Números decimais: conceito
Na final dos 100 metros rasos da escola, a Júlia marcou $24{,}058$ s e a Beatriz marcou $24{,}06$ s. Quem ganhou? Parece empate, mas não é. Nesta página você vai comparar decimais com muitas casas, conhecer as dízimas periódicas e os números que nunca se repetem, e descobrir que entre dois decimais sempre cabe outro.
Valor posicional e leitura
Cada algarismo de um decimal vale dez vezes mais que o algarismo à sua direita. Depois da vírgula, as posições são décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimo, e assim por diante.
Para ler, leia a parte inteira, depois a parte decimal como um número inteiro e diga o nome da última casa. Assim, $0{,}104$ lê-se «cento e quatro milésimos» e $7{,}25$ lê-se «sete inteiros e vinte e cinco centésimos».
Uma malha quadrada dividida em 100 quadradinhos funciona como um centésimo por quadradinho. Se $37$ quadradinhos estão pintados, a parte pintada é $\frac{37}{100} = 0{,}37$.
Em um laboratório de biologia, um aluno está medindo a espessura de diferentes folhas de plantas. Escreva com algarismos os seguintes números decimais obtidos em suas…
Em um laboratório de biologia, um aluno está medindo a espessura de diferentes folhas de plantas. Escreva com algarismos os seguintes números decimais obtidos em suas medições:
- a) Doze unidades e oito décimos.
- b) Sete unidades e vinte e cinco centésimos.
- c) Zero unidade e cento e quatro milésimos.
- d) Cinco unidades e nove décimos de milésimo.
Nos Jogos Olímpicos, os tempos de natação são medidos com muita precisão. Um nadador demorou $48,052$ segundos para completar uma prova. Indique que posição cada…
Nos Jogos Olímpicos, os tempos de natação são medidos com muita precisão. Um nadador demorou $48,052$ segundos para completar uma prova. Indique que posição cada algarismo ocupa neste número:
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O $4$ ocupa as:
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O $8$ ocupa as:
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O $0$ ocupa as:
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O $5$ ocupa as:
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O $2$ ocupa as:
Observe a seguinte grade que representa a unidade dividida em cem partes iguais. Indique que número decimal representa a parte sombreada na cor laranja e como se lê esse…
Observe a seguinte grade que representa a unidade dividida em cem partes iguais. Indique que número decimal representa a parte sombreada na cor laranja e como se lê esse número.
Comparar e ordenar decimais
No começo da página, $24{,}058$ s e $24{,}06$ s parecem quase iguais. Para decidir, iguale o número de casas com zeros e compare coluna por coluna, da esquerda para a direita.
Voltando à corrida: $24{,}06 = 24{,}060$. Nos centésimos, $24{,}058$ tem $5$ e $24{,}060$ tem $6$, e $5 < 6$. Logo $24{,}058 < 24{,}06$: a Júlia fez o menor tempo e ganhou por $2$ milésimos de segundo.
Ordene os seguintes números decimais do menor para o maior: $$0,52 \quad | \quad 0,509 \quad | \quad 0,6 \quad | \quad 0,521 \quad | \quad 0,5$$
Ordene os seguintes números decimais do menor para o maior:
$$0,52 \quad | \quad 0,509 \quad | \quad 0,6 \quad | \quad 0,521 \quad | \quad 0,5$$O Marcos está ordenando números para uma prova e afirma o seguinte: «O número $0,19$ é maior do que $0,8$ porque $19$ é um número muito maior do que $8$. Além disso,…
O Marcos está ordenando números para uma prova e afirma o seguinte: «O número $0,19$ é maior do que $0,8$ porque $19$ é um número muito maior do que $8$. Além disso, $0,8$ e $0,80$ representam quantidades diferentes porque o segundo tem mais casas decimais». a) Encontre os dois erros de raciocínio que o Marcos comete e explique, utilizando o valor posicional dos algarismos (décimos e centésimos), por que razão as afirmações dele estão incorretas. b) Escreva a comparação correta entre $0,19$ e $0,8$ utilizando o símbolo adequado ($>$ ou $<$) depois de igualar o número de casas decimais deles.
