Notação científica

Calcule o valor das seguintes potências. Preste muita atenção ao uso dos parênteses e ao sinal da base, pois é um dos erros mais comuns neste tema.

1. a) $2^4$
2. b) $(-2)^4$
3. c) $-2^4$
4. d) $(-3)^3$
5. e) $-3^3$
6. f) $5^0$

Observe a imagem a seguir, que representa geometricamente a diferença entre $2^2$ e $2^3$. Você consegue desenhar no seu caderno como seria representado $3^2$?

Utilize as propriedades das potências para simplificar as seguintes expressões e deixá-las como uma única potência. Não é necessário calcular o resultado final, apenas expresse a potência resultante.

Lembre-se de que:

• Para multiplicar potências de mesma base, somamos os expoentes.

• Para dividir potências de mesma base, subtraímos os expoentes.

• Para elevar uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes.

1. a) $3^5 \cdot 3^2$
2. b) $7^8 : 7^3$
3. c) $(2^3)^4$
4. d) $x^4 \cdot x \cdot x^2$
5. e) $\frac{5^7}{5^2}$
6. f) $(10^2)^3 \cdot 10^4$

Transforme as seguintes potências de expoente negativo em frações com expoente positivo, e vice-versa. Calcule o valor final quando for possível.

Este exercício ajudará a dominar com facilidade a propriedade $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

1. a) $2^{-3}$
2. b) $5^{-2}$
3. c) $\frac{1}{3^2}$
4. d) $10^{-1}$
5. e) $\frac{1}{2^{-4}}$
6. f) $(\frac{2}{3})^{-2}$

Indique se as seguintes afirmações são Verdadeiras ou Falsas. Se alguma for falsa, escreva a expressão correta no seu caderno.

1. a) $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$
2. b) $3^{-2} = -9$
3. c) $(5^2)^3 = 5^6$
4. d) $\frac{a^5}{a^5} = 0$
5. e) $4^2 \cdot 3^2 = 12^2$

Simplifique as seguintes expressões utilizando as propriedades das potências e expresse o resultado final como uma única potência de expoente positivo.

1. a) $\frac{3^5 \cdot 3^{-2}}{3^7}$
2. b) $(5^3 \cdot 5^{-4})^{-2}$
3. c) $\frac{2^4 \cdot (2^3)^2}{2^{-2}}$

Simplifique a seguinte expressão algébrica utilizando as propriedades das potências. Decomponha as bases em fatores primos, opere e expresse o resultado final como uma fração irredutível com expoentes positivos. Não é necessário calcular o valor numérico final, apenas a potência simplificada.

$$ \frac{15^{-2} \cdot 4^3 \cdot (-3)^4}{(-10)^2 \cdot (2^{-2})^{-3} \cdot 9^{-1}} $$

Encontre o valor de $x$ na seguinte equação exponencial utilizando as propriedades das potências. Para isso, expresse todos os números como potências da mesma base (base 3).

$$ \frac{3^x \cdot 9^2}{27^{-1}} = \left( \frac{1}{3} \right)^{-5} $$

No nosso dia a dia, e especialmente na tecnologia, utilizamos números muito grandes. Escreva em notação científica as seguintes quantidades relacionadas às redes sociais e à internet.

Lembre-se de que a notação científica tem a forma $a \cdot 10^n$, onde $1 \le a < 10$.

1. a) Número de visualizações do vídeo mais visto do mês: 12.500.000 visualizações.
2. b) Quantidade de bytes em um Terabyte (TB): 1.000.000.000.000 bytes.
3. c) Número aproximado de usuários de uma rede social: 2.900.000.000 usuários.
4. d) Sua idade em segundos (aproximadamente, calculando 14 anos): 441.500.000 segundos.

Agora vamos trabalhar com o muito pequeno. A biologia e a física utilizam a notação científica para medir coisas que não podemos ver a olho nu.

Escreva em notação científica as seguintes medidas:

1. a) O diâmetro de um glóbulo vermelho: 0,0000075 metros.
2. b) O tamanho aproximado de um vírus da gripe: 0,00000012 metros.
3. c) A massa de um grão de poeira fina: 0,00000067 gramas.
4. d) O tempo que a luz leva para percorrer um metro: 0,0000000033 segundos.

