Exercícios: Resolução de problemas por meio de sistemas

A soma das idades de Salma e de seu avô é $72$ anos. Há $6$ anos, a idade do avô era o quíntuplo da idade de Salma. Elabore um sistema de equações e encontre as idades atuais de ambos.

A diferença entre dois números é $14$. Se ao número maior somarmos o dobro do menor, o resultado é $53$. Encontre ambos os números montando um sistema de equações.

Em uma papelaria, $3$ cadernos e $2$ canetas custam $12$ reais, enquanto $4$ cadernos e $1$ caneta custam $13,50$ reais. Qual é o preço de um caderno e o de uma caneta?

O perímetro de um retângulo mede $54 \text{ cm}$. Sabe-se que a base é $3 \text{ cm}$ maior que o dobro da altura. Determine as dimensões do retângulo.

Em um estacionamento há motocicletas e carros. No total são contados $35$ veículos e $114$ rodas (sem contar as de reserva). Calcule quantas motocicletas e quantos carros há no estacionamento.

Um cofre contém $45$ moedas que somam um total de $14,40$ reais. Se todas as moedas são de $20 \text{ cêntimos}$ e de $50 \text{ cêntimos}$, descubra quantas moedas há de cada tipo.

Em um teste de múltipla escolha com $30$ questões, são concedidos $5$ pontos por cada resposta correta e são descontados $2$ pontos por cada resposta incorreta ou em branco. Um estudante obteve $94$ pontos. Quantas questões respondeu corretamente?

Um comerciante quer preparar $50 \text{ kg}$ de uma mistura de café. Ele utiliza um café de $6 \text{ \text{R\$}\ /kg}$ e outro de $8 \text{ \text{R\$}\ /kg}$. Se deseja que o preço da mistura seja exatamente $7,20 \text{ \text{R\$}\ /kg}$, quantos quilos de cada tipo de café ele deve utilizar?

Nas bilheterias do Museo del Prado de Madri, o ingresso normal individual custa $15\text{ \text{R\$}\ }$ e a tarifa reduzida para estudantes custa $7,50\text{ \text{R\$}\ }$. Um grupo escolar do Ensino Médio juntamente com seus acompanhantes totaliza $24$ pessoas e pagou exatamente $210\text{ \text{R\$}\ }$ por todos os ingressos.

1. a) Defina com precisão o que representa cada incógnita ($x$ e $y$), indicando suas unidades.
2. b) Formule o sistema de duas equações lineares que descreve a situação.
3. c) Resolva o sistema para calcular quantos ingressos de cada tipo foram adquiridos.
4. d) Raciocine, sem necessidade de resolver um novo sistema, por que razão teria sido impossível que a receita total dessas $24$ pessoas fosse de $215\text{ \text{R\$}\ }$ mantendo os mesmos preços individuais.

O Hugo tenta resolver o seguinte problema do livro dele: «A Marta tem atualmente o triplo da idade do irmão Lucas. Daqui a $4$ anos, a idade da Marta será apenas o dobro da que o Lucas tiver. Quantos anos eles têm atualmente?». Para resolvê-lo, o Hugo formula este sistema, chamando de $x$ a idade atual da Marta e de $y$ a do Lucas:

Ao subtrair $4$ em ambos os membros da segunda equação, o Hugo obtém $x = 2y$, o que contradiz diretamente a primeira equação ($x = 3y$). O Hugo afirma então que «o enunciado está mal redigido e não tem solução lógica na realidade».

1. a) Localize o erro conceitual que o Hugo cometeu ao traduzir para a linguagem algébrica a condição «daqui a $4$ anos».
2. b) Explique com as suas palavras por que a formulação dele está incorreta e escreva a segunda equação de forma adequada.
3. c) Resolva o sistema corrigido e verifique que as idades obtidas cumprem exatamente as duas frases do enunciado original.

A soma dos algarismos de um número de dois algarismos é $12$. Se invertermos a ordem dos seus algarismos, obtemos um novo número que é $18$ unidades maior que o número original. Qual é esse número?

Um arquiteto projeta um quarto retangular cuja área deve ser de $108 \text{ m}^2$. Além disso, para se ajustar ao orçamento dos rodapés, o perímetro do quarto deve ser exatamente de $42 \text{ m}$. Formule um sistema de equações e calcule as dimensões do quarto.

Se ao numerador e ao denominador de uma fração for somado $2$, a fração resultante é equivalente a $\frac{2}{3}$. Se, em vez disso, for subtraído $1$ de ambos, a fração é equivalente a $\frac{1}{2}$. Encontre a fração original.

Uma investidora distribui um capital de $\text{R\$}\ 20\,000$ em dois fundos de investimento. O primeiro oferece uma rentabilidade anual de $4\%$ e o segundo de $6\%$. Ao final de um ano, os lucros totais de ambos os fundos chegam a $\text{R\$}\ 1\,050$. Que quantia ela investiu em cada fundo?

