Exercícios: Operações com potências

Escreva as seguintes multiplicações repetidas em forma de potência e, em seguida, calcule seu valor numérico. Lembre-se de que a base é o número que se repete e o expoente indica quantas vezes ele aparece.

1. a) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
2. b) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)$
3. c) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
4. d) $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Utilize as propriedades do produto de potências de mesma base para simplificar estas expressões e deixá-las como uma única potência. Não é necessário calcular o resultado final, apenas expresse a potência resultante.

1. a) $5^3 \cdot 5^4$
2. b) $(-3)^2 \cdot (-3)^5$
3. c) $x^2 \cdot x^6 \cdot x$
4. d) $10^3 \cdot 10^2 \cdot 10^4$

Aplique a propriedade do quociente (divisão) de potências de mesma base para reduzir as seguintes expressões a uma única potência. Lembre-se de que deve subtrair os expoentes.

1. a) $\frac{7^8}{7^3}$
2. b) $2^{12} : 2^{10}$
3. c) $\frac{(-4)^5}{(-4)^2}$
4. d) $\frac{a^6}{a}$

Temos um cubo de Rubik clássico. Sabemos que em cada aresta (lado) há 3 peças pequenas.

Expresse por meio de uma potência quantas peças pequenas formam o cubo total e calcule o valor.

Observe o desenho para ajudar você:

Calcule o valor das seguintes potências levando em consideração as propriedades da potência de expoente 0 e da potência de base 1. Tenha cuidado com os sinais.

1. a) $5^0$
2. b) $23^1$
3. c) $1^{15}$
4. d) $(-8)^0$
5. e) $123^0 + 1^{20}$

Simplifique as seguintes expressões usando a propriedade da potência de uma potência. O resultado deve ser expresso como uma única potência.

1. a) $(3^2)^4$
2. b) $(x^3)^5$
3. c) $((-2)^2)^3$
4. d) $((a^2)^3)^4$

Nestes casos, as bases são diferentes, mas os expoentes são iguais. Aplique as propriedades correspondentes para agrupar as bases e expressar o resultado como uma única potência.

1. a) $2^3 \cdot 5^3$
2. b) $12^4 : 4^4$
3. c) $(-2)^5 \cdot 3^5$
4. d) $\frac{20^2}{5^2}$

Simplifique ao máximo as seguintes expressões combinando as propriedades das potências estudadas (produto e quociente de bases iguais). Expresse o resultado como uma única potência.

1. a) $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$
2. b) $\frac{x^7}{x^2 \cdot x^3}$
3. c) $(3^2 \cdot 3^4) : 3^5$
4. d) $\frac{10^6 \cdot 10^2}{10^8}$

Num teste do 3.º ano do ESO, a Clara tem de simplificar a operação $2^3 \cdot 2^4$. Escreve no seu caderno o seguinte desenvolvimento:

$$2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2)^{3+4} = 4^7$$

1. a) Identifica e descreve os dois erros concetuais distintos que a Clara cometeu no seu procedimento.
2. b) Explica, recorrendo ao significado básico de potência como multiplicação repetida (sem te limitares a citar a fórmula de cor), por que razão ao multiplicar potências com a mesma base se somam os expoentes mas a base se mantém invariável.
3. c) Corrige o exercício escrevendo a solução adequada sob a forma de uma única potência de base 2 e calcula o seu valor numérico final.

Desenhe três operações aritméticas distintas cujo resultado final seja exatamente a potência $3^8$, cumprindo obrigatoriamente em cada caso a condição indicada:

1. a) Um produto de duas potências de base 3 onde nenhum expoente seja um número par.
2. b) Uma divisão entre duas potências que tenham bases diferentes e o mesmo expoente.
3. c) Uma potência de outra potência onde um dos expoentes envolvidos seja um número inteiro negativo.

Justifique em cada item a propriedade das potências que garante que a sua proposta dá exatamente $3^8$.

Calcule o resultado da seguinte expressão, aplicando as propriedades das potências antes de calcular o valor final. Preste atenção pois todas as bases são o mesmo número negativo:

$$ \frac{(-3)^5 \cdot (-3)^2 \cdot (-3)}{(-3)^4} $$

Lembre-se de que, quando um número não possui expoente visível, este é 1.

Simplifique a seguinte operação e expresse o resultado como uma única potência de base 2. Para isso, primeiro será necessário decompor em fatores primos as bases que não forem números primos:

$$ 16 \cdot 2^5 \cdot 4^3 $$

Temos um quadrado cujo lado mede $2^4$ centímetros.