Em um campeonato de Fórmula 1, os tempos de classificação de quatro pilotos para uma volta no circuito foram os seguintes: Piloto A: $1:24,058\text{ s}$ Piloto B:…
Em um campeonato de Fórmula 1, os tempos de classificação de quatro pilotos para uma volta no circuito foram os seguintes:
-
Piloto A: $1:24,058\text{ s}$
-
Piloto B: $1:24,5\text{ s}$
-
Piloto C: $1:24,06\text{ s}$
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Piloto D: $1:24,0578\text{ s}$
Ordene os pilotos do mais rápido para o mais lento utilizando os sinais $>$ ou $<$ conforme corresponda.
Decimais na reta numérica
Na reta numérica, quanto mais à direita, maior o número. Para marcar decimais, divida cada unidade em 10 partes iguais (décimos) e, se precisar, cada décimo em 10 partes (centésimos).
Os negativos ficam à esquerda do zero. Quanto mais afastado do zero para a esquerda, menor é o número: $-0{,}7 < -0{,}25$, porque $-0{,}7$ está mais à esquerda.
Identifique que números decimais estão representados pelas letras $A$, $B$ e $C$ na seguinte reta numérica:
Identifique que números decimais estão representados pelas letras $A$, $B$ e $C$ na seguinte reta numérica:
Desenhe uma reta numérica no seu caderno e represente os seguintes números decimais. Para os números negativos, utilize uma cor diferente da dos positivos. $A = 0,4$…
Desenhe uma reta numérica no seu caderno e represente os seguintes números decimais. Para os números negativos, utilize uma cor diferente da dos positivos.
$A = 0,4$
$B = -0,25$
$C = 0,85$
$D = -0,7$
Pode ajudar você tomar a reta desde $-1$ até $1$, com o $0$ no centro, e dividir cada unidade em 20 partes iguais, de modo que cada marca valha $0,05$. Por exemplo, se cada unidade ocupar 10 cm do caderno, cada marca ficará separada por 0,5 cm. Escreva junto de cada ponto a sua letra e o seu valor.
Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.
Tipos de número decimal
Nem todo decimal acaba. Observe o que acontece ao dividir:
-
$\frac{1}{4} = 0{,}25$ (a divisão termina);
-
$\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ (o $3$ se repete sempre);
-
$\frac{1}{6} = 0{,}1666\ldots$ (o $1$ aparece uma vez e depois o $6$ se repete).
Para indicar o período, usa-se uma barra em cima dele (ou um chapéu, como em alguns livros e nos exercícios). Assim, $2{,}3\overline{5} = 2{,}3555\ldots$ e $2{,}\overline{35} = 2{,}353535\ldots$ O que está debaixo da barra é o que se repete.
Uma figura dividida em partes iguais também gera decimais. Se o quadrado de área $1$ é dividido em $3$ partes iguais e uma delas é pintada, a parte pintada é $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ Se são $4$ partes iguais, é $\frac{1}{4} = 0{,}25$. Em ambos os casos, divida o numerador pelo denominador.
Classifique os seguintes números decimais indicando se são exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas: a) $4,25$ b) $7,\widehat{3}$ c)…
Classifique os seguintes números decimais indicando se são exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas:
- a) $4,25$
- b) $7,\widehat{3}$
- c) $1,02\widehat{5}$
- d) $12,444...$
- e) $0,123$
- f) $5,6\widehat{12}$
Observe a seguinte figura, onde um quadrado de área $1\text{ u}^2$ foi dividido em seções. a) Expresse na forma decimal a parte sombreada em laranja. b) Expresse na…
Observe a seguinte figura, onde um quadrado de área $1\text{ u}^2$ foi dividido em seções.
- a) Expresse na forma decimal a parte sombreada em laranja.
- b) Expresse na forma decimal a parte que fica em branco.
