Números combinatórios

Calcule o valor numérico dos seguintes números combinatórios aplicando sua fórmula de definição:

1. a) $\binom{9}{3}$
2. b) $\binom{15}{0}$
3. c) $\binom{8}{8}$
4. d) $\binom{12}{10}$

Durante uma campanha de voluntariado ambiental no Parque Nacional do Pantanal (Mato Grosso do Sul), devem-se selecionar 8 pessoas de um grupo de 10 aspirantes para formar uma equipe de controle de trilhas. O Rafael, um dos participantes, tenta descobrir quantas equipes distintas podem ser formadas e escreve no quadro:

1. a) Localize e explique o erro conceitual que o Rafael cometeu ao aplicar a fórmula. Que tipo de agrupamento combinatório ele calculou na realidade ao não incluir o termo $(10-8)!$ no denominador?
2. b) Corrija o cálculo aplicando a propriedade de simetria $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ para justificar por que é muito mais direto calcular $\binom{10}{2}$ e obtenha o número real de equipes possíveis.

Em um laboratório de biotecnologia dispõe-se de 12 cepas bacterianas diferentes. Para realizar um ensaio de resistência, deve-se selecionar uma amostra composta exatamente por 5 cepas. Expresse o número total de amostras possíveis utilizando a notação de números combinatórios e calcule seu valor. Quantas destas amostras possíveis incluem uma cepa específica que já se sabe que é resistente aos antibióticos?

Utilizando a propriedade de simetria dos números combinatórios, determine o valor numérico de $x$ (sabendo que é diferente de 5) que satisfaz a seguinte igualdade:

$\binom{17}{5} = \binom{17}{x}$

Resolva a seguinte equação, determinando o valor do número natural $x$:

$\binom{x}{2} = 28$

Determine todos os valores naturais de $x$ que satisfazem a seguinte equação combinatória:

$\binom{20}{2x} = \binom{20}{x+2}$

Encontre o valor exato da seguinte soma sem a necessidade de calcular cada número combinatório de forma individual, aplicando as propriedades conhecidas:

$\binom{6}{0} + \binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6}$

Expresse a soma $\binom{11}{4} + \binom{11}{5}$ como um único número combinatório utilizando a relação de recorrência (fórmula de Pascal) e, em seguida, calcule seu valor numérico.

Uma pizzaria oferece uma base padrão de queijo e tomate à qual se podem adicionar até 8 ingredientes extras diferentes. Um cliente pode escolher desde não adicionar nenhum ingrediente extra até adicionar todos eles. Expresse o número total de combinações de pizzas diferentes que podem ser pedidas como uma soma de números binomiais e demonstre numericamente que esse valor coincide com $2^8$.

Demonstre algebricamente, partindo da definição fatorial $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, a validade da relação de recorrência do triângulo de Pascal:

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

Desenvolva a expressão matemática $(2a + b)^4$ aplicando a fórmula do binômio de Newton.

Escreva os elementos que compõem a sexta linha do triângulo de Pascal (ou de Tartaglia), lembrando que a primeira linha corresponde a $n=0$, e utilize-a para desenvolver o binômio $(x - 2)^5$.

Determine apenas o coeficiente numérico que acompanha o termo em $x^3$ no desenvolvimento do binômio $(x + 4)^5$.

Calcule e simplifique ao máximo o quarto termo do desenvolvimento do binômio $(3x - \frac{y}{2})^7$, ordenando os termos segundo as potências decrescentes de $x$.

Desenvolva completamente e simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica utilizando o binômio de Newton:

$(x^2 - \frac{2}{x})^4$

Encontre o termo independente (ou seja, o termo que não depende da variável $x$) no desenvolvimento do binômio $(2x^2 - \frac{1}{x})^9$.

Em um dispositivo de Galton utilizado para demonstrações de probabilidade, uma bola cai através de 6 níveis de pregos. Em cada nível, a bola se choca contra um prego e pode rebater para a esquerda ou para a direita. Expresse por meio de um número combinatório a quantidade de caminhos distintos que levam ao terceiro compartimento a partir da esquerda (considerando o compartimento situado mais à esquerda como o número zero) e calcule esse valor.

Um entregador de bicicleta distribui encomendas no bairro de l'Eixample, em Barcelona, cujas ruas formam uma grade regular. O ciclista deve sair da central de distribuição (ponto $A$) e chegar ao endereço de entrega (ponto $B$), situado a 4 quarteirões para leste e a 3 quarteirões para norte de $A$. Para economizar bateria, ele se desloca apenas para leste ($E$) ou para norte ($N$) em trajetos de comprimento mínimo (7 segmentos de rua no total).

1. a) Represente por meio de um número combinatório da forma $\binom{m+p}{m}$ o total de trajetos mínimos diferentes que o entregador pode seguir e calcule o seu valor numérico.
2. b) Devido a obras de reforma de uma ciclovia, o cruzamento $C$, situado a 2 quarteirões a leste e a 1 quarteirão ao norte de $A$, está totalmente interditado. Calcule quantos trajetos mínimos vão de $A$ até $C$ e quantos vão de $C$ até o destino final $B$.
3. c) Utilizando os resultados anteriores, deduza quantos trajetos mínimos sobram para o ciclista ir de $A$ até $B$ sem passar pelo ponto $C$ em obras. Explique o raciocínio que permite resolver esta questão por meio de uma subtração.

Um robô de um armazém logístico se desloca por uma rede de corredores em forma de malha quadriculada do ponto de origem $A(0,0)$ até o ponto de destino $B(6,4)$, movendo-se apenas um passo para a direita ou um passo para cima em cada iteração. Devido a tarefas de manutenção, o robô não pode passar pelo nó $C(3,2)$. Expresse o número de trajetórias válidas utilizando números combinatórios e calcule o resultado final.

Uma empresa de tecnologia precisa formar uma equipe de cibersegurança de 5 membros, selecionados completamente ao acaso entre uma equipe de 8 programadores e 6 analistas de sistemas. Calcule a probabilidade de a equipe resultante ser formada exatamente por 3 programadores e 2 analistas. Expresse tanto os casos favoráveis quanto os casos possíveis mediante números combinatórios antes de dar a fração irredutível resultante.