Números racionais: conceito

Em um jantar com amigos, vocês pediram uma pizza familiar dividida em $8$ fatias iguais. Se você comeu $3$ fatias, identifique os termos da fração que representa a parte de pizza consumida.

1. a) Qual é o numerador e o que ele indica neste contexto?
2. b) Qual é o denominador e o que ele indica neste contexto?

Observe as seguintes figuras geométricas e escreva a fração que representa a parte colorida em cada caso. Depois, indique qual delas é uma fração própria e qual é uma fração igual à unidade.

Classifique as seguintes frações em próprias ou impróprias. Lembre-se de que para diferenciá-las você deve observar a relação entre o numerador e o denominador:

A bateria do seu celular tem uma capacidade total de $4500$ mAh. Se na tela aparece que resta exatamente $\frac{2}{9}$ da carga total, quantos mAh de bateria você tem disponíveis neste momento?

Classifique as seguintes expressões indicando se representam um número natural, um número inteiro (mas não natural) ou um número racional não inteiro:

1. a) $\frac{15}{3}$
2. b) $-\frac{12}{4}$
3. c) $\frac{7}{5}$
4. d) $\frac{0}{8}$
5. e) $-\frac{1}{2}$
6. f) $\frac{24}{6}$

Escreva o oposto e o inverso de cada uma das seguintes frações. Preste atenção ao sinal:

1. a) $\frac{2}{5}$
2. b) $-\frac{3}{7}$
3. c) $4$ (lembre-se de que um número inteiro também pode ser escrito como fração)

Em um teste de Matemática sobre números racionais, o Marcos tinha que responder a uma pergunta sobre o número $-\frac{3}{5}$. Na folha dele, escreveu:

«O inverso de $-\frac{3}{5}$ é $\frac{5}{3}$, porque ao inverter uma fração o seu sinal muda sempre e passa a ser positivo».

1. a) Explique quais dois conceitos teóricos distintos o Marcos está confundindo e por que a afirmação matemática dele é incorreta.
2. b) Escreva com clareza qual é o simétrico e qual é o inverso de $-\frac{3}{5}$, justificando cada um a partir da sua definição.

Depois de um treino de atletismo, você bebeu $\frac{7}{3}$ de litro de água. Expresse esta quantidade como um número misto para saber quantos litros completos e que fração do seguinte você consumiu.

Na figura, cada litro está dividido em 3 partes iguais (terços) e é mostrado sobre uma reta numérica. Você pode usá-la como apoio.

Simplifique as seguintes frações até obter a fração irredutível:

1. a) $\frac{15}{20}$
2. b) $\frac{24}{36}$
3. c) $\frac{10}{100}$

Para reduzir a fração $\frac{420}{1260}$ à sua forma irredutível, dois colegas de turma propõem estratégias distintas:

• A Sofia propõe: «Vou dividindo sucessivamente o numerador e o denominador aplicando critérios de divisibilidade simples (por 2, por 3, por 5...) até não conseguir mais».

• O Matheus propõe: «Prefiro decompor ambos os números em fatores primos, calcular o $\text{m.d.c.}(420, 1260)$ e fazer uma única divisão».

1. a) Aplique ambos os métodos passo a passo no seu caderno para obter a fração irredutível.
2. b) Avalie criticamente os dois procedimentos: que vantagens e desvantagens cada método tem neste caso com números de três e quatro algarismos? Por que calcular o $\text{m.d.c.}$ garante matematicamente que a fração obtida já não pode ser simplificada mais?

Em uma etapa de montanha da Vuelta Ciclista a España, a organização coloca uma faixa especial de sprint no ponto quilométrico que corresponde exatamente aos $\frac{47}{6}$ de uma subida de referência.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo exato, estime de maneira fundamentada entre quais dois quilômetros inteiros consecutivos se encontra a referida faixa e de qual dos dois você acha que ela estará mais próxima.
2. b) Converta a fração $\frac{47}{6}$ em um número misto (inteiro mais fração própria) e verifique se a sua estimativa estava correta. Explique como a fração própria restante confirma de qual número inteiro o ponto quilométrico está mais próximo.

Para preparar uma mistura de tinta lilás, um artista utiliza $\frac{4}{10}$ de litro de cor azul para cada litro de tinta branca. Se o artista quer manter exatamente a mesma tonalidade, mas precisa fabricar uma quantidade maior:

1. a) Encontre o valor de $x$ na seguinte igualdade para que as frações sejam equivalentes: $\frac{4}{10} = \frac{x}{25}$.
2. b) Escreva três frações equivalentes a $\frac{4}{10}$ por multiplicação do numerador e do denominador pelo mesmo número e uma por simplificação.