- c) Que tipo de números decimais você obteve (exatos ou dízimas periódicas)?
Que decimal uma fração gera?
Dá para saber o tipo de decimal sem dividir. Basta simplificar a fração e olhar os fatores primos do denominador.
Sem realizar a divisão dos seus termos, indique que tipo de número decimal cada uma das seguintes frações vai gerar (exato ou dízima periódica). Justifique sua resposta…
Sem realizar a divisão dos seus termos, indique que tipo de número decimal cada uma das seguintes frações vai gerar (exato ou dízima periódica). Justifique sua resposta analisando os fatores primos do denominador:
- a) $\dfrac{7}{40}$
- b) $\dfrac{5}{12}$
- c) $\dfrac{11}{21}$
- d) $\dfrac{3}{250}$
Ordenar dízimas periódicas
Para comparar dízimas, escreva várias casas de cada uma e alinhe as colunas. Se os números ficam iguais por muitas casas, vá mais longe.
O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou as precipitações acumuladas em litros por metro quadrado ($\text{l/m}^2$) durante um dia de tempestades em quatro…
O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou as precipitações acumuladas em litros por metro quadrado ($\text{l/m}^2$) durante um dia de tempestades em quatro estações do Rio Grande do Sul: Estação A: $24,\widehat{7}\text{ l/m}^2$; Estação B: $24,75\text{ l/m}^2$; Estação C: $24,7\widehat{5}\text{ l/m}^2$; Estação D: $24,\widehat{75}\text{ l/m}^2$. a) Escreva o desenvolvimento de cada um dos quatro registros com pelo menos quatro casas decimais e ordene-os da maior para a menor precipitação utilizando o símbolo $>$. b) Para verificar os sensores, a equipe técnica precisa introduzir um valor de teste que seja um número decimal exato e que se encontre estritamente entre os dois registros mais chuvosos da lista. Proponha um número que cumpra esse requisito e justifique por que razão ele pertence a esse intervalo.
Ordene do menor para o maior os seguintes números decimais, justificando a sua resposta por meio do desenvolvimento de pelo menos quatro de suas casas decimais:…
Ordene do menor para o maior os seguintes números decimais, justificando a sua resposta por meio do desenvolvimento de pelo menos quatro de suas casas decimais:
-
$A = 2,3\hat{5}$
-
$B = 2,\widehat{35}$
-
$C = 2,35$
-
$D = 2,35\hat{3}$
-
$E = 2,355$
-
$F = 2,353$
Depois de ordenados, encontre um número decimal exato e uma dízima periódica simples que estejam compreendidos entre os dois valores centrais da sua lista.
Quatro velocistas registraram marcas em segundos com desenvolvimentos decimais muito semelhantes: $A = 12,\widehat{34}\text{ s}$, $B = 12,3\widehat{4}\text{ s}$,…
Quatro velocistas registraram marcas em segundos com desenvolvimentos decimais muito semelhantes: $A = 12,\widehat{34}\text{ s}$, $B = 12,3\widehat{4}\text{ s}$, $C = 12,3434\text{ s}$ e $D = 12,\widehat{343}\text{ s}$. Para ordená-las do menor para o maior tempo, dois juízes do campeonato propõem caminhos distintos: O Juiz 1 propõe: «Arredondemos todos os tempos às centésimas; assim será mais rápido e simples ordenar». O Juiz 2 propõe: «Desenvolvamos cada número até a sua quinta casa decimal e comparemos coluna a coluna da esquerda para a direita». a) Aplique a proposta do Juiz 1. É possível desempatar e classificar as quatro atletas com o método dele? Explique detalhadamente o que acontece e por que razão este procedimento falha neste caso. b) Aplique a proposta do Juiz 2, escreva o desenvolvimento com cinco casas decimais de cada marca e ordene as atletas da menor para a maior utilizando o símbolo $<$. Justifique por que razão cinco casas bastam neste caso e por que razão, em geral, comparar algarismo a algarismo até o primeiro algarismo diferente nunca falha. c) Se uma quinta atleta registrar um tempo irracional cujos primeiros algarismos são $12,343443444...\text{ s}$, entre quais duas atletas da lista anterior ela se classificaria? Justifique comparando a casa decimal exata em que ela se distingue das suas vizinhas.
