Exercícios: Potências de números racionais

Calcule o valor numérico das seguintes potências. Lembre-se de elevar tanto o numerador quanto o denominador ao expoente indicado. Expresse o resultado como uma fração irredutível.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

Em matemática, às vezes é necessário alterar o sinal do expoente para poder efetuar as operações. Transforme as seguintes potências para que tenham expoente positivo, invertendo a base quando necessário. Não é necessário calcular o resultado final, apenas expresse a potência transformada.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Utilize as propriedades das potências para simplificar as seguintes expressões. O resultado deve ficar expresso como uma única potência (não é necessário calcular o valor final).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

Considere um azulejo quadrado pequeno para um mosaico. O lado do azulejo mede $\frac{2}{5}$ de metro. Calcule a área ocupada por esse azulejo expressando o resultado como uma fração.

Utilize o seguinte esquema visual como apoio:

Determine o sinal (positivo ou negativo) do resultado das seguintes potências sem necessidade de realizar o cálculo completo. Justifique sua resposta observando se a base é negativa e se o expoente é par ou ímpar.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

Às vezes, confunde-se o tamanho das frações ao elevá-las a uma potência. Observe o gráfico a seguir, que representa a unidade, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ e $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Com base na lógica anterior, ordene as seguintes potências do menor para o maior:

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

Encontre o número que falta em cada espaço para que as igualdades sejam verdadeiras. Escreva em seu caderno a igualdade completa.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^{\square} = \frac{8}{27}$

2. $\left( \frac{5}{2} \right)^{\square} = 1$

3. $\left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = \square$

4. $\left( \frac{3}{7} \right)^3 \cdot \left( \frac{3}{7} \right)^{\square} = \left( \frac{3}{7} \right)^5$

Calcule as seguintes potências que têm o mesmo expoente, mas bases diferentes. Lembre-se de que é possível multiplicar as bases primeiro e elevar o resultado ao expoente comum. Expresse o resultado como uma fração simplificada.

1. $\left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 6^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4 : \left( \frac{1}{2} \right)^4$

O Darío escreve no quadro a seguinte resolução de um exercício proposto pela sua professora:

$$\left(-\frac{3}{5}\right)^{-2} = -\left(\frac{5}{3}\right)^2 = -\frac{25}{9}$$

Ao defender a sua resposta, argumenta: «O sinal de menos do expoente transforma toda a potência em um número negativo, e depois só preciso inverter a fração e elevar ao quadrado».

1. a) Identifique os dois erros conceituais cometidos pelo Darío. Explique com clareza a diferença entre o que produz o sinal de menos da base e o que produz o sinal de menos do expoente.
2. b) Corrija o exercício calculando o valor exato como fração irredutível. Por último, deduza qual seria o sinal do resultado se o expoente inicial tivesse sido $-3$ em vez de $-2$.

Sem realizar operações escritas detalhadas num primeiro momento, observe com atenção estas três potências:

$$A = \left(\frac{2}{3}\right)^4, \quad B = \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}, \quad C = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}$$

1. a) Faça uma estimativa fundamentada prévia: determine quais destas potências darão um resultado menor do que $1$ e quais darão um resultado maior do que $1$. Além disso, antecipe se há duas delas que vão dar exatamente o mesmo valor final. Justifique a sua previsão a partir das propriedades das frações e dos expoentes negativos.
2. b) Calcule o valor numérico exato de $A$, $B$ e $C$ na forma de fração irredutível e compare os resultados com a sua estimativa inicial para verificar se o seu raciocínio estava correto.

Calcule o valor das seguintes potências transformando-as primeiro em potências de expoente positivo. Lembre-se de que o resultado deve ser uma fração irredutível.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Utilize as propriedades das potências para simplificar as seguintes expressões e escreva o resultado como uma única potência de base racional. Não é necessário calcular o valor final, apenas a potência simplificada.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

Temos uma bola de borracha especial. Cada vez que rebota no chão, atinge uma altura que é $\frac{2}{3}$ da altura anterior.

Se deixarmos cair a bola de uma altura de 2 metros:

1. a) Expresse por meio de uma potência a altura que ela atinge após o quarto rebote.
2. b) Essa altura é maior ou menor que 0,3 metros? Justifique sua resposta usando o cálculo da potência.

Simplifique as seguintes expressões. Para isso, primeiro deverá decompor as bases em fatores primos para que todas as bases sejam iguais e, depois, aplicar as propriedades das potências.

1. a) $(\frac{4}{9})^{-2} \cdot (\frac{2}{3})^5$
2. b) $(\frac{25}{4})^3 : (\frac{5}{2})^{-2}$

Calcule o valor de $x$ em cada uma das seguintes igualdades para que sejam verdadeiras. Pense nas propriedades das potências de mesma base.