Observe a imagem para visualizar a escala microscópica:

Converta os seguintes números dados em notação científica para a sua forma decimal (número padrão).

1. a) $3,5 \cdot 10^4$
2. b) $1,2 \cdot 10^6$
3. c) $5,4 \cdot 10^{-3}$
4. d) $8,9 \cdot 10^{-5}$

Para expressar o número $0,0045 \cdot 10^5$ em notação científica, a Ana raciocina assim no seu caderno:

«Para que haja um único algarismo diferente de zero antes da vírgula, movo a vírgula três posições para a direita. Como movi a vírgula para a direita três casas, somo 3 ao expoente da potência de dez. Portanto:

$$0,0045 \cdot 10^5 = 4,5 \cdot 10^{5+3} = 4,5 \cdot 10^8»$$

1. a) Explique detalhadamente por que a expressão inicial $0,0045 \cdot 10^5$ não cumpre a definição de notação científica.
2. b) Localize o erro no raciocínio da Ana ao modificar o expoente e explique como se compensa realmente o deslocamento da vírgula para que o valor do número não se altere.
3. c) Escreva o procedimento correto passo a passo e dê o resultado final tanto em notação científica quanto em número decimal ordinário.

No estudo das ciências naturais, deparamos com comprimentos extremamente grandes e extremamente pequenos. A seguir são apresentados quatro comprimentos reais, todos expressos em metros:

• Diâmetro do vírus da gripe: $0,00000012$ m

• Espessura de um cabelo humano: $0,00007$ m

• Diâmetro da Terra: $12742000$ m

• Distância da Terra ao Sol: $149600000000$ m

Sua tarefa consiste em:

1. a) Escrever cada um dos comprimentos em notação científica.

1. b) Ordená-los do menor para o maior.

Ordene os seguintes números do menor para o maior. Para isso, preste atenção no expoente da potência de 10. Se os expoentes forem iguais, compare o número decimal.

$$ 3,2 \cdot 10^5 \quad ; \quad 1,5 \cdot 10^6 \quad ; \quad 8,9 \cdot 10^4 \quad ; \quad 3,1 \cdot 10^5 $$

Utilize o símbolo $<$ para escrever a resposta final.

Um influencer está analisando as estatísticas de suas redes sociais para ver o crescimento da sua audiência.

• No Instagram tem $1,25 \cdot 10^5$ seguidores.

• No TikTok tem $8,4 \cdot 10^4$ seguidores.

• No YouTube tem $2,1 \cdot 10^5$ inscritos.

1. a) Calcule o número total de seguidores somando as três plataformas. Expresse o resultado em notação científica.
2. b) Se a audiência total deve crescer $10\%$ no próximo mês, quantos seguidores ela terá no total?

A velocidade da luz no vácuo é, aproximadamente, $3 \cdot 10^8$ m/s. Uma nave espacial envia um sinal de rádio de Marte para a Terra. Se nesse momento a distância entre os dois planetas for de $2,25 \cdot 10^8$ km:

1. a) Expresse a distância em metros usando notação científica.
2. b) Calcule quanto tempo (em segundos) o sinal leva para chegar à Terra.
3. c) Expresse esse tempo em minutos.

(Lembre-se de que a velocidade $v$, a distância $e$ e o tempo $t$ se relacionam por meio de $e = v \cdot t$).

O corpo humano contém aproximadamente $3,7 \cdot 10^{13}$ células. Estima-se que cada célula tenha uma massa média de $2 \cdot 10^{-9}$ gramas.

1. a) Calcule a massa total das células de uma pessoa em gramas.
2. b) Converta o resultado anterior para quilogramas.
3. c) Se uma bactéria pesa $10$ vezes menos que uma célula humana, qual é a massa de uma bactéria em notação científica?