De dízima de volta a fração
Toda dízima periódica pode ser escrita como fração. Essa fração se chama fração geratriz (você vai estudá-la com calma na seção seguinte). Ela é útil porque, com frações, comparar e achar números no meio fica mais fácil.
Intercale três números racionais (na forma de fração) entre os números decimais $0,\hat{7}$ e $0,7\hat{8}$. Para resolver, siga estes passos: 1. Obtenha as frações…
Intercale três números racionais (na forma de fração) entre os números decimais $0,\hat{7}$ e $0,7\hat{8}$.
Para resolver, siga estes passos:
-
Obtenha as frações geratrizes de ambos os números.
-
Reduza essas frações ao mesmo denominador.
-
Encontre três frações que fiquem entre elas e verifique que suas representações decimais cumprem a condição de intercalação.
Números que não acabam e não se repetem
$\sqrt{2} = 1{,}4142135\ldots$ Por mais casas que você calcule, nunca aparece um período que se repita. $\pi = 3{,}14159\ldots$ também é assim. Esses números não são exatos nem periódicos: são irracionais.
Como você não consegue escrever todas as casas, usa-se uma aproximação. Para localizar $\sqrt{7}$, procure os quadrados perfeitos vizinhos: $2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$, então $2 < \sqrt{7} < 3$. Depois teste décimos: $2{,}6^2 = 6{,}76$ e $2{,}7^2 = 7{,}29$, então $2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7$.
Classifique os seguintes números decimais na tabela em anexo (Exato, Dízima Periódica Simples, Dízima Periódica Composta ou Irracional): $3,141592...$ (Número $\pi$)…
Classifique os seguintes números decimais na tabela em anexo (Exato, Dízima Periódica Simples, Dízima Periódica Composta ou Irracional):
-
$3,141592...$ (Número $\pi$)
-
$2,15$
-
$7,444...$
-
$0,1232323...$
-
$\sqrt{2}$
-
$5,0616161...$
| Exato | D. Simples | D. Composta | Irracional |
|---|---|---|---|
Queremos situar na reta numérica o número irracional $\sqrt{7}$, cujo valor exato tem infinitas casas decimais não periódicas. a) Sem utilizar a calculadora, estime…
Queremos situar na reta numérica o número irracional $\sqrt{7}$, cujo valor exato tem infinitas casas decimais não periódicas. a) Sem utilizar a calculadora, estime entre quais dois números inteiros consecutivos se encontra $\sqrt{7}$ a partir dos quadrados perfeitos mais próximos. Em seguida, estime de forma fundamentada entre quais duas décimas consecutivas ($2,5$ e $2,6$, ou $2,6$ e $2,7$, etc.) ele deve se situar, verificando à mão o quadrado dessas décimas. b) Sabendo que o valor aproximado deste número é $\sqrt{7} = 2,645751...$, verifique se a sua estimativa por décimas estava correta. c) Baseando-se na propriedade da densidade dos decimais, proponha um número decimal exato e um número decimal dízima periódica composta que estejam compreendidos entre $2,64$ e $\sqrt{7}$.
Represente na reta numérica de forma aproximada os seguintes números e determine de forma exata qual deles é o maior: $X = 1,4\hat{6}$ $Y = \sqrt{2}$ (use a aproximação…
Represente na reta numérica de forma aproximada os seguintes números e determine de forma exata qual deles é o maior:
-
$X = 1,4\hat{6}$
-
$Y = \sqrt{2}$ (use a aproximação $1,4142...$)
-
$Z = \frac{11}{7}$
Como $\sqrt{2}$ é um número irracional, não tem fração geratriz. Por isso:
-
Para $X$, calcule a sua fração geratriz e compare-a com $Z$ (por exemplo, reduzindo-as ao mesmo denominador).
