Exercícios: Extração de fatores

Para extrair fatores de uma raiz, agrupamos os fatores repetidos do radicando segundo indique o índice: em uma raiz quadrada (índice $2$), cada grupo de $2$ fatores iguais sai como um só; em uma raiz cúbica (índice $3$), sai cada grupo de $3$.

Observe o seguinte esquema que representa $\sqrt[3]{x^4}$. Como $x^4 = x^3 \cdot x$, o grupo de $3$ sai como um só $x$ e o fator que sobra fica dentro.

Seguindo essa lógica, extraia todos os fatores possíveis das seguintes raízes:

1. a) $\sqrt{x^3}$
2. b) $\sqrt{a^5}$
3. c) $\sqrt[3]{m^4}$
4. d) $\sqrt[4]{y^5}$

Para extrair fatores de um radical, dividimos o expoente do radicando pelo índice da raiz.

• O quociente é o expoente do fator que sai.

• O resto é o expoente do fator que fica dentro.

Calcule a extração de fatores destas potências decompondo mentalmente o expoente ou realizando a divisão:

1. a) $\sqrt{5^7}$ (Divida 7 por 2)
2. b) $\sqrt[3]{2^8}$ (Divida 8 por 3)
3. c) $\sqrt[4]{3^9}$ (Divida 9 por 4)

Muitas vezes encontramos números que não estão fatorados. O primeiro passo sempre deve ser decompor o número em fatores primos.

Por exemplo, para simplificar $\sqrt{12}$, primeiro pensamos que $12 = 2^2 \cdot 3$. Como o $2$ está elevado ao quadrado, pode "escapar" da raiz quadrada.

Decomponha em fatores primos e extraia tudo o que puder destas raízes quadradas:

1. a) $\sqrt{18}$
2. b) $\sqrt{50}$
3. c) $\sqrt{20}$
4. d) $\sqrt{75}$

Temos um terreno quadrado. Sabemos que sua área é de $72 \text{ m}^2$, mas queremos saber quanto mede exatamente seu lado expresso da forma mais simples possível (extraindo fatores).

Lembre-se de que se a área de um quadrado é $l^2$, então o lado é $l = \sqrt{\text{Área}}$.

1. Fatore o número 72.

2. Escreva $\sqrt{72}$ usando esses fatores.

3. Extraia os números que estão elevados ao quadrado.

Às vezes temos números e letras misturados dentro de uma raiz. O procedimento é o mesmo: trabalhamos com o número por um lado e com cada letra por outro.

Simplifique os seguintes radicais extraindo todos os fatores possíveis:

1. a) $\sqrt{8x^3}$
2. b) $\sqrt{27a^2}$
3. c) $\sqrt{16y^5}$
4. d) $\sqrt{25z^3}$

Não só podemos extrair fatores do numerador, como também podemos fazer isso do denominador se tivermos frações dentro da raiz.

Se temos $\sqrt{\frac{a^3}{b^2}}$, podemos tirar fatores de cima e de baixo de forma independente. Neste exemplo, $b^2$ sai como $b$ no denominador, e de $a^3$ tiramos um $a$ no numerador: $\frac{a}{b}\sqrt{a}$.

Tente simplificar estas expressões:

1. a) $\sqrt{\frac{50}{9}}$
2. b) $\sqrt{\frac{x^3}{4}}$
3. c) $\sqrt{\frac{1}{27}}$ (Dica: fatore o 27 e deixe-o no denominador)

Vamos fazer o processo inverso para verificar se você entendeu a extração. Se tenho um fator fora da raiz e quero colocá-lo dentro, tenho que elevá-lo ao índice da raiz.