1. Escreva o perímetro do quadrado na forma de uma única potência de base 2 (você não precisa calcular o número final, apenas a potência).

2. Escreva a área do quadrado na forma de uma única potência de base 2.

Efetue as operações e simplifique a seguinte expressão utilizando as propriedades das potências com base racional. Expresse o resultado como uma fração irredutível com expoente positivo:

$$ \left[ \left( \frac{2}{5} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^5 \right] : \left( \frac{5}{2} \right)^2 $$

Um HD externo tem uma capacidade de armazenamento de 1 TB (Terabyte). Sabendo que as equivalências aproximadas no sistema binário são:

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

Se uma fotografia de alta qualidade ocupa $2^4$ MB, quantas fotografias cabem no total no HD? Expresse o resultado como uma potência de base 2.

Simplifique a seguinte expressão algébrica utilizando as propriedades das potências. O resultado final não deve ter expoentes negativos:

$$ \frac{a^3 \cdot b^{-4} \cdot a^{-2}}{a^5 \cdot b^{-6}} $$

Calcule o valor da incógnita $x$ em cada uma das seguintes igualdades, utilizando as propriedades das potências para igualar os expoentes:

1. a) $5^x \cdot 5^3 = 5^9$
2. b) $(3^4)^x = 3^{12}$
3. c) $\frac{7^8}{7^x} = 7^2$

Simplifique a seguinte fração numérica decompondo primeiro as bases em fatores primos e aplicando depois as propriedades das potências:

$$ \frac{15^2 \cdot 4^2}{6^3 \cdot 10^2} $$

Para simplificar e calcular o valor numérico da expressão $\frac{12^4 \cdot 5^4}{30^3}$, o Lucas e a Júlia debatem sobre qual a estratégia mais conveniente:

• O Lucas propõe decompor previamente todas as bases em seus fatores primos ($12 = 2^2 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$) e utilizar as propriedades do produto e quociente de potências com a mesma base.

• A Júlia propõe aplicar primeiro a propriedade de potências com o mesmo expoente no numerador para agrupá-lo como $(12 \cdot 5)^4 = 60^4$, e depois expressar 60 como $2 \cdot 30$ para operar com a base 30 do denominador.

1. a) Resolva a expressão seguindo passo a passo a proposta do Lucas.
2. b) Resolva a expressão aplicando a estratégia proposta pela Júlia.
3. c) Compare ambos os caminhos: qual dos dois métodos você considera mais eficiente para este caso concreto? Justifique a sua escolha analisando o volume de cálculos e o risco de errar em cada um.

O Ministério da Transição Ecológica (órgão federal) coordena os trabalhos de reflorestamento em uma região do Pantanal (Mato Grosso do Sul). Para organizar o repovoamento de árvores nativas, o terreno foi dividido em $3^3$ parcelas principais. Dentro de cada parcela foram criados $9^2$ setores e, em cada um desses setores, plantaram-se exatamente 27 pés de ipê.

1. a) Formule uma única operação combinada com potências que represente o número total de ipês plantados na região.
2. b) Decomponha as bases em fatores primos e aplique as propriedades das potências para expressar o número total de ipês como uma única potência de base 3. Quantas árvores foram plantadas no total?
3. c) Durante as primeiras semanas, cada pé precisa receber $3^{-2}$ litros de água por hora por meio de um sistema de irrigação localizada. Expresse como uma única potência de base 3 quantos litros de água a plantação completa consome em uma hora.

Simplifique a seguinte expressão até obter uma única potência de base prima positiva. Para isso, aplique as propriedades das potências, decomponha as bases em fatores primos e tenha muito cuidado com os sinais e os expoentes negativos.

$$ \frac{(-2)^4 \cdot (2^3)^{-2} \cdot 16}{\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot (-8)^{-2}} $$

Lembre-se de que decompor números como o 16 e o 8 em base 2 é o primeiro passo fundamental.

Observe a seguinte sequência de figuras gerada por meio de um processo fractal.

1. Parte-se de um quadrado sólido de lado 1 metro (Iteração 0).

2. Divide-se o quadrado em 4 quadrados iguais e elimina-se o superior direito (Iteração 1).

3. Repete-se o processo com cada um dos 3 quadrados restantes (Iteração 2).

Calcule a área total (a soma das áreas dos quadrados pretos) na Iteração 5. Expresse o resultado como uma única potência.