1. a) $(\frac{1}{2})^x = 32$
2. b) $(\frac{3}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
3. c) $[(\frac{2}{9})^x]^2 = (\frac{2}{9})^{10}$

Observe a figura de um cubo mágico. Suponha que a aresta de um cubo grande meça $L$.

Se reduzirmos o comprimento da aresta pela metade ($\frac{1}{2}L$), como muda o seu volume?

1. a) Calcule o volume do cubo original ($V_{grande}$) e do cubo reduzido ($V_{pequeño}$) em função de $L$.
2. b) Expresse a relação $\frac{V_{pequeño}}{V_{grande}}$ como uma potência de base $\frac{1}{2}$.
3. c) Se o cubo grande tem um volume de $512 \text{ cm}^3$, qual é o volume do cubo reduzido?

Realize as seguintes operações combinadas passo a passo, respeitando a ordem das operações. Expresse o resultado final como uma fração irredutível.

$$ \left( \frac{2}{3} - 1 \right)^{-2} + \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot 2^4 - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

Indique se as seguintes afirmações são Verdadeiras ou Falsas. Se alguma for falsa, escreva a igualdade correta.

1. a) $(\frac{a}{b})^{-n} = - (\frac{a}{b})^n$
2. b) $(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^3 = (\frac{2}{3})^5$
3. c) $(\frac{x}{y})^{-1} \cdot (\frac{y}{x})^{-1} = 1$
4. d) $\frac{a^3}{b^3} = (\frac{a}{b})^3$

Num relatório da Companhia de Gestão de Recursos Hídricos sobre o monitoramento da seca, os técnicos estimam que a vazão de um afluente diminui de forma regular durante os períodos secos: a cada mês que passa sem chover, a vazão passa a ser $\frac{2}{3}$ da vazão do mês anterior. Os hidrólogos modelam essa evolução com a expressão $C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^t$, onde $C_0$ é a vazão atual (em $\text{m}^3/\text{s}$) e $t$ representa o tempo em meses decorridos ($t > 0$ meses futuros, $t < 0$ meses passados).

1. a) Um técnico afirma que, para calcular a vazão que o afluente tinha há 3 meses, deve-se aplicar o fator $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$. Calcule esse fator na forma de fração irredutível e explique o sentido físico e matemático de, ao inverter a fração, o fator obtido ser estritamente maior do que $1$.
2. b) Se a vazão medida na estação de monitoramento hoje for $C_0 = 16\text{ m}^3/\text{s}$, qual era a vazão estimada há 2 meses ($t = -2$)? E qual será daqui a 2 meses ($t = 2$)? Expresse ambos os resultados como frações irredutíveis.

Procure uma fração irredutível $\frac{a}{b}$ e um número inteiro $n$ que cumpram simultaneamente as três condições seguintes:

1) $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{81}{16}$

2) O expoente $n$ é um número inteiro negativo estritamente menor do que $-1$.

3) A fração base verifica que $0 < \frac{a}{b} < 1$.

1. a) Deduza passo a passo todos os pares possíveis de valores de $\frac{a}{b}$ e de $n$, justificando como você utiliza a decomposição em fatores primos do numerador e do denominador.
2. b) Se não fosse obrigatório que a fração fosse irredutível, você conseguiria encontrar outra base positiva diferente que desse o mesmo resultado com outro expoente inteiro negativo? E o que aconteceria se permitíssemos que a base $\frac{a}{b}$ fosse negativa? Analise e justifique as possíveis soluções adicionais que surgem em ambos os casos.

Simplifique a seguinte expressão algébrica utilizando as propriedades das potências. O resultado final não deve ter expoentes negativos e deve estar simplificado ao máximo. Tenha muito cuidado com os sinais das bases e os parênteses.

$$ \left[ \frac{(x^2 \cdot y^{-3})^{-2} \cdot (x^{-1} \cdot y^2)^3}{(x^3 \cdot y^{-4})^{-1}} \right]^{-2} $$

Calcule o valor exato da seguinte operação combinada com frações e expoentes inteiros. Lembre-se de respeitar a ordem das operações e trabalhar com frações irredutíveis.

$$ \left( \frac{3}{2} - 2 \right)^{-2} \cdot \left[ \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2} \right] - \left( \frac{3}{4} \right)^0 $$

Na arquitetura, frequentemente são utilizados designs fractais nos quais uma figura se repete em diferentes escalas. Imagine que projetamos um vitral triangular seguindo este padrão:

Partimos de um triângulo equilátero de área $A$. No passo 1, dividimos o triângulo em 4 triângulos iguais e removemos o central (o triângulo invertido). No passo 2, repetimos o processo com os 3 triângulos restantes, e assim sucessivamente.