Por exemplo: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Associe em seu caderno cada expressão simplificada da esquerda com sua raiz original da direita (não é necessário calcular, apenas raciocine qual número saiu):

1. $2\sqrt{2}$ --- A. $\sqrt{12}$

2. $3\sqrt{2}$ --- B. $\sqrt{20}$

3. $2\sqrt{3}$ --- C. $\sqrt{8}$

4. $2\sqrt{5}$ --- D. $\sqrt{18}$

Simplifique os seguintes radicais. Preste atenção no índice da raiz, pois neste exercício misturamos raízes quadradas (índice 2) e raízes cúbicas (índice 3).

Lembre-se:

• Em $\sqrt{\quad}$, fazemos grupos de 2.

• Em $\sqrt[3]{\quad}$, fazemos grupos de 3.

1. a) $\sqrt{3^2 \cdot 2}$
2. b) $\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}$
3. c) $\sqrt{2^2 \cdot 3^3}$
4. d) $\sqrt[3]{5^4}$

Para simplificar o radical $\sqrt[3]{a^7 \cdot b^4}$, a Júlia divide cada expoente pelo índice: $7 : 3 = 2$ (resto $1$) e $4 : 3 = 1$ (resto $1$). Em seguida, escreve em seu caderno o seguinte passo:

$$\sqrt[3]{a^7 \cdot b^4} = a \cdot b \cdot \sqrt[3]{a^2 \cdot b}$$

1. a) Localize o erro conceitual que a Júlia cometeu ao posicionar os quocientes e os restos das divisões.
2. b) Apoiando-se na propriedade das potências $a^D = (a^c)^d \cdot a^r$, explique por que razão o quociente deve ser o expoente do fator exterior e o resto o do fator interior.
3. c) Escreva a simplificação corrigida deste radical.

Queremos analisar e aproximar o radical $\sqrt{180}$ sem recorrer logo à calculadora.

1. a) Estime entre quais dois números inteiros consecutivos se encontra $\sqrt{180}$, justificando a sua resposta a partir dos dois quadrados perfeitos mais próximos.
2. b) Decomponha $180$ em fatores primos e extraia todos os fatores possíveis para fora da raiz.
3. c) Sabendo que $\sqrt{5} \approx 2,24$, verifique se o valor resultante de multiplicar o coeficiente externo por essa aproximação é coerente com o intervalo que você estimou no item a).

Extraia todos os fatores possíveis dos seguintes radicais numéricos. Para isso, primeiro você deverá realizar a decomposição em fatores primos dos números que estão dentro da raiz.

1. a) $\sqrt{216}$
2. b) $\sqrt[3]{5000}$
3. c) $\sqrt[4]{162}$

Simplifique os seguintes radicais que contêm variáveis. Lembre-se de que, para poder extrair uma variável, seu expoente deve ser igual ou maior que o índice da raiz.

1. a) $\sqrt[3]{x^4 \cdot y^7 \cdot z^{10}}$
2. b) $\sqrt{25a^3 b^5 c}$
3. c) $\sqrt[5]{\frac{m^7}{n^{10}}}$

Temos um reservatório de água com formato cúbico. Sabemos que seu volume total é de $686 \text{ m}^3$. Calcule o comprimento da aresta do reservatório expressando o resultado por meio de um radical simplificado (extraindo fatores).

Em muitas fórmulas científicas aparecem potências de 10 muito grandes ou muito pequenas dentro de raízes. Simplifique as seguintes expressões extraindo potências de 10 para fora do radical:

1. a) $\sqrt{1,44 \cdot 10^7}$
2. b) $\sqrt[3]{2 \cdot 10^{14}}$
3. c) $\sqrt{0,00003}$ (Ajuda: expresse-o primeiro como $3 \cdot 10^{-5}$)

Calcule o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem $10 \text{ cm}$ e $5 \text{ cm}$. Aplique o Teorema de Pitágoras e expresse o resultado final extraindo todos os fatores possíveis da raiz.

