Função de proporcionalidade inversa

Um grupo de amigos quer alugar uma quadra de pádel que custa $20$ reais no total. O preço que cada um deve pagar depende do número de pessoas que forem jogar. Observe a tabela a seguir que relaciona o número de amigos ($x$) e o dinheiro que cada um paga ($y$):

Calcule o produto das duas grandezas ($x \cdot y$) para cada coluna e verifique que é sempre o mesmo. Como se chama esse valor constante nas funções de proporcionalidade inversa?

Indique qual das seguintes expressões algébricas corresponde a uma função de proporcionalidade inversa e explique o porquê:

1. a) $y = 4x$
2. b) $y = \frac{4}{x}$
3. c) $y = x + 4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$

Complete a tabela de valores a seguir sabendo que a função de proporcionalidade inversa tem como constante $k = 12$. A fórmula da função é $y = \frac{12}{x}$.

Encontre a constante de proporcionalidade inversa $k$ de uma função sabendo que seu gráfico passa pelo ponto $P(3, 10)$. Assim que tiver $k$, escreva a equação da função.

(Dica: lembre-se de que neste tipo de funções $k = x \cdot y$).

Verifique se o ponto $A(2, 9)$ pertence à função de proporcionalidade inversa $y = \frac{18}{x}$. Explique qual operação foi feita para saber isso.

Indique qual das seguintes situações pode ser modelada por uma função de proporcionalidade inversa e escreva sua equação nesse caso:

1. O número de ingressos para um show que podemos comprar com $100$ $\text{R\$}\ $ segundo o preço de cada ingresso.

2. A distância percorrida por um carro que circula a $90$ km/h constantes segundo o tempo decorrido.

3. O número de operários necessários para construir um muro segundo os dias que levam para terminá-lo (trabalhando ao mesmo ritmo).

4. O preço de um saco de laranjas que custa $1,50$ $\text{R\$}\ $ por quilo.

Dada a tabela de valores a seguir de uma função de proporcionalidade inversa, descubra os valores ocultos marcados com letras e responda às questões:

1. a) Calcule os valores de $a$, $b$, $c$ e $d$.
2. b) Indique se a função é crescente ou decrescente no primeiro quadrante.
3. c) Para qual valor de $x$ se obtém uma imagem de $y = 0,01$?

Uma empresa de entregas tem que distribuir $60$ pacotes. Se contratar mais entregadores, cada um terá que levar menos pacotes. A relação é dada pela função $y = \frac{60}{x}$, onde $x$ é o número de entregadores e $y$ é o número de pacotes por entregador.

Se a empresa decidir contratar $6$ entregadores, quantos pacotes cada um levará?

Observe o gráfico a seguir. Sem realizar cálculos, identifique se representa uma função linear (proporcionalidade direta) ou uma função de proporcionalidade inversa (hipérbole). Justifique sua resposta com base na forma da linha.

Queremos construir retângulos que tenham todos a mesma área: $24$ $cm^2$. A relação entre a base ($x$) e a altura ($y$) destes retângulos segue uma função de proporcionalidade inversa. Na figura você pode ver o gráfico desta relação e, como exemplo, um retângulo de base $6$ $cm$ e altura $4$ $cm$.

1. a) Escreva a equação que relaciona a altura em função da base.
2. b) Se a base medir $8$ $cm$, qual será a sua altura?

Queremos desenhar uma horta retangular no pátio da escola que tenha sempre uma área fixa de $24\ \text{m}^2$.

1. a) Escreva a função que expressa o comprimento da altura ($y$) em função do comprimento da base ($x$).

1. b) Indique se a função é crescente ou decrescente e justifique a sua resposta com base no contexto do problema.

1. c) Represente graficamente a função para valores da base entre $1$ e $12$ metros. Você pode se ajudar com uma tabela de valores.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dado o seguinte gráfico, que representa uma função de proporcionalidade inversa $y = \dfrac{k}{x}$:

1. a) A partir do ponto destacado $P(2, 12)$, calcule a constante $k$ da função.

1. b) Escreva a expressão algébrica da função.

1. c) Qual seria o valor de $y$ quando $x = 6$? E o valor de $x$ quando $y = 3$?

Dada a função de proporcionalidade inversa $y = \frac{18}{x}$:

1. a) Indique qual é o seu domínio (considerando que é uma função matemática pura, não aplicada a um contexto real).
2. b) Calcule as imagens para $x = -3$, $x = 1$, $x = 2$ e $x = 9$.
3. c) Determine os pontos do gráfico em que a ordenada é igual à abscissa ($y = x$).

Observe o gráfico a seguir que representa uma função de proporcionalidade inversa do tipo $y = \frac{k}{x}$. A partir da informação visual:

1. a) Encontre o valor da constante $k$ sabendo que a curva passa exatamente pelo ponto destacado em laranja.
2. b) Calcule o valor da ordenada $y$ quando a abscissa é $x = -2,5$.
3. c) O ponto $P(12, -0,5)$ pertence à função? Justifique sua resposta.

