Potências de números racionais

Calcule o valor numérico das seguintes potências. Lembre-se de elevar tanto o numerador quanto o denominador ao expoente indicado. Expresse o resultado como uma fração irredutível.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

Considere um azulejo quadrado pequeno para um mosaico. O lado do azulejo mede $\frac{2}{5}$ de metro. Calcule a área ocupada por esse azulejo expressando o resultado como uma fração.

Utilize o seguinte esquema visual como apoio:

Às vezes, confunde-se o tamanho das frações ao elevá-las a uma potência. Observe o gráfico a seguir, que representa a unidade, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ e $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Com base na lógica anterior, ordene as seguintes potências do menor para o maior:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

Em matemática, às vezes é necessário alterar o sinal do expoente para poder efetuar as operações. Transforme as seguintes potências para que tenham expoente positivo, invertendo a base quando necessário. Não é necessário calcular o resultado final, apenas expresse a potência transformada.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Encontre o número que falta em cada espaço para que as igualdades sejam verdadeiras. Escreva em seu caderno a igualdade completa.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^{\square} = \frac{8}{27}$

2. $\left( \frac{5}{2} \right)^{\square} = 1$

3. $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = \square$

4. $\left( \frac{3}{7} \right)^3 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{\square} = \left( \frac{3}{7} \right)^5$

Calcule o valor das seguintes potências transformando-as primeiro em potências de expoente positivo. Lembre-se de que o resultado deve ser uma fração irredutível.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Determine o sinal (positivo ou negativo) do resultado das seguintes potências sem necessidade de realizar o cálculo completo. Justifique sua resposta observando se a base é negativa e se o expoente é par ou ímpar.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

O Darío escreve no quadro a seguinte resolução de um exercício proposto pela sua professora:

$$\left(-\frac{3}{5}\right)^{-2} = -\left(\frac{5}{3}\right)^2 = -\frac{25}{9}$$

Ao defender a sua resposta, argumenta: «O sinal de menos do expoente transforma toda a potência em um número negativo, e depois só preciso inverter a fração e elevar ao quadrado».

1. a) Identifique os dois erros conceituais cometidos pelo Darío. Explique com clareza a diferença entre o que produz o sinal de menos da base e o que produz o sinal de menos do expoente.
2. b) Corrija o exercício calculando o valor exato como fração irredutível. Por último, deduza qual seria o sinal do resultado se o expoente inicial tivesse sido $-3$ em vez de $-2$.

Sem realizar operações escritas detalhadas num primeiro momento, observe com atenção estas três potências:

$$A = \left(\frac{2}{3}\right)^4, \quad B = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}, \quad C = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$$

1. a) Faça uma estimativa fundamentada prévia: determine quais destas potências darão um resultado menor do que $1$ e quais darão um resultado maior do que $1$. Além disso, antecipe se há duas delas que vão dar exatamente o mesmo valor final. Justifique a sua previsão a partir das propriedades das frações e dos expoentes negativos.
2. b) Calcule o valor numérico exato de $A$, $B$ e $C$ na forma de fração irredutível e compare os resultados com a sua estimativa inicial para verificar se o seu raciocínio estava correto.

Utilize as propriedades das potências para simplificar as seguintes expressões. O resultado deve ficar expresso como uma única potência (não é necessário calcular o valor final).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

Calcule as seguintes potências que têm o mesmo expoente, mas bases diferentes. Lembre-se de que é possível multiplicar as bases primeiro e elevar o resultado ao expoente comum. Expresse o resultado como uma fração simplificada.

1. $\left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 6^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4 : \left( \frac{1}{2} \right)^4$

Utilize as propriedades das potências para simplificar as seguintes expressões e escreva o resultado como uma única potência de base racional. Não é necessário calcular o valor final, apenas a potência simplificada.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

Temos uma bola de borracha especial. Cada vez que rebota no chão, atinge uma altura que é $\frac{2}{3}$ da altura anterior.

Se deixarmos cair a bola de uma altura de 2 metros:

1. a) Expresse por meio de uma potência a altura que ela atinge após o quarto rebote.
2. b) Essa altura é maior ou menor que 0,3 metros? Justifique sua resposta usando o cálculo da potência.

Calcule o valor exato da seguinte operação combinada com frações e expoentes inteiros. Lembre-se de respeitar a ordem das operações e trabalhar com frações irredutíveis.

$$ \left( \frac{3}{2} - 2 \right)^{-2} \cdot \left[ \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right] - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$