Encontre o termo desconhecido $x$ em cada uma das seguintes igualdades para que as frações sejam equivalentes:

1. a) $\frac{x}{12} = \frac{20}{48}$

1. b) $\frac{5}{9} = \frac{x}{45}$

1. c) $\frac{14}{x} = \frac{2}{7}$

1. d) $\frac{27}{81} = \frac{1}{x}$

Durante uma discussão na aula, a Carla apresenta a seguinte afirmação sobre simplificação e equivalência de frações:

«Se eu tiver qualquer fração própria e irredutível $\frac{a}{b}$ (com $a < b$) e somar um mesmo número natural $k$ ($k > 0$) tanto ao numerador quanto ao denominador, obtenho uma fração equivalente $\frac{a+k}{b+k}$, porque acrescentei exatamente a mesma quantidade a ambas as partes».

1. a) Apresente um contraexemplo numérico simples para demonstrar que a nova fração obtida pela Carla não é equivalente à original.
2. b) Usando os valores do seu contraexemplo, determine se a nova fração é maior ou menor do que a original.
3. c) Explique por que o raciocínio da Carla é um erro conceitual: justifique que tipo de relação (aditiva ou multiplicativa) define as frações equivalentes e fundamente por que, ao somar $k$ a ambos os termos de uma fração própria, o valor resultante se aproxima de 1 em vez de permanecer constante.

Compare os seguintes pares de números racionais utilizando os sinais $<$ (menor que), $>$ (maior que) ou $=$ (igual a):

1. a) $\dfrac{4}{7} \square \dfrac{6}{7}$

1. b) $\dfrac{3}{2} \square \dfrac{3}{5}$

1. c) $\dfrac{1}{3} \square \dfrac{4}{12}$

Ordene do menor para o maior os seguintes números racionais. Para isso, reduza-os primeiro ao mesmo denominador utilizando o mínimo múltiplo comum:

Em um experimento de laboratório, registra-se a variação da temperatura de um fluido em relação à temperatura ambiente. Obtêm-se os seguintes valores em graus Celsius:

1. a) Represente de forma aproximada esses números em uma reta numérica.
2. b) Ordene os valores do menor para o maior (do mais frio para o mais quente).
3. c) Indique qual desses valores tem o maior valor absoluto.

Em uma estação meteorológica de alta montanha, foram registradas as seguintes variações de temperatura em relação à média sazonal, em graus Celsius:

• Segunda-feira: $-\frac{9}{4}\ ^\circ\text{C}$

• Terça-feira: $-2,1\overset{\frown}{6}\ ^\circ\text{C}$ (o 6 se repete: $-2,1666\ldots$)

• Quarta-feira: $-|-2,2|\ ^\circ\text{C}$

• Quinta-feira: $-\frac{22}{10}\ ^\circ\text{C}$

Represente estes quatro valores em uma reta numérica como a da figura (copie-a no seu caderno) e ordene-os de forma crescente (do menor para o maior) utilizando os símbolos $<$ e $=$ quando for necessário. Justifique a sua resposta passando todos os números para a forma de fração irredutível.

Em um centro de dados, o painel de armazenamento está dividido em módulos idênticos. Observe a seguinte representação gráfica onde os quadrados coloridos indicam o espaço ocupado pelo banco de dados de uma rede social.

1. a) Escreva a fração que representa o espaço ocupado e a fração que representa o espaço livre.
2. b) Trata-se de uma fração própria ou imprópria? Justifique sua resposta comparando o numerador e o denominador.

Em um campeonato escolar de basquete, a equipe dos "Tigres" acertou $48$ cestas de $72$ tentativas, enquanto os "Falcões" acertaram $36$ cestas de $54$ tentativas.

1. a) Escreva a fração de acertos de cada equipe.
2. b) Reduza ambas as frações à sua forma irredutível utilizando o método do Máximo Divisor Comum (MDC).
3. c) Diante dos resultados, qual das duas equipes tem uma melhor proporção de acertos?

Três amigos estão completando um álbum de figurinhas de futebol. Álex colou $\frac{1}{3}$ do total de figurinhas, Beatriz colou $\frac{2}{5}$ do total e o restante das figurinhas está com Wei.

1. a) Que fração do álbum Wei completou?
2. b) Se o álbum tem um total de $300$ figurinhas, quantas cada um colou?
3. c) Qual dos três amigos colou mais figurinhas?