Uma molécula de água ($H_2O$) é formada por dois átomos de hidrogênio e um de oxigênio. As massas desses átomos são aproximadamente:

• Massa do átomo de Hidrogênio: $1,67 \cdot 10^{-24}$ g

• Massa do átomo de Oxigênio: $2,66 \cdot 10^{-23}$ g

1. a) Para poder somar as massas, expresse a massa do átomo de oxigênio como um número multiplicado por $10^{-24}$.
2. b) Calcule a massa total de uma única molécula de água ($2 \times \text{Hidrógeno} + 1 \times \text{Oxígeno}$). Expresse o resultado final em notação científica.

Realize as seguintes operações combinadas com notação científica sem usar a calculadora para os passos intermediários. É necessário ajustar os expoentes para poder somar ou subtrair e aplicar as propriedades para multiplicar ou dividir. Expresse o resultado final em notação científica corretamente normalizada.

$$ \frac{(3,2 \cdot 10^{-4}) + (1,8 \cdot 10^{-3})}{2 \cdot 10^{-2}} \cdot (4 \cdot 10^6) $$

Um serviço de armazenamento na nuvem oferece aos seus usuários 2 TB (Terabytes) de espaço. Sabendo que as equivalências aproximadas no sistema de informática são:

• $1 \text{ TB} = 10^{12} \text{ bytes}$

• $1 \text{ GB} = 10^9 \text{ bytes}$

• $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$

Se um usuário tem uma coleção de fotos em que cada foto ocupa em média 4 MB:

1. a) Quantos bytes totais de armazenamento o usuário tem disponíveis? Expresse em notação científica.
2. b) Quantas fotos aproximadamente ele pode guardar na sua nuvem antes de atingir o limite?

Um reservatório cúbico tem uma aresta de $4 \cdot 10^2$ metros.

1. a) Calcule o volume do reservatório em metros cúbicos ($m^3$) e expresse o resultado em notação científica.
2. b) Sabendo que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros}$, calcule a capacidade total do reservatório em litros, expressa também em notação científica.
3. c) Se o reservatório está cheio apenas até $50\%$, quantos litros de água contém?

Segundo dados do Instituto Nacional de Estadística (INE), os domicílios de um determinado estado consumiram em um ano um total de $2,38 \cdot 10^8\text{ m}^3$ de água potável, distribuídos por uma população de $4,75 \cdot 10^6$ habitantes.

1. a) Estime: Sem fazer operações no papel nem usar calculadora, arredonde as mantissas para números inteiros simples e estime mentalmente quantos metros cúbicos de água por ano correspondem a cada habitante. Indique qual será a ordem de grandeza esperada para o resultado.
2. b) Calcule: Realize a divisão utilizando a notação científica com os dados originais. Expresse o quociente em notação científica com a mantissa arredondada às centésimas.
3. c) Verifique e avalie: Sabendo que $1\text{ m}^3 = 10^3\text{ litros}$ e considerando um ano de 365 dias, calcule quantos litros de água por dia consome, em média, um habitante segundo esse dado. Compare o resultado com a sua estimativa prévia e justifique se lhe parece um valor plausível para o consumo diário de uma pessoa em um domicílio.

Durante um episódio de chuvas torrenciais monitorizado pelo INMET no litoral nordestino, uma tempestade despejou uma média de $1,2 \cdot 10^2\text{ l/m}^2$ sobre um município de $3,5 \cdot 10^2\text{ km}^2$ de superfície. Estima-se que uma gota de chuva de tempestade tenha um volume aproximado de $4 \cdot 10^{-5}\text{ litros}$.

1. a) Expresse a superfície do município em metros quadrados ($\text{m}^2$) em notação científica, sabendo que $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$.
2. b) Modele a precipitação total calculando o volume global de água (em litros) precipitado sobre o município durante o episódio. Expresse o resultado em notação científica.
3. c) Calcule o número total de gotas de chuva que caíram em todo o município.
4. d) Observe a ordem de grandeza do número de gotas obtido e redija uma breve reflexão argumentando por que a notação científica é indispensável em estudos meteorológicos e ambientais em comparação com a notação decimal com zeros.

A sonda espacial Voyager 1 é o objeto criado pelo ser humano que mais longe chegou. Imagine que ela se encontra a uma distância aproximada de $2,3 \cdot 10^{10}$ quilômetros da Terra.