Um grupo de amigos quer alugar uma quadra de pádel durante o fim de semana. O preço total da reserva é fixo, portanto o custo por pessoa depende de quantos finalmente se inscreverem. Observe a tabela a seguir:

1. a) Verifique, justificando, se se trata de uma função de proporcionalidade inversa.
2. b) Encontre a constante de proporcionalidade inversa $k$ e explique o que ela representa neste contexto.
3. c) Escreva a equação da função que relaciona as duas grandezas.

Um patinete elétrico deve percorrer uma distância fixa de $12$ km para ir da escola até o ginásio poliesportivo municipal. O tempo que leva ($y$, em horas) depende da velocidade constante em que circula ($x$, em km/h).

1. a) Complete a tabela de valores que relaciona a velocidade e o tempo:

1. b) Escreva a equação da função.
2. c) Se a prefeitura limitar a velocidade dos patinetes a no máximo $25$ km/h, qual é o tempo mínimo (em minutos) necessário para realizar o percurso?

Um caminhão-tanque de $15.000$ litros de capacidade é esvaziado por meio de várias bombas de extração idênticas. Se forem utilizadas $2$ bombas, o caminhão-tanque se esvazia em $6$ horas.

1. a) Quanto tempo levaria se fossem utilizadas $4$ bombas?
2. b) E se quiséssemos esvaziá-lo em apenas $2$ horas, de quantas bombas precisaríamos?
3. c) Identifique as variáveis independente e dependente e escreva a fórmula da função que as relaciona.

Um grupo de estudantes do 2.º ano da ESO ganhou um prémio partilhado de $600$ $\text{R\$}\ $ num concurso de robótica. O prémio é repartido em partes iguais entre todos os membros da equipa.

1. a) Construa uma tabela que relacione o número de estudantes que formam a equipe ($x$) e a quantidade de dinheiro que cada um recebe ($y$).

1. b) Represente a função graficamente. É uma função contínua ou descontínua? Justifique sua resposta.

1. c) Se cada estudante quiser receber pelo menos $75$ $\text{R\$}\ $, qual é o número máximo de alunos que podem formar a equipe?

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um servidor de videogames tem uma capacidade de transferência de dados fixa para baixar uma atualização de $1,2$ GB ($1228,8$ MB). A velocidade de download $v$ (em MB/s) e o tempo necessário $t$ (em segundos) são grandezas inversamente proporcionais.

1. a) Escreva a função que relaciona o tempo $t$ em função da velocidade $v$.
2. b) Se um usuário tem uma conexão limitada a $4$ MB/s, quantos minutos levará para baixar a atualização?
3. c) Se quisermos que o download não demore mais de $2$ minutos, qual deve ser a velocidade mínima da nossa conexão?

Em uma reserva de animais, foi comprada uma partida de ração que dura exatamente $24$ dias para alimentar os $80$ lobos do recinto. Devido a um resgate, o número de lobos vai mudar.

1. a) Determine a constante de proporcionalidade inversa $k$ e explique o que ela representa neste contexto.
2. b) Escreva a função que relaciona o número de dias $d$ que a ração vai durar de acordo com o número de lobos $n$.
3. c) Se após o resgate a ração dura apenas $15$ dias, quantos lobos novos chegaram à reserva?

Um grupo de amigos quer alugar uma casa de campo para o feriadão de dezembro, que custa $720$ reais no total. O preço por pessoa depende do número de amigos que, no fim das contas, forem à viagem.

1. a) Escreva a equação da função.
2. b) Se inicialmente eram $6$ amigos, mas no fim se inscrevem $3$ pessoas a mais, quanto dinheiro cada um dos $6$ amigos iniciais economiza?
3. c) Se o orçamento máximo de cada amigo é de $50$ reais, qual é o número mínimo de pessoas necessárias para que possam alugar a casa?

Considere um retângulo cuja área é constante e igual a $48$ cm². A base do retângulo é $x$ e a altura é $y$.

1. a) Expresse a altura em função da base. Que tipo de função é?

1. b) Se aumentarmos a base em $4$ cm, a nova altura é de $4$ cm. Qual era o comprimento da base original?

1. c) Represente graficamente a situação para valores da base entre $2$ e $16$ cm.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Duas grandezas $A$ e $B$ são inversamente proporcionais. Sabe-se que, quando $A$ aumenta $5$ unidades, o valor de $B$ se reduz à metade do valor original (que era $B = 20$).

1. a) Calcule o valor inicial da grandeza $A$.
2. b) Determine a constante de proporcionalidade inversa $k$.
3. c) Escreva a expressão analítica da função que relaciona ambas as grandezas.

Uma engrenagem é formada por duas rodas dentadas, $R_1$ e $R_2$. O número de dentes e a velocidade de rotação (em rpm) são grandezas inversamente proporcionais. A roda $R_1$ tem $40$ dentes e gira a $120$ rpm.

1. a) Se a roda $R_2$ gira a $300$ rpm, quantos dentes ela tem?
2. b) Se quisermos que a segunda roda gire o mais devagar possível, mas deve ter no máximo $80$ dentes, qual será sua velocidade de rotação mínima?
3. c) Encontre a função que dá a velocidade de rotação $y$ em função do número de dentes $x$.