-
Para $Y$, use a sua aproximação decimal e compare-a com os outros dois.
Justifique a posição de cada número na reta realizando as divisões necessárias com pelo menos três casas decimais. Use a reta da figura, onde cada marca pequena vale $0,01$.
Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.
Entre dois decimais sempre cabe outro
Entre $1{,}54$ e $1{,}55$ parece não caber nada. Mas olhe uma casa a mais: $1{,}541$, $1{,}542$, $1{,}543\ldots$ Existem infinitos números entre eles.
Voltando ao início: a Júlia e a Beatriz estavam separadas por $0{,}002$ s, mas entre as duas marcas ainda cabem infinitos tempos possíveis, como $24{,}059$ s.
Três irmãos medem sua altura. Ana mede $1,54$ metros e Marcos mede $1,55$ metros. Encontre um número decimal que esteja entre a altura de Ana e a de Marcos.
Três irmãos medem sua altura. Ana mede $1,54$ metros e Marcos mede $1,55$ metros. Encontre um número decimal que esteja entre a altura de Ana e a de Marcos.
Pede-se que você construa quatro números decimais diferentes que estejam compreendidos estritamente entre $3,4$ e $3,5$ (ou seja, maiores do que $3,4$ e menores do que…
Pede-se que você construa quatro números decimais diferentes que estejam compreendidos estritamente entre $3,4$ e $3,5$ (ou seja, maiores do que $3,4$ e menores do que $3,5$). Cada um deve cumprir uma das seguintes condições: a) Um número decimal exato que tenha exatamente três casas decimais. b) Um número decimal dízima periódica simples (lembre-se de que o período deve começar imediatamente após a vírgula). c) Um número decimal dízima periódica composta (com anteperíodo e período). d) Um número irracional. Para este último, escreva as suas primeiras sete casas decimais e explique que regra ou padrão você seguiu para que nunca se repita nenhum bloco de algarismos.
Durante um debate na aula sobre a propriedade da densidade dos decimais, o Lucas afirma: «Entre $0,\widehat{2}$ e $0,23$ não cabe nenhum outro número decimal porque, ao…
Durante um debate na aula sobre a propriedade da densidade dos decimais, o Lucas afirma: «Entre $0,\widehat{2}$ e $0,23$ não cabe nenhum outro número decimal porque, ao escrever $0,\widehat{2} = 0,222...$, depois do $2$ nas centésimas só pode vir o $3$, logo não fica nenhum espaço no meio». a) Demonstre que o raciocínio do Lucas é falso: explique como o sistema de numeração decimal garante a existência de infinitos valores intermediários e encontre três números de tipos diferentes (um exato, uma dízima periódica simples e uma dízima periódica mista) que estejam estritamente entre $0,\widehat{2}$ e $0,23$. b) Construa um número irracional compreendido nesse mesmo intervalo mostrando as suas primeiras oito casas decimais. Explique com precisão a regra de formação que você utilizou para assegurar que os seus algarismos nunca formem um período repetitivo e que não possa ser expresso sob a forma de fração.
Aproximar e medir o erro
Quando você corta um decimal em certa casa, comete um erro. Há duas formas de aproximar: truncar (simplesmente cortar as casas) e arredondar (olhar o algarismo seguinte: se for 5 ou mais, aumentar 1 na casa que fica).
Em um laboratório de biologia, mediu-se o tamanho de um micro-organismo obtendo-se um valor de $0,04586$ mm. Por um erro no software, o microscópio mostra este valor…
Em um laboratório de biologia, mediu-se o tamanho de um micro-organismo obtendo-se um valor de $0,04586$ mm. Por um erro no software, o microscópio mostra este valor aproximado de duas formas diferentes:
-
Aproximação X: truncado nas milésimas.
-
Aproximação Y: arredondado nas milésimas.
Calcule o erro relativo cometido em cada uma das duas aproximações. Qual das duas estimativas é mais precisa para o estudo científico? Justifique sua resposta comparando os erros obtidos.