1. Escreva a potência de base racional que representa a fração da área que fica colorida após o passo $n$.

2. Se a área inicial é de $256 \text{ cm}^2$, calcule a área restante após 4 iterações.

Simplifique a seguinte expressão decompondo as bases em fatores primos. O resultado deve ser expresso como uma única potência ou um produto de potências de bases primas.

$$ \frac{27^{-2} \cdot (-12)^4 \cdot 9^{-1}}{18^3 \cdot (-3)^{-5}} $$

Encontre o valor da incógnita $x$ em cada uma das seguintes igualdades, utilizando as propriedades das potências de base racional:

1. a) $ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 16 $
2. b) $ \left(\frac{3}{5}\right)^{x-1} = \frac{125}{27} $
3. c) $ \frac{2^x \cdot 2^3}{2^{-1}} = 32 $

Um cubo de Rubik padrão de $3 \times 3 \times 3$ é formado por pequenos cubos unitários. Imagine que construímos cubos gigantes formados por cubinhos de 1 cm de lado.

1. Se temos um cubo gigante cujo volume é $8^{4} \text{ cm}^3$, expresse o comprimento de sua aresta como uma potência de base 2.

2. Se pintarmos o exterior desse cubo gigante, quantos cubinhos unitários terão pelo menos uma face pintada? Expresse o cálculo utilizando potências e a subtração de volumes.

Ordene os seguintes números do menor para o maior sem calcular o seu valor decimal, utilizando as propriedades das potências para compará-los (dica: tente igualar as bases ou os expoentes). Justifique sua resposta passo a passo.

$$ A = 2^{60} \quad ; \quad B = 3^{40} \quad ; \quad C = 5^{30} \quad ; \quad D = (0,5)^{-50} $$

A capacidade de armazenamento dos computadores cresceu exponencialmente.

Sabendo que:

• 1 quilobyte (KB) = $2^{10}$ bytes

• 1 megabyte (MB) = $2^{10}$ KB

• 1 gigabyte (GB) = $2^{10}$ MB

• 1 terabyte (TB) = $2^{10}$ GB

Calcule quantos arquivos de música, que ocupam em média $4 \cdot 10^6$ bytes cada um, cabem aproximadamente em um disco rígido de 2 TB. Expresse o resultado em notação científica e como uma potência de base 2 aproximada (considerando $10^3 \approx 2^{10}$).

Para simplificar a seguinte expressão com frações e expoentes inteiros:

$$E = \frac{\left[\left(-\frac{3}{4}\right)^{-2}\right]^3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{-5}}{\left(\frac{9}{16}\right)^{-2}}$$

dois alunos do 3.º ano do ESO propõem duas estratégias diferentes:

• Estratégia da Lucía: Trabalha primeiro com os sinais e as inversões; passa cada potência para expoente positivo invertendo as frações individuais, decompõe todas as bases nos seus fatores primos ($2$ e $3$) e simplifica a grande fração resultante aplicando propriedades de potências de expoente natural.

• Estratégia do Pablo: Mantém a estrutura de bases racionais unificando tudo em potências de base $\frac{3}{4}$. Para isso usa que $\frac{4}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{-1}$, que $\frac{9}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$, analisa o sinal global observando os expoentes pares e ímpares, e opera algebricamente os expoentes inteiros através das propriedades habituais antes de calcular qualquer número grande.

1. a) Resolve a expressão completa seguindo o método da Lucía.
2. b) Resolve a expressão completa seguindo o método do Pablo.
3. c) Compara ambos os caminhos: qual minimiza o número de cálculos e reduz a possibilidade de cometer erros com frações complexas de vários níveis? Justifica qual dos dois métodos recomendarias a um colega.

Queremos construir uma expressão com potências de frações da forma:

$$M = \frac{\left(\frac{x}{y}\right)^p \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^q}{\left(\frac{x}{y}\right)^r}$$

onde $x, y \neq 0$ e os expoentes $p, q, r$ são números inteiros. A expressão deve verificar de forma simultânea as três condições seguintes:

1) Ao simplificá-la aplicando propriedades das potências, o resultado final deve ser exatamente $\left(\frac{x}{y}\right)^{-3}$.

2) Pelo menos dois dos três expoentes ($p, q, r$) devem ser números inteiros estritamente negativos.

3) O expoente $q$ não pode ser zero ($q \neq 0$).

1. a) Expresse a condição (1) como uma equação algébrica que relacione os expoentes $p$, $q$ e $r$, transformando previamente a base $\frac{y}{x}$ em uma potência de base $\frac{x}{y}$.
2. b) Encontre uma terna de números inteiros $(p, q, r)$ que satisfaça todas as condições exigidas e verifique a validade da sua solução.
3. c) Um colega afirma que é impossível encontrar uma terna válida se for acrescentada uma quarta condição: $p + q + r = 1$. Demonstre de forma fundamentada se a afirmação do seu colega é verdadeira ou falsa, propondo o sistema correspondente.