Um estudo sobre sustentabilidade urbana em dois municípios espanhóis analisa a utilização da bicicleta. No município A, 180 em cada 450 pessoas entrevistadas utilizam a bicicleta diariamente. No município B, 252 em cada 588 pessoas entrevistadas afirmam utilizá-la diariamente.

1. a) Modele a proporção de ciclistas diários de cada município por meio de uma fração irredutível.
2. b) Sem calcular a expressão decimal das frações, compare as duas proporções a partir de suas formas irredutíveis e indique, justificando, em qual município há um maior hábito de utilização da bicicleta.
3. c) Justifique a quais conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou apenas $\mathbb{Q}$) pertencem os valores dessas proporções e o que teria de acontecer, teoricamente, na pesquisa para que a fração resultante pertencesse ao conjunto $\mathbb{N}$.

Observe a seguinte figura geométrica que representa um painel solar quadrado de lado $L$. O painel está dividido em diferentes seções para maximizar a sua eficiência.

Calcule que fração da área total do quadrado representa a região sombreada A. Se a área total é de $1$ metro quadrado, expresse a área da região B como uma fração irredutível.

Projete um mosaico quadrado para uma piscina. O mosaico se divide em três zonas de cores diferentes:

• A Zona A ocupa $\frac{2}{5}$ do total.

• A Zona B ocupa $\frac{3}{7}$ do que resta após delimitar a Zona A.

• A Zona C ocupa o resto da superfície.

Se a superfície total da piscina é de $140 \text{ m}^2$, calcule que fração do total representa a Zona C e quantos metros quadrados correspondem a ela. Expresse o resultado da superfície da Zona C como um número decimal exato.

Em uma escavação arqueológica encontrou-se um papiro que descreve uma partilha de terras utilizando frações unitárias (aquelas cujo numerador é 1). O escriba anotou que o lote de um agricultor é a soma de três frações unitárias distintas e que o total soma $\frac{13}{12}$ da unidade básica de medida.

Se sabemos que o menor denominador dessas frações é $2$, encontre os outros dois denominadores para que a igualdade seja correta.

Dois amigos, Amina e Diego, estão comparando as marcas deles em uma corrida de obstáculos. Amina completou $\frac{5}{7}$ do percurso e Diego $\frac{6}{7}$. Um terceiro corredor, Mateo, está em algum ponto entre ambos (não necessariamente no ponto médio).

Encontre uma fração que represente a posição de Mateo de modo que o seu denominador seja um número primo maior que $10$. Justifique se existe mais de uma possibilidade.

Analise a seguinte propriedade das frações: "Se temos uma fração própria positiva $\frac{n}{d}$ (onde $n < d$) e somamos o mesmo número natural $k$ tanto ao numerador como ao denominador, obtemos uma nova fração $\frac{n+k}{d+k}$".

Demonstre, utilizando como exemplo a fração $\frac{2}{5}$ e somando $k=3$, se a nova fração é maior, menor ou igual à original. Essa conclusão se manteria se a fração original fosse imprópria ($\frac{5}{2}$)?

Um designer gráfico está criando um logotipo baseado em um hexágono regular. Ele dividiu o hexágono unindo os seus vértices opostos para formar seis triângulos equiláteros. Posteriormente, dividiu um desses triângulos em quatro triângulos menores unindo os pontos médios dos seus lados.

Se sombrearmos um desses triângulos minúsculos (como mostrado na cor laranja), que fração da área total do hexágono ele representa? Expresse o resultado como uma fração irredutível.

Procure uma fração irredutível $\frac{a}{b}$ que cumpra as seguintes três condições simultaneamente:

1. É maior do que $\frac{3}{5}$ mas menor do que $\frac{2}{3}$.

2. A soma do seu numerador e do seu denominador é um número múltiplo de $13$.

3. O denominador $b$ é um número par menor do que $20$.

Justifique os passos seguidos para encontrá-la.

Encontre uma fração positiva e irredutível $\frac{a}{b}$ que satisfaça simultaneamente estas três condições:

1. A sua expressão como número misto tem como parte inteira o número 3 (ou seja, $\frac{a}{b} = 3 + \frac{r}{b}$, com $0 < r < b$).

2. O inverso da fração própria restante $\frac{r}{b}$ é um número inteiro exato.

3. O produto do numerador pelo denominador, $a \cdot b$, é um número estritamente maior do que 50 e menor do que 80.

Deduza passo a passo que valor ou valores podem ter $a$ e $b$, fundamentando por que razão a condição de a fração inicial ser irredutível obriga a que $r = 1$ e descartando com argumentos matemáticos as opções que não cumpram todas as restrições.