Operações com potências

Escreva as seguintes multiplicações repetidas em forma de potência e, em seguida, calcule seu valor numérico. Lembre-se de que a base é o número que se repete e o expoente indica quantas vezes ele aparece.

1. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
2. b) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
3. c) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
4. d) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Temos um cubo de Rubik clássico. Sabemos que em cada aresta (lado) há 3 peças pequenas.

Expresse por meio de uma potência quantas peças pequenas formam o cubo total e calcule o valor.

Observe o desenho para ajudar você:

Calcule o valor das seguintes potências levando em consideração as propriedades da potência de expoente 0 e da potência de base 1. Tenha cuidado com os sinais.

1. a) $5^0$
2. b) $23^1$
3. c) $1^{15}$
4. d) $(-8)^0$
5. e) $123^0 + 1^{20}$

Utilize as propriedades do produto de potências de mesma base para simplificar estas expressões e deixá-las como uma única potência. Não é necessário calcular o resultado final, apenas expresse a potência resultante.

1. a) $5^3 \cdot 5^4$
2. b) $(-3)^2 \cdot (-3)^5$
3. c) $x^2 \cdot x^6 \cdot x$
4. d) $10^3 \cdot 10^2 \cdot 10^4$

Aplique a propriedade do quociente (divisão) de potências de mesma base para reduzir as seguintes expressões a uma única potência. Lembre-se de que deve subtrair os expoentes.

1. a) $\frac{7^8}{7^3}$
2. b) $2^{12} : 2^{10}$
3. c) $\frac{(-4)^5}{(-4)^2}$
4. d) $\frac{a^6}{a}$

Simplifique ao máximo as seguintes expressões combinando as propriedades das potências estudadas (produto e quociente de bases iguais). Expresse o resultado como uma única potência.

1. a) $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$
2. b) $\frac{x^7}{x^2 \cdot x^3}$
3. c) $(3^2 \cdot 3^4) : 3^5$
4. d) $\frac{10^6 \cdot 10^2}{10^8}$

Num teste do 3.º ano do ESO, a Clara tem de simplificar a operação $2^3 \cdot 2^4$. Escreve no seu caderno o seguinte desenvolvimento:

$$2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2)^{3+4} = 4^7$$

1. a) Identifica e descreve os dois erros concetuais distintos que a Clara cometeu no seu procedimento.
2. b) Explica, recorrendo ao significado básico de potência como multiplicação repetida (sem te limitares a citar a fórmula de cor), por que razão ao multiplicar potências com a mesma base se somam os expoentes mas a base se mantém invariável.
3. c) Corrige o exercício escrevendo a solução adequada sob a forma de uma única potência de base 2 e calcula o seu valor numérico final.

Calcule o resultado da seguinte expressão, aplicando as propriedades das potências antes de calcular o valor final. Preste atenção pois todas as bases são o mesmo número negativo:

$$ \frac{(-3)^5 \cdot (-3)^2 \cdot (-3)}{(-3)^4} $$

Lembre-se de que, quando um número não possui expoente visível, este é 1.

Simplifique as seguintes expressões usando a propriedade da potência de uma potência. O resultado deve ser expresso como uma única potência.

1. a) $(3^2)^4$
2. b) $(x^3)^5$
3. c) $((-2)^2)^3$
4. d) $((a^2)^3)^4$

Nestes casos, as bases são diferentes, mas os expoentes são iguais. Aplique as propriedades correspondentes para agrupar as bases e expressar o resultado como uma única potência.

1. a) $2^3 \cdot 5^3$
2. b) $12^4 : 4^4$
3. c) $(-2)^5 \cdot 3^5$
4. d) $\frac{20^2}{5^2}$

Desenhe três operações aritméticas distintas cujo resultado final seja exatamente a potência $3^8$, cumprindo obrigatoriamente em cada caso a condição indicada:

1. a) Um produto de duas potências de base 3 onde nenhum expoente seja um número par.
2. b) Uma divisão entre duas potências que tenham bases diferentes e o mesmo expoente.
3. c) Uma potência de outra potência onde um dos expoentes envolvidos seja um número inteiro negativo.

Justifique em cada item a propriedade das potências que garante que a sua proposta dá exatamente $3^8$.

Temos um quadrado cujo lado mede $2^4$ centímetros.

1. Escreva o perímetro do quadrado na forma de uma única potência de base 2 (você não precisa calcular o número final, apenas a potência).

2. Escreva a área do quadrado na forma de uma única potência de base 2.

Calcule o valor da incógnita $x$ em cada uma das seguintes igualdades, utilizando as propriedades das potências para igualar os expoentes:

1. a) $5^x \cdot 5^3 = 5^9$
2. b) $(3^4)^x = 3^{12}$
3. c) $\frac{7^8}{7^x} = 7^2$

Simplifique a seguinte operação e expresse o resultado como uma única potência de base 2. Para isso, primeiro será necessário decompor em fatores primos as bases que não forem números primos:

$$ 16 \cdot 2^5 \cdot 4^3 $$

Simplifique a seguinte fração numérica decompondo primeiro as bases em fatores primos e aplicando depois as propriedades das potências:

$$ \frac{15^2 \cdot 4^2}{6^3 \cdot 10^2} $$

Um HD externo tem uma capacidade de armazenamento de 1 TB (Terabyte). Sabendo que as equivalências aproximadas no sistema binário são:

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

Se uma fotografia de alta qualidade ocupa $2^4$ MB, quantas fotografias cabem no total no HD? Expresse o resultado como uma potência de base 2.

Sem utilizar a calculadora para obter o valor final, ordene os seguintes números do menor para o maior. Para isso, busque um expoente comum ou uma base comum que permita compará-los mentalmente.

$$ A = 2^{45} \quad ; \quad B = 3^{36} \quad ; \quad C = 5^{18} $$

Ajuda: Tente expressar todos os expoentes como múltiplos de um mesmo número (busque o máximo divisor comum dos expoentes).