Se a sonda envia um sinal de rádio em nossa direção, e sabendo que os sinais viajam à velocidade da luz ($3 \cdot 10^5$ km/s):

1. a) Calcule quanto tempo (em segundos) o sinal leva para chegar à Terra. Expresse o resultado em notação científica.
2. b) Converta esse tempo para horas e expresse-o como um número decimal arredondado para duas casas decimais.

Temos um reservatório cúbico gigante destinado a armazenar água para irrigação. A aresta deste reservatório mede $2^5$ metros.

1. a) Expresse o volume do reservatório em metros cúbicos utilizando uma única potência de base 2.
2. b) Sabendo que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros}$, expresse a capacidade total do reservatório em litros utilizando notação científica.
3. c) Se o reservatório está cheio até a metade, quantos litros contém? Expresse o resultado como uma potência de base 2 multiplicada por uma potência de base 10.

No mundo da informática, as unidades de armazenamento crescem rapidamente. Um servidor de dados tem uma capacidade total de armazenamento de 4 Petabytes.

Sabendo que:

• $1 \text{ Petabyte (PB)} = 10^{15} \text{ bytes}$

• Uma fotografia de alta qualidade ocupa em média $8 \text{ Megabytes (MB)}$, onde $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$.

Calcule quantas fotografias de alta qualidade cabem nesse servidor. Expresse o resultado final em notação científica.

O corpo humano de um adulto médio tem aproximadamente $3,72 \cdot 10^{13}$ células. Se assumirmos que, em média, uma célula humana tem uma massa de $1,8 \cdot 10^{-9}$ gramas:

1. a) Calcule a massa total de todas as células em gramas.
2. b) Converta o resultado para quilogramas.
3. c) Se uma pessoa pesa 75 kg, qual porcentagem aproximada do seu peso total corresponde à massa celular calculada? (Nota: o restante seria água extracelular, minerais ósseos, etc.).

Desafio do tema. Uma folha de papel tem uma espessura aproximada de $10^{-4}$ metros. Imagine que pudéssemos dobrar a folha ao meio tantas vezes quantas quiséssemos.

1. a) Escreva uma expressão em forma de potência que indique a espessura do maço de papel após realizar $n$ dobras.

1. b) Se conseguíssemos dobrar a folha 42 vezes (algo fisicamente impossível, mas matematicamente calculável), qual seria a espessura do maço em quilômetros? Expresse o resultado em notação científica.

1. c) Compare o resultado com a distância média da Terra à Lua ($3,84 \cdot 10^5$ km). A espessura do maço superaria essa distância?

Num projeto interdisciplinar de Ciências, pretende-se calcular a massa total da hidrosfera e da atmosfera terrestres somando suas massas estimadas: a massa da atmosfera é $M_A = 5,15 \cdot 10^{18}\text{ kg}$ e a da hidrosfera é $M_H = 1,4 \cdot 10^{21}\text{ kg}$. Para calcular $M_T = M_A + M_H$, três colegas de turma propõem estratégias diferentes:

• Método 1 (Marcos): Expressar a quantidade maior na potência menor ($1,4 \cdot 10^{21} = 1400 \cdot 10^{18}$), somar as mantissas e, no final, ajustar para notação científica.

• Método 2 (Sara): Expressar a quantidade menor na potência maior ($5,15 \cdot 10^{18} = 0,00515 \cdot 10^{21}$), somar as mantissas e obter o resultado diretamente em notação científica.

• Método 3 (Álex): Escrever ambos os números com todos os seus zeros em notação decimal padrão, alinhá-los na vertical para somar algarismo a algarismo e voltar a passar o resultado final para notação científica.

1. a) Resolva a soma aplicando explicitamente o Método 1 e o Método 2, verificando que ambos os caminhos conduzem ao mesmo resultado.
2. b) Compare os três métodos: justifique qual é o mais eficiente e seguro neste caso e argumente por que razão o caminho do Álex é completamente desaconselhável para trabalhar com grandezas científicas.
3. c) Analise o resultado obtido: que porcentagem aproximada representa a massa da atmosfera em relação à da hidrosfera? Justifique como essa desproporção influencia a ordem de grandeza da soma final.