Em um hortifrúti, $1 \text{ kg}$ de maçãs, $2 \text{ kg}$ de peras e $1 \text{ kg}$ de bananas custam $\text{R\$}\ 8,50$. Além disso, $2 \text{ kg}$ de maçãs e $1 \text{ kg}$ de peras custam $\text{R\$}\ 6$. Se o preço de $1 \text{ kg}$ de bananas é igual ao preço de $1 \text{ kg}$ de maçãs mais $1 \text{ kg}$ de peras, qual é o preço de cada tipo de fruta?

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede $25 \text{ cm}$ e a soma dos seus catetos é $35 \text{ cm}$. Formule um sistema de equações não lineares para determinar o comprimento de cada cateto.

Um reservatório pode ser enchido por meio de duas torneiras, A e B. Se ambas forem abertas ao mesmo tempo, o reservatório enche em $6$ horas. Sabe-se que a torneira A, sozinha, demora $5$ horas a menos que a torneira B para encher o reservatório completo. Formule um sistema de equações e encontre quanto tempo cada torneira demoraria para enchê-lo separadamente.

Em um lagar cooperativo de Jaén vão ser embalados $1\,000\text{ litros}$ de um lote (mistura) especial de azeite virgem extra combinando duas variedades autóctones: picual (cujo custo de obtenção é de $6,50\text{ \text{R\$}\ /l}$) e arbequina (com um custo de $8,50\text{ \text{R\$}\ /l}$). A cooperativa precisa que o custo médio resultante do litro de mistura seja exatamente $7,90\text{ \text{R\$}\ /l}$.

1. a) Antes de fazer cálculos algébricos, estime de forma fundamentada qual variedade deve fornecer mais litros ao depósito (picual ou arbequina?). Justifique a sua resposta prestando atenção unicamente à distância entre os preços unitários e o preço final pretendido.
2. b) Formule um sistema de duas equações com duas incógnitas ($x$: litros de picual, $y$: litros de arbequina) e resolva-o pelo método que preferir.
3. c) Verifique se os valores obtidos coincidem com a estimativa que você fez no item a) e interprete o resultado no contexto da produção de azeite.

O departamento de Educação Física de uma escola compra material esportivo de um distribuidor oficial em duas encomendas sucessivas:

• Na primeira encomenda, adquirem $3$ bolas de basquete e $4$ bolas de vôlei por um valor total de $146\text{ \text{R\$}\ }$.

• Na segunda encomenda, compram $5$ bolas de basquete e $4$ bolas de vôlei por um valor total de $194\text{ \text{R\$}\ }$.

1. a) Formule o sistema de equações lineares correspondente, chamando de $x$ o preço de uma bola de basquete e de $y$ o preço de uma bola de vôlei.
2. b) Analise os três métodos algébricos habituais (substituição, igualdade e adição). Justifique qual deles poupa mais cálculos e minimiza o risco de erro ao resolver este sistema em particular.
3. c) Resolva o sistema aplicando o método que você escolheu no item b) e verifique o resultado nos valores originais de ambas as encomendas.

As áreas de três das faces de um prisma reto de base retangular (paralelepípedo retângulo) que concorrem em um mesmo vértice são $24 \text{ cm}^2$, $32 \text{ cm}^2$ e $48 \text{ cm}^2$. Formule um sistema de equações com as dimensões de suas arestas e calcule o volume do prisma.

Um número é formado por três algarismos que somam $18$. O algarismo das centenas é igual à soma dos algarismos das dezenas e das unidades. Se for invertida a ordem dos algarismos, o número resultante é $396$ unidades menor que o número original. Determine qual é esse número.

Um ourives dispõe de duas ligas de ouro. A primeira contém $80\%$ de ouro e a segunda $60\%$ de ouro. Ele quer fundir partes de ambas para obter $50 \text{ gramos}$ de uma nova liga que tenha $75\%$ de ouro. Quantos gramas de cada liga ele deve utilizar?

A área de um losango é de $120 \text{ cm}^2$ e a soma de suas diagonais é $34 \text{ cm}$. Formule um sistema de equações não lineares para encontrar o comprimento das diagonais e, posteriormente, calcule o perímetro do losango.

Três trabalhadores, Ana, Bruno e Carlos, devem pintar um edifício. Se Ana e Bruno trabalharem juntos, demoram $12$ dias. Se Bruno e Carlos trabalharem juntos, demoram $20$ dias. Se Ana e Carlos trabalharem juntos, demoram $15$ dias. Formule um sistema de equações para descobrir quanto tempo cada um demoraria trabalhando sozinho. (Sugestão: use como incógnitas a fração da obra que cada um faz em um dia).