Para poder somar ou subtrair radicais, eles devem ser semelhantes. À primeira vista, os seguintes radicais parecem diferentes. Extraia fatores de cada um deles para verificar se sua parte radical é a mesma e, se for o caso, expresse-os de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{80}$
2. b) $\sqrt{125}$
3. c) $2\sqrt{45}$

Simplifique as seguintes frações com radicais extraindo fatores tanto do numerador quanto do denominador. Se possível, simplifique a fração resultante:

1. a) $\sqrt{\frac{98}{75}}$
2. b) $\sqrt[3]{\frac{16a^4}{27b^3}}$

Indique se as seguintes igualdades são verdadeiras ou falsas realizando a extração de fatores necessária:

1. a) $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$
2. b) $\sqrt{16 \cdot x^6} = 4x^3$
3. c) $\sqrt[3]{8 + 27} = 5$
4. d) $\sqrt{\frac{x^2}{4}} = \frac{x}{2}$

Ao resolver um desafio de cálculo, você obtém como resultado final o radical simplificado $12\sqrt[3]{5}$. O enunciado inicial apagou-se do quadro, mas você sabe que ele provinha de extrair fatores de uma raiz cúbica exata da forma $\sqrt[3]{A}$, em que $A$ é um número natural.

1. a) Reconstrua o radicando original $A$, expressando-o primeiro por meio da sua decomposição em fatores primos e calculando depois o seu valor numérico.
2. b) Se o resultado simplificado tivesse sido $12\sqrt{5}$ (raiz quadrada) proveniente de um radical da forma $\sqrt{B}$, qual dos dois radicandos originais ($A$ ou $B$) é maior? Justifique comparando como o índice da raiz influencia ao introduzir os fatores, sem necessidade de calcular raízes.

Para simplificar o radical $\sqrt{7200}$, dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• Caminho do Carlos: Decompõe $7200$ em fatores primos ($7200 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^2$), divide os expoentes pelo índice $2$ e extrai cada fator segundo o seu quociente e resto.

• Caminho da Marta: Escreve $7200$ associando mentalmente quadrados conhecidos: $7200 = 72 \cdot 100 = 36 \cdot 2 \cdot 100 = 6^2 \cdot 10^2 \cdot 2$, e extrai diretamente as bases para o exterior.

1. a) Aplique ambos os métodos detalhando os passos intermediários e verifique que se obtém a mesma expressão irredutível.
2. b) Avalie os dois procedimentos: em que casos o caminho da Marta é claramente mais rápido e em que situações é imprescindível recorrer ao algoritmo do Carlos?
3. c) Se pedirem para você simplificar $\sqrt{1848}$, qual dos dois métodos você escolheria? Justifique a sua escolha.

Calcule e simplifique o seguinte radical decompondo o radicando em fatores primos. Tenha cuidado, pois o radicando é um número negativo e o índice é ímpar, de modo que o resultado existe nos números reais. Extraia todos os fatores possíveis para fora da raiz.

$$ \sqrt[3]{-54000} $$

Simplifique a seguinte expressão algébrica com radicais. Para isso, você deverá utilizar as propriedades das potências para agrupar termos semelhantes dentro da raiz antes de extrair os fatores. Lembre-se de que um expoente negativo equivale ao inverso da base com expoente positivo.

$$ \sqrt[4]{\frac{32 \cdot x^6 \cdot y^{-3}}{81 \cdot z^5}} $$

Às vezes, antes de extrair fatores, é necessário operar dentro do radicando. Neste caso, não é possível extrair fatores diretamente porque há uma soma e uma subtração. Primeiro, coloque em evidência dentro da raiz e, depois, extraia tudo o que for possível.

$$ \sqrt{18x^5 + 50x^5 - 8x^5} $$

Temos um terreno quadrado cuja área é de $720 \text{ m}^2$. Queremos instalar um tubo de irrigação que cruze o terreno na diagonal. Calcule o comprimento exato do tubo, expressando o resultado como um radical simplificado (extraindo o maior número possível de fatores).