A estação de rastreamento do espaço profundo do INTA/NASA situada em Robledo de Chavela (Madrid) recebe dados de uma sonda espacial. A distância entre a sonda e a Terra varia entre um periélio de $4,5 \cdot 10^7\text{ km}$ e um afélio de $1,5 \cdot 10^8\text{ km}$. Os sinais eletromagnéticos viajam à velocidade da luz, $c = 3 \cdot 10^5\text{ km/s}$. Além disso, a sonda envia um pacote de dados de $7,2 \cdot 10^6\text{ kilobits}$ a uma velocidade de transmissão constante de $2,4 \cdot 10^4\text{ kilobits/s}$. O «tempo total de recepção» é a soma do tempo que o sinal demora para viajar pelo espaço mais o tempo que a antena demora para baixar a totalidade do pacote.

1. a) Formule a expressão do tempo total de recepção em função dos dados do enunciado e calcule esse tempo (em segundos e em notação científica) no periélio e no afélio.
2. b) Por restrições operacionais do centro de controle, estabelece-se um protocolo de emergência que exige que o tempo total de recepção do referido pacote não ultrapasse de modo algum os $400\text{ segundos}$. Formule uma inequação e calcule a distância máxima até a Terra (em km e em notação científica) a que a nave pode estar para cumprir esse requisito.
3. c) Interprete o resultado obtido no item b: a nave estará dentro do limite de segurança durante toda a sua órbita, em nenhuma parte dela, ou apenas em um determinado trecho? Justifique sua resposta comparando a distância máxima encontrada com o periélio e o afélio.

Desafio do tema. Desenhe um modelo energético em escala para a sua cidade a partir de dados reais da Red Eléctrica de España (REE).

1. Coleta e notação científica: Acesse o site da REE (seção de demanda elétrica diária) e consulte o consumo peninsular total de ontem em $\text{MWh}$. Converta-o para watts-hora ($\text{Wh}$) multiplicando por $10^6$ e expresse o valor final, arredondado a dois algarismos significativos, em notação científica ($a \cdot 10^k$, com $1 \le a < 10$).

2. Potências de racionais: Suponha que ao seu município corresponda uma fração equivalente a $(2/5)^3$ de um milésimo dessa energia global. Utilize as propriedades das potências de base racional para simplificar a operação e determinar o consumo estimado da sua cidade em notação científica.

3. Operações com radicais: Se um painel solar padrão produz $2,5 \cdot 10^2\text{ Wh}$ diários por metro quadrado, calcule a área total $A$ de painéis necessária. Projete a instalação em um terreno quadrado de lado $L = \sqrt{A}$ metros. Fatore o radicando, extraia todos os fatores possíveis da raiz para obter a solução exata simplificada e, por fim, aproxime o seu valor com vírgula decimal.

Produto final: Entregue um relatório breve de uma página (ou uma captura da sua planilha) com os dados coletados, os desenvolvimentos matemáticos detalhados e a interpretação do resultado.

Será avaliado:

• Precisão na mudança de unidades e uso rigoroso da notação científica.

• Aplicação correta das propriedades de potências de números racionais.

• Decomposição em fatores e destreza na simplificação e extração de fatores em radicais.

• Clareza, ordem e justificativa das conclusões no relatório.

Queremos obter como resultado exato o número $3,6 \cdot 10^{-2}$.

1. a) Invente dois números, $A$ e $B$, ambos corretamente expressos em notação científica, de modo que a ordem de grandeza de $A$ seja $-5$ e se verifique que $A \cdot B = 3,6 \cdot 10^{-2}$.
2. b) Mostre como você deduziu a mantissa e a ordem de grandeza de $B$ a partir do valor de $A$ que escolheu.
3. c) Seria possível escolher um número $A$ com ordem de grandeza $-5$ de tal forma que a ordem de grandeza de $B$ tivesse de ser exatamente $2$? Justifique a sua resposta levando em conta os valores possíveis que o produto de duas mantissas válidas pode assumir (lembre-se de que cada mantissa deve estar no intervalo $[1, 10)$).