Calcule o valor da incógnita $x$ na seguinte equação exponencial, utilizando as propriedades das potências para agrupar termos. Todas as bases podem ser expressas como potências do mesmo número primo.

$$ 27^2 \cdot 9^{-x} = \frac{1}{3^x \cdot 81} $$

Um servidor de armazenamento de dados na nuvem tem uma capacidade total de 16 Petabytes (PB). Sabendo que as equivalências de informática são potências de 2 (não de 10) segundo a seguinte tabela:

• $1 \text{ KB} = 2^{10} \text{ bytes}$

• $1 \text{ MB} = 2^{10} \text{ KB}$

• $1 \text{ GB} = 2^{10} \text{ MB}$

• $1 \text{ TB} = 2^{10} \text{ GB}$

• $1 \text{ PB} = 2^{10} \text{ TB}$

Se um arquivo de fotografia de alta resolução ocupa $2^{24}$ bytes, quantas fotografias cabem no total no servidor? Expresse o resultado como uma potência de base 2.

Sem utilizar a calculadora para obter o valor final, ordene os seguintes números do menor para o maior. Para isso, busque um expoente comum ou uma base comum que permita compará-los mentalmente.

$$ A = 2^{45} \quad ; \quad B = 3^{36} \quad ; \quad C = 5^{18} $$

Ajuda: Tente expressar todos os expoentes como múltiplos de um mesmo número (busque o máximo divisor comum dos expoentes).

Simplifique a seguinte expressão algébrica utilizando as propriedades das potências. O resultado final não deve ter expoentes negativos nem parênteses.

$$ \left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-3} : \left( \frac{a^3}{b^2} \right)^2 $$

Um cubo de Rubik gigante é formado por pequenos cubinhos unitários. Sabemos que o volume total do cubo grande é de $27^4$ unidades cúbicas.

1. Escreva o comprimento da aresta do cubo grande na forma de uma potência de base 3.

2. Se pintarmos de vermelho a face externa de cada cubinho unitário, qual é a área total pintada de vermelho em todo o cubo gigante? Escreva o resultado na forma $2 \cdot 3^n$.

(Lembre-se de que o cubo grande tem 6 faces e a área de uma face é lado $\cdot$ lado).

Calcule o valor exato da seguinte operação combinada, aplicando primeiro as propriedades das potências e transformando para a notação científica padrão antes de efetuar as operações.

$$ \frac{ 3,5 \cdot 10^{-5} + 150 \cdot 10^{-7} }{ 0,02 \cdot 10^4 \cdot (10^{-2})^3 } $$

Expresse o resultado final em notação científica.

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) guarda cópias de segurança de dados censitários em dois centros de servidores independentes, denominados nó A e nó B:

• O nó A contém $8^7$ blocos de dados armazenados.

• O nó B contém $4^{11}$ blocos de dados armazenados.

1. a) Antes de efetuar cálculos por escrito, faça uma estimativa intuitiva fundamentada: qual dos dois nós você acha que contém mais blocos de dados? Explique que elemento pesou mais na sua primeira impressão (o valor da base ou a magnitude do expoente?).
2. b) Verifique rigorosamente a sua estimativa: expresse a quantidade de blocos de cada nó como uma potência de base 2 aplicando a decomposição em fatores e a propriedade da potência de uma potência.
3. c) Calcule o quociente entre o nó de maior capacidade e o de menor capacidade. Quantas vezes mais informação um abriga em relação ao outro?
4. d) Tendo em conta o resultado, explique por que razão, ao comparar grandezas exponenciais, a intuição visual baseada apenas no tamanho aparente da base costuma induzir ao erro.

Uma equipe de cibersegurança em Belo Horizonte gera códigos de acesso cifrados. Um código-mestre $K$ é definido a partir da seguinte expressão:

$$K = \frac{15^a \cdot 18^b}{10^c \cdot 12^d}$$

onde $a$, $b$, $c$ e $d$ são números inteiros positivos.

Ao simplificar a expressão decompondo as bases em fatores primos e aplicando as propriedades das potências, os analistas observam que as bases 2 e 5 se cancelam totalmente (os seus expoentes resultantes são iguais a 0), de modo que o resultado final fica simplificado como $K = 3^6$.

1. a) Decomponha as bases compostas ($15$, $18$, $10$ e $12$) em fatores primos e escreva a expressão agrupando os expoentes das bases 2, 3 e 5 em função das incógnitas $a$, $b$, $c$ e $d$.
2. b) Escreva as igualdades que os expoentes das bases 2 e 5 devem verificar para que ambos se cancelem no resultado final.
3. c) Se a configuração do sistema fixar que $c = 1$ e $d = 1$, deduza fundamentadamente os valores numéricos exatos que os expoentes $a$ e $b$ devem ter, e verifique passo a passo que o valor obtido para $K$ coincide com $3^6$.