Em notação científica, para extrair fatores de uma raiz, às vezes precisamos ajustar o expoente da potência de 10. Calcule o valor exato da seguinte raiz quadrada, extraindo todos os fatores possíveis e deixando o resultado expresso em notação científica simplificada.

$$ \sqrt{1,2 \cdot 10^7} $$

Simplifique o seguinte radical aninhado. Primeiro, converta a expressão em uma única raiz multiplicando os índices e expresse o radicando como potência. Finalmente, extraia todos os fatores possíveis.

$$ \sqrt{\sqrt[3]{64 \cdot a^{13} \cdot b^7}} $$

O seguinte polinômio dentro da raiz quadrada corresponde a um produto notável (o quadrado de um binômio ou trinômio). Fatore o polinômio dentro do radicando e simplifique a expressão extraindo os fatores resultantes.

$$ \sqrt{9x^2 - 30x + 25} $$

Calcule o volume de um cubo sabendo que sua aresta mede $a = \sqrt[3]{16x^4}$. Expresse o resultado final simplificado, extraindo todos os fatores possíveis da raiz resultante. Lembre-se de que o volume de um cubo é $V = a^3$, mas neste exercício queremos que você expresse primeiro $a$ simplificada e depois calcule o volume operando com radicais.

$$ \text{Calcula } V \text{ si } a = \sqrt[3]{16x^4} $$

Na investigação de acidentes rodoviários na Espanha, a Dirección General de Tráfico (DGT) utiliza expressões derivadas da física para calcular a velocidade estimada $v$ (em $\text{km/h}$) anterior a uma frenagem de emergência sobre pista molhada:

$$v = \sqrt{250 \cdot \mu \cdot d}$$

onde $\mu$ representa o coeficiente de atrito pneu-asfalto (adimensional) e $d$ a distância de frenagem (em metros). Em uma rodovia convencional com limite de $90\text{ km/h}$, com pista molhada onde $\mu = \frac{2}{5}$, mede-se uma marca de frenagem de $d = 45\text{ m}$.

1. a) Substitua os dados na expressão e simplifique o radical extraindo todos os fatores possíveis para expressar a velocidade de forma exata como $k\sqrt{m}$, com $k, m \in \mathbb{N}$.
2. b) Sabendo que $2,23 < \sqrt{5} < 2,24$, delimite o valor da velocidade estimada e determine de forma justificada se o veículo ultrapassava o limite legal da via antes de frear.
3. c) Uma testemunha afirma: «Se a marca tivesse medido o dobro ($90\text{ m}$), significaria que o veículo circulava exatamente ao dobro da velocidade». Utilize a extração de fatores no radical para justificar algebricamente se a afirmação da testemunha é verdadeira ou falsa.

Num exercício com variáveis algébricas, pede-se para extrair fatores do radical $\sqrt{\frac{50x^3}{y^6}}$, especificando no enunciado que $x > 0$ e $y < 0$. O Sérgio apresenta a seguinte resposta:

$$\sqrt{\frac{50x^3}{y^6}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5^2 \cdot x^2 \cdot x}{(y^3)^2}} = \frac{5x}{y^3}\sqrt{2x}$$

1. a) Demonstre que o resultado do Sérgio é contraditório analisando os sinais: determine, com fundamentação, que sinal tem o radical de partida e que sinal tem a expressão final do Sérgio segundo as condições do enunciado ($x > 0$, $y < 0$).
2. b) Aplicando a propriedade $\sqrt{a^2} = |a|$, corrija o desenvolvimento do Sérgio para apresentar a expressão simplificada correta sem utilizar barras de valor absoluto.
3. c) Se a expressão tivesse índice ímpar, por exemplo $\sqrt[3]{\frac{50x^4}{y^6}}$ com as mesmas condições para $x$ e $y$, teria surgido este mesmo conflito de sinais ao extrair fatores? Justifique a sua resposta a partir das propriedades das raízes de índice ímpar.