Extração de fatores

Para extrair fatores de um radical, dividimos o expoente do radicando pelo índice da raiz.

• O quociente é o expoente do fator que sai.

• O resto é o expoente do fator que fica dentro.

Calcule a extração de fatores destas potências decompondo mentalmente o expoente ou realizando a divisão:

1. a) $\sqrt{5^7}$ (Divida 7 por 2)
2. b) $\sqrt[3]{2^8}$ (Divida 8 por 3)
3. c) $\sqrt[4]{3^9}$ (Divida 9 por 4)

Muitas vezes encontramos números que não estão fatorados. O primeiro passo sempre deve ser decompor o número em fatores primos.

Por exemplo, para simplificar $\sqrt{12}$, primeiro pensamos que $12 = 2^2 \cdot 3$. Como o $2$ está elevado ao quadrado, pode "escapar" da raiz quadrada.

Decomponha em fatores primos e extraia tudo o que puder destas raízes quadradas:

1. a) $\sqrt{18}$
2. b) $\sqrt{50}$
3. c) $\sqrt{20}$
4. d) $\sqrt{75}$

Temos um terreno quadrado. Sabemos que sua área é de $72 \text{ m}^2$, mas queremos saber quanto mede exatamente seu lado expresso da forma mais simples possível (extraindo fatores).

Lembre-se de que se a área de um quadrado é $l^2$, então o lado é $l = \sqrt{\text{Área}}$.

1. Fatore o número 72.

2. Escreva $\sqrt{72}$ usando esses fatores.

3. Extraia os números que estão elevados ao quadrado.

Queremos analisar e aproximar o radical $\sqrt{180}$ sem recorrer logo à calculadora.

1. a) Estime entre quais dois números inteiros consecutivos se encontra $\sqrt{180}$, justificando a sua resposta a partir dos dois quadrados perfeitos mais próximos.
2. b) Decomponha $180$ em fatores primos e extraia todos os fatores possíveis para fora da raiz.
3. c) Sabendo que $\sqrt{5} \approx 2,24$, verifique se o valor resultante de multiplicar o coeficiente externo por essa aproximação é coerente com o intervalo que você estimou no item a).

Extraia todos os fatores possíveis dos seguintes radicais numéricos. Para isso, primeiro você deverá realizar a decomposição em fatores primos dos números que estão dentro da raiz.

1. a) $\sqrt{216}$
2. b) $\sqrt[3]{5000}$
3. c) $\sqrt[4]{162}$

Para extrair fatores de uma raiz, agrupamos os fatores repetidos do radicando segundo indique o índice: em uma raiz quadrada (índice $2$), cada grupo de $2$ fatores iguais sai como um só; em uma raiz cúbica (índice $3$), sai cada grupo de $3$.

Observe o seguinte esquema que representa $\sqrt[3]{x^4}$. Como $x^4 = x^3 \cdot x$, o grupo de $3$ sai como um só $x$ e o fator que sobra fica dentro.

Seguindo essa lógica, extraia todos os fatores possíveis das seguintes raízes:

1. a) $\sqrt{x^3}$
2. b) $\sqrt{a^5}$
3. c) $\sqrt[3]{m^4}$
4. d) $\sqrt[4]{y^5}$

Às vezes temos números e letras misturados dentro de uma raiz. O procedimento é o mesmo: trabalhamos com o número por um lado e com cada letra por outro.

Simplifique os seguintes radicais extraindo todos os fatores possíveis:

1. a) $\sqrt{8x^3}$
2. b) $\sqrt{27a^2}$
3. c) $\sqrt{16y^5}$
4. d) $\sqrt{25z^3}$

Não só podemos extrair fatores do numerador, como também podemos fazer isso do denominador se tivermos frações dentro da raiz.

Se temos $\sqrt{\frac{a^3}{b^2}}$, podemos tirar fatores de cima e de baixo de forma independente. Neste exemplo, $b^2$ sai como $b$ no denominador, e de $a^3$ tiramos um $a$ no numerador: $\frac{a}{b}\sqrt{a}$.

Tente simplificar estas expressões:

1. a) $\sqrt{\frac{50}{9}}$
2. b) $\sqrt{\frac{x^3}{4}}$
3. c) $\sqrt{\frac{1}{27}}$ (Dica: fatore o 27 e deixe-o no denominador)

Simplifique os seguintes radicais que contêm variáveis. Lembre-se de que, para poder extrair uma variável, seu expoente deve ser igual ou maior que o índice da raiz.

1. a) $\sqrt[3]{x^4 \cdot y^7 \cdot z^{10}}$
2. b) $\sqrt{25a^3 b^5 c}$
3. c) $\sqrt[5]{\frac{m^7}{n^{10}}}$

Vamos fazer o processo inverso para verificar se você entendeu a extração. Se tenho um fator fora da raiz e quero colocá-lo dentro, tenho que elevá-lo ao índice da raiz.