Um agricultor quer cercar um terreno retangular. Ele dispõe de $100 \text{ m}$ de cerca para o perímetro. Sabendo que um dos lados do terreno deve medir pelo menos $15 \text{ m}$ e que a área do terreno deve ser estritamente maior que $600 \text{ m}^2$, formule um sistema de inequações para a medida da base e da altura, e determine entre quais valores pode variar a medida do lado maior.

Um ciclista parte da cidade A em direção à cidade B a uma velocidade constante. Uma hora mais tarde, um motociclista parte de A em sua perseguição a uma velocidade que é $15 \text{ km/h}$ superior à do ciclista, e o alcança exatamente ao chegar a B. Se a distância entre A e B é de $60 \text{ km}$, formule um sistema de equações para encontrar as velocidades de ambos e o tempo que o ciclista demorou para fazer o percurso.

Um técnico municipal de mobilidade de uma capital de outro país desenha uma campanha para incentivar o transporte público. Para equilibrar o orçamento de um usuário médio, estabelece como solução ideal que uma pessoa adquira por ano exatamente $x = 12$ bilhetes simples e $y = 4$ passes mensais combinados.

1. a) Redija o enunciado completo de um problema realista de economia doméstica no qual se combinem o número total de títulos comprados por ano ($16$ títulos no total) e uma despesa anual total pré-fixada (atribuindo um preço de $1,50\text{ \text{R\$}\ }$ ao bilhete simples e $35\text{ \text{R\$}\ }$ ao passe mensal), de modo que a sua formulação conduza de forma inequívoca a essa solução.
2. b) Escreva o sistema de equações associado ao problema que você redigiu e verifique analiticamente que a sua solução única é, de fato, $(12, 4)$.
3. c) Imagine que vocês substituam a condição da despesa total por esta outra: «o triplo dos bilhetes simples mais o triplo dos passes mensais é igual a $48$». Raciocine por que razão com esta nova condição é impossível determinar se o usuário comprou $(12, 4)$ ou outra combinação diferente, explicando o que acontece matematicamente com o sistema.

Dois veículos partem simultaneamente às $09:00\text{ h}$ para fazer o trajeto entre Madrid e Zaragoza ($315\text{ km}$ ao longo da autoestrada A-2) viajando em sentidos opostos: um veículo ligeiro de passageiros parte de Madrid em direção a Zaragoza e uma carrinha de distribuição parte de Zaragoza em direção a Madrid. Devido à carga e ao tipo de veículo, a velocidade média do ligeiro de passageiros supera em $15\text{ km/h}$ a da carrinha. Ambos os veículos cruzam-se na autoestrada após exatamente $1\text{ hora e } 30\text{ minutos}$ ($1,5\text{ horas}$) de trajeto contínuo.

1. a) Define as incógnitas indicando com precisão as suas unidades de medida.
2. b) Utilizando a relação física $d = v \cdot t$, formula um sistema linear de duas equações com duas incógnitas que modele a diferença de velocidades e a soma de distâncias percorridas até ao instante do cruzamento.
3. c) Resolve o sistema para determinar a velocidade média de cada veículo.
4. d) Interpreta o resultado: raciocina se ambos os condutores respeitaram o limite genérico legal de velocidade em autoestradas em Espanha ($120\text{ km/h}$) e calcula a que distância de Madrid ocorreu o encontro.

Desafio do tema. Como otimizar o gasto de energia e o espaço na sua casa?

1. Dados reais e tarifas: Consulte no site da Aneel o preço médio do kWh hoje e pesquise na internet uma tarifa comercial com taxa fixa mensal. Modele o custo mensal $y$ segundo os kWh consumidos $x$ por meio de duas equações lineares com duas incógnitas.

2. Resolução linear e GeoGebra: Formule o sistema linear resultante. Resolva-o de forma algébrica (por adição, comparação ou substituição) e represente-o graficamente no GeoGebra para encontrar o limiar de consumo no qual as duas opções empatam.

3. Espaço solar (sistema não linear): Meça com uma fita métrica o contorno disponível em uma janela ou varanda da sua casa para obter o perímetro real ($2x + 2y = p$). Se o painel solar precisar de uma superfície de captação de $x \cdot y = 1,2$ $\text{m}^2$, formule e resolva o sistema não linear para determinar as dimensões possíveis ($x$, $y$).

4. Relatório final: Redija um relatório breve que inclua a tabela de dados, as capturas de tela do GeoGebra, as soluções de ambos os sistemas e a sua recomendação fundamentada para economizar em casa.

Será avaliado:

• Formulação e resolução matemática correta dos sistemas linear e não linear.

• Uso rigoroso do GeoGebra para a representação e interpretação gráfica das soluções.

• Precisão na coleta de dados reais (medições e internet) e clareza nas conclusões do relatório.