Conceito de função

Observe o seguinte diagrama de correspondência (Diagrama de Venn) que relaciona um grupo de amigos com a sua cor favorita de camiseta. Esta relação representa uma função? Explique o porquê.

Indique quais das seguintes relações não são funções e explique o motivo com base na definição de função:

1. A cada pessoa da sua turma atribuímos a sua data de nascimento.

2. A cada número natural atribuímos os seus divisores.

3. A cada número real atribuímos a sua raiz quadrada positiva.

4. A cada mãe atribuímos o nome dos seus filhos.

5. A cada produto de uma loja atribuímos o seu preço em reais.

Define-se uma relação entre dois conjuntos de números da seguinte maneira: "A cada número inteiro $x$ corresponde a sua raiz quadrada".

1. a) Esta relação é uma função se o conjunto inicial (domínio) forem todos os números inteiros $\mathbb{Z}$? Justifique sua resposta analisando o que acontece com os números negativos.
2. b) E se restringirmos o domínio aos números $\{0, 1, 4, 9\}$? Seria uma função se cada número puder ter dois valores associados (positivo e negativo)? Justifique sua resposta com base na unicidade da imagem.

Para alugar um patinete elétrico, uma empresa cobra $1,50$ reais pelo desbloqueio inicial e $0,20$ reais por minuto de uso. Queremos analisar a relação entre o tempo de uso e o custo total do aluguel.

Identifique as variáveis desta relação:

• Variável independente ($x$): ________

• Variável dependente ($y$): ________

Complete a seguinte tabela de valores sabendo que a função associa a cada número natural o seu triplo menos uma unidade. Ou seja, a expressão algébrica é $y = 3x - 1$.

Ana está verificando a bateria do seu celular durante a manhã. Ao acordar às $08:00$, tinha $100\%$. A cada hora que passa, a bateria diminui $8\%$.

1. a) Escreva a expressão algébrica da função que relaciona as horas decorridas ($x$) com a porcentagem de bateria restante ($y$).
2. b) Que porcentagem de bateria Ana terá às $12:00$ da manhã (após $4$ horas de uso)?

Dada a função $f(x) = x^2 - 3$, calcule o valor da variável dependente para os seguintes valores de $x$:

1. a) Se $x = 0 \rightarrow y = $
2. b) Se $x = 2 \rightarrow y = $
3. c) Se $x = 5 \rightarrow y = $
4. d) Se $x = 10 \rightarrow y = $

Um patinete elétrico tem uma bateria que se descarrega de forma constante. Ao sair de casa, a bateria está em $100\%$. A cada quilômetro percorrido, a bateria diminui $5\%$.

1. a) Identifique a variável independente e a variável dependente, indicando em que unidade cada uma é medida.
2. b) Escreva a expressão algébrica (fórmula) da função que relaciona os quilômetros percorridos ($x$) com a porcentagem de bateria restante ($y$).
3. c) É possível que o valor de $x$ seja $25$? Justifique se esse valor pertence ao domínio da função neste contexto real.

Complete a seguinte tabela de valores para a função $y = x^2 - 3$:

Depois de completá-la, responda:

1. a) Existem valores de $x$ diferentes que tenham a mesma imagem ($y$)? Isso impede que seja uma função?
2. b) Represente os pontos obtidos em um eixo de coordenadas. Que forma parece ter o gráfico?

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dada a seguinte tabela de valores coletados durante um experimento de física, suspeita-se que um dos dados esteja incorreto e viole a condição de função.

1. a) Identifique qual é o dado que impede que esta tabela represente uma função. Justifique a sua escolha.
2. b) Se eliminarmos o dado incorreto, a variável independente seria discreta ou contínua?
3. c) Escreva uma possível equação $y = f(x)$ que relacione a posição com o tempo se a velocidade fosse constante e igual a $12\ m/s$.

Em um jogo eletrônico de estratégia, a posição dos recursos é indicada por meio de coordenadas em um plano cartesiano. Observe o mapa e escreva as coordenadas dos três baús do tesouro que aparecem representados:

Escreva as coordenadas de cada baú na forma $(x, y)$.

Uma das regras de ouro para saber se um gráfico representa uma função é verificar que, para cada valor da variável independente $x$, existe um único valor da variável dependente $y$. Indique qual dos seguintes gráficos NÃO é uma função e justifique brevemente a sua resposta.