Por exemplo: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Associe em seu caderno cada expressão simplificada da esquerda com sua raiz original da direita (não é necessário calcular, apenas raciocine qual número saiu):

1. $2\sqrt{2}$ --- A. $\sqrt{12}$

2. $3\sqrt{2}$ --- B. $\sqrt{20}$

3. $2\sqrt{3}$ --- C. $\sqrt{8}$

4. $2\sqrt{5}$ --- D. $\sqrt{18}$

Simplifique os seguintes radicais. Preste atenção no índice da raiz, pois neste exercício misturamos raízes quadradas (índice 2) e raízes cúbicas (índice 3).

Lembre-se:

• Em $\sqrt{\quad}$, fazemos grupos de 2.

• Em $\sqrt[3]{\quad}$, fazemos grupos de 3.

1. a) $\sqrt{3^2 \cdot 2}$
2. b) $\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}$
3. c) $\sqrt{2^2 \cdot 3^3}$
4. d) $\sqrt[3]{5^4}$

Indique se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas realizando a extração de fatores necessária:

1. a) $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
2. b) $\sqrt{16 \cdot x^6} = 4x^3$
3. c) $\sqrt[3]{8 + 27} = 5$
4. d) $\sqrt{\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{2}$

Para poder somar ou subtrair radicais, eles devem ser semelhantes. À primeira vista, os seguintes radicais parecem diferentes. Extraia fatores de cada um deles para verificar se sua parte radical é a mesma e, se for o caso, expresse-os de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{80}$
2. b) $\sqrt{125}$
3. c) $2\sqrt{45}$

Simplifique as seguintes frações com radicais extraindo fatores tanto do numerador quanto do denominador. Se possível, simplifique a fração resultante:

1. a) $\sqrt{\frac{98}{75}}$
2. b) $\sqrt[3]{\frac{16a^4}{27b^3}}$

Para simplificar o radical $\sqrt[3]{a^7 \cdot b^4}$, a Júlia divide cada expoente pelo índice: $7 : 3 = 2$ (resto $1$) e $4 : 3 = 1$ (resto $1$). Em seguida, escreve em seu caderno o seguinte passo:

$$\sqrt[3]{a^7 \cdot b^4} = a \cdot b \cdot \sqrt[3]{a^2 \cdot b}$$

1. a) Localize o erro conceitual que a Júlia cometeu ao posicionar os quocientes e os restos das divisões.
2. b) Apoiando-se na propriedade das potências $a^D = (a^c)^d \cdot a^r$, explique por que razão o quociente deve ser o expoente do fator exterior e o resto o do fator interior.
3. c) Escreva a simplificação corrigida deste radical.

Temos um reservatório de água com formato cúbico. Sabemos que seu volume total é de $686 \text{ m}^3$. Calcule o comprimento da aresta do reservatório expressando o resultado por meio de um radical simplificado (extraindo fatores).

Calcule o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem $10 \text{ cm}$ e $5 \text{ cm}$. Aplique o Teorema de Pitágoras e expresse o resultado final extraindo todos os fatores possíveis da raiz.

Temos um terreno quadrado cuja área é de $720 \text{ m}^2$. Queremos instalar um tubo de irrigação que cruze o terreno na diagonal. Calcule o comprimento exato do tubo, expressando o resultado como um radical simplificado (extraindo o maior número possível de fatores).

O seguinte polinômio dentro da raiz quadrada corresponde a um produto notável (o quadrado de um binômio ou trinômio). Fatore o polinômio dentro do radicando e simplifique a expressão extraindo os fatores resultantes.

$$ \sqrt{9x^2 - 30x + 25} $$

Num exercício com variáveis algébricas, pede-se para extrair fatores do radical $\sqrt{\frac{50x^3}{y^6}}$, especificando no enunciado que $x > 0$ e $y < 0$. O Sérgio apresenta a seguinte resposta:

$$\sqrt{\frac{50x^3}{y^6}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5^2 \cdot x^2 \cdot x}{(y^3)^2}} = \frac{5x}{y^3}\sqrt{2x}$$

1. a) Demonstre que o resultado do Sérgio é contraditório analisando os sinais: determine, com fundamentação, que sinal tem o radical de partida e que sinal tem a expressão final do Sérgio segundo as condições do enunciado ($x > 0$, $y < 0$).
2. b) Aplicando a propriedade $\sqrt{a^2} = |a|$, corrija o desenvolvimento do Sérgio para apresentar a expressão simplificada correta sem utilizar barras de valor absoluto.
3. c) Se a expressão tivesse índice ímpar, por exemplo $\sqrt[3]{\frac{50x^4}{y^6}}$ com as mesmas condições para $x$ e $y$, teria surgido este mesmo conflito de sinais ao extrair fatores? Justifique a sua resposta a partir das propriedades das raízes de índice ímpar.