem nenhuma ordem hierárquica natural).
2. b) Redija uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa discreta, esclarecendo qual elemento concreto está sendo contado.
3. c) Redija uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa contínua, indicando a unidade física de medida que será utilizada.
4. d) Defina com precisão qual é a população completa do estudo, qual é um indivíduo concreto e proponha um tamanho de amostra razoável se na escola estiverem matriculados $750$ estudantes no total.

Uma empresa de entregas quer melhorar a sua eficiência. Para isso, define a população como "todos os pacotes enviados no Brasil durante um ano". Como é impossível estudá-los todos, selecionam uma amostra de 500 pacotes.

De cada pacote anotam: peso em kg, volume em $m^3$, estado de destino e número de tentativas de entrega.

1. a) Identifique a população, a amostra e os indivíduos do estudo.
2. b) Classifique as variáveis registradas.
3. c) Se dos 500 pacotes da amostra, 450 foram recolhidos apenas em uma agência de uma área nobre de São Paulo, podemos dizer que a amostra é representativa para tirar conclusões sobre o serviço em todo o Brasil? Justifique a sua resposta usando o conceito de viés estatístico.

Imagine que você quer realizar um estudo estatístico sobre o uso de redes sociais entre os adolescentes da sua cidade. Você deve elaborar uma pesquisa que contenha exatamente:

1. Uma variável qualitativa nominal.

2. Uma variável qualitativa ordinal.

3. Uma variável quantitativa discreta.

4. Uma variável quantitativa contínua.

Redija uma pergunta para cada caso que seja realista e útil para a sua pesquisa. Explique por que cada pergunta corresponde ao tipo de variável solicitado.

Uma equipe de sociologia da educação quer investigar os hábitos digitais dos jovens de entre $12$ e $16$ anos de um estado que conta com $120\,000$ pessoas nessa faixa etária. Antes de iniciar a coleta de dados surgem dois debates metodológicos:

Debate 1: Definição operacional da variável

• A pesquisadora A propõe perguntar: «Quantas horas inteiras você dedica por dia às telas? (Opções fechadas: $1$, $2$, $3$, $4$ ou mais de $4$)».

• O pesquisador B propõe solicitar aos participantes que consultem o registro do aplicativo de 'Bem-estar digital' do seu celular e anotem o tempo total exato de tela do dia anterior, registrado em minutos e segundos (por exemplo, $194\text{ min } 35\text{ s}$).

Classifique rigorosamente o tipo de variável estatística que cada proposta gera. Argumente qual das duas opções traz maior precisão matemática e que perda de informação ou distorção o estudo sofre se for adotada a proposta de A.

Debate 2: Escolha do método de amostragem

Dispõe-se de recursos para entrevistar $600$ jovens. Consideram-se duas opções:

• Opção 1: Lançar uma campanha patrocinada nas redes sociais com um formulário web aberto, encerrando a pesquisa assim que forem atingidas as $600$ respostas recebidas.

• Opção 2: Selecionar por sorteio $15$ escolas de Ensino Médio do estado, garantindo que haja estabelecimentos públicos e particulares, de âmbito rural e urbano, e escolher em cada um $40$ estudantes ao acaso a partir das listas de matrícula.

Compare ambas as opções analisando os três requisitos de uma amostra representativa: seleção aleatória, cobertura de grupos relevantes e controle das não respostas. Justifique qual das duas opções deve ser escolhida.