Observe atentamente os três gráficos seguintes representados no plano cartesiano. Use o critério da reta vertical (imagine retas verticais que percorrem cada gráfico e conte em quantos pontos o cortam) para identificar qual ou quais deles representam uma função e justifique detalhadamente a sua resposta em cada caso.

Analise detidamente a representação gráfica a seguir que mostra a relação entre duas grandezas. Determine, justificando sua resposta com base na definição de função, se esse gráfico representa uma função ou uma relação não funcional. Indique também qual seria o valor (ou os valores) da variável dependente $y$ quando a variável independente $x$ for igual a $2$.

Indique se as seguintes situações representam uma função contínua ou uma função discreta:

1. a) O número de pessoas que entram em um cinema de acordo com o filme exibido.
2. b) A altura de um balão de ar quente à medida que passam os minutos desde a sua decolagem.
3. c) O preço de um saco de laranjas segundo o seu peso em quilogramas.
4. d) O número de seguidores no Instagram de um influenciador dia após dia.

O gráfico a seguir mostra a distância a que se encontra um drone de entregas em relação à sua base logística durante um trajeto de ida e volta de 10 minutos.

A partir do gráfico, indique:

1. a) O domínio e o conjunto imagem da função.
2. b) Durante quanto tempo o drone ficou parado entregando o pacote? A que distância da base ele se encontrava nesse momento?
3. c) Em que intervalo de tempo o drone esteve voltando para a base?

Estamos enchendo um reservatório de água em forma de cilindro por meio de uma torneira que despeja uma vazão constante de $4$ litros por minuto. No início, o reservatório está vazio e tem uma capacidade total de $20$ litros.

1. a) Indique se a função que relaciona o tempo decorrido com o volume de água é contínua ou discreta. Explique por quê.

1. b) Qual é o domínio desta função, considerando que a torneira é fechada quando o reservatório fica cheio?

1. c) Desenhe um esboço do gráfico que represente esta situação, com o tempo $t$ (em minutos) no eixo horizontal e o volume $V$ (em litros) no eixo vertical.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Dada a função definida pelo seguinte gráfico que representa o custo de uma assinatura mensal de uma plataforma de música em função dos meses contratados:

1. a) É correto unir os pontos com uma linha contínua? Justifique se a variável independente é discreta ou contínua.
2. b) Se o ponto $(1, 10)$ pertence à função, o que significa esse dado no contexto do problema?
3. c) Determine a imagem de $x=3$ observando a tendência dos pontos.

Uma empresa de entregas com drones cobra uma tarifa-base de $\text{R\$}\ 5$ pelo serviço. Além disso, o custo por distância se divide em trechos: os primeiros $2\ km$ são gratuitos, mas, a partir daí, cada quilômetro ou fração de quilômetro adicional custa $\text{R\$}\ 2$ (ou seja, se percorrer $2,1\ km$, cobra-se como se fossem $3\ km$).

1. a) Explique por que essa situação representa uma função descontínua.
2. b) Identifique a variável independente e a dependente.
3. c) Represente graficamente o custo do serviço para distâncias entre $0$ e $5\ km$.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um atleta treina em um caminho reto. O gráfico a seguir mostra a distância ao ponto de partida em função do tempo.

1. a) Explique o que está acontecendo entre o minuto $4$ e o $6$.
2. b) A que velocidade máxima o atleta correu e em qual intervalo isso aconteceu?
3. c) Explique o que está acontecendo entre $t=6$ e $t=8$.
4. d) Podemos afirmar que é uma função contínua? Por quê?

Considere a função que associa a cada número natural de dois algarismos a soma dos seus algarismos.

Por exemplo: $f(14) = 1 + 4 = 5$.

1. a) Qual é o domínio desta função?
2. b) Qual é a imagem da função? (Leve em conta o menor e o maior número possíveis).
3. c) É uma função crescente? Justifique a resposta comparando, por exemplo, $f(19)$ e $f(20)$.

Desenhe em eixos coordenados o gráfico de uma função que cumpra simultaneamente as quatro condições a seguir:

1. O seu domínio seja o intervalo $[-4, 6]$.

2. Tenha um ponto de descontinuidade (um salto) em $x = 2$.

3. Seja decrescente no intervalo $[-4, 0]$ e crescente no intervalo $[3, 6]$.

4. Tenha um máximo relativo no ponto $(-4, 5)$ e um mínimo absoluto em $(3, 1)$.

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.