Exercícios: Conceito

Em um laboratório de biologia, um aluno está medindo a espessura de diferentes folhas de plantas. Escreva com algarismos os seguintes números decimais obtidos em suas medições:

1. a) Doze unidades e oito décimos.
2. b) Sete unidades e vinte e cinco centésimos.
3. c) Zero unidade e cento e quatro milésimos.
4. d) Cinco unidades e nove décimos de milésimo.

Classifique os seguintes números decimais indicando se são exatos, dízimas periódicas simples ou dízimas periódicas compostas:

1. a) $4,25$
2. b) $7,\widehat{3}$
3. c) $1,02\widehat{5}$
4. d) $12,444...$
5. e) $0,123$
6. f) $5,6\widehat{12}$

Nos Jogos Olímpicos, os tempos de natação são medidos com muita precisão. Um nadador demorou $48,052$ segundos para completar uma prova. Indique que posição cada algarismo ocupa neste número:

• O $4$ ocupa as:

• O $8$ ocupa as:

• O $0$ ocupa as:

• O $5$ ocupa as:

• O $2$ ocupa as:

Observe a seguinte grade que representa a unidade dividida em cem partes iguais. Indique que número decimal representa a parte sombreada na cor laranja e como se lê esse número.

Identifique que números decimais estão representados pelas letras $A$, $B$ e $C$ na seguinte reta numérica:

Três irmãos medem sua altura. Ana mede $1,54$ metros e Marcos mede $1,55$ metros. Encontre um número decimal que esteja entre a altura de Ana e a de Marcos.

Ordene os seguintes números decimais do menor para o maior:

O Marcos está ordenando números para uma prova e afirma o seguinte: «O número $0,19$ é maior do que $0,8$ porque $19$ é um número muito maior do que $8$. Além disso, $0,8$ e $0,80$ representam quantidades diferentes porque o segundo tem mais casas decimais». a) Encontre os dois erros de raciocínio que o Marcos comete e explique, utilizando o valor posicional dos algarismos (décimos e centésimos), por que razão as afirmações dele estão incorretas. b) Escreva a comparação correta entre $0,19$ e $0,8$ utilizando o símbolo adequado ($>$ ou $<$) depois de igualar o número de casas decimais deles.

Pede-se que você construa quatro números decimais diferentes que estejam compreendidos estritamente entre $3,4$ e $3,5$ (ou seja, maiores do que $3,4$ e menores do que $3,5$). Cada um deve cumprir uma das seguintes condições: a) Um número decimal exato que tenha exatamente três casas decimais. b) Um número decimal dízima periódica simples (lembre-se de que o período deve começar imediatamente após a vírgula). c) Um número decimal dízima periódica composta (com anteperíodo e período). d) Um número irracional. Para este último, escreva as suas primeiras sete casas decimais e explique que regra ou padrão você seguiu para que nunca se repita nenhum bloco de algarismos.

Classifique os seguintes números decimais na tabela em anexo (Exato, Dízima Periódica Simples, Dízima Periódica Composta ou Irracional):

• $3,141592...$ (Número $\pi$)

• $2,15$

• $7,444...$

• $0,1232323...$

• $\sqrt{2}$

• $5,0616161...$

Em um campeonato de Fórmula 1, os tempos de classificação de quatro pilotos para uma volta no circuito foram os seguintes:

• Piloto A: $1:24,058\text{ s}$

• Piloto B: $1:24,5\text{ s}$

• Piloto C: $1:24,06\text{ s}$

• Piloto D: $1:24,0578\text{ s}$

Ordene os pilotos do mais rápido para o mais lento utilizando os sinais $>$ ou $<$ conforme corresponda.

Desenhe uma reta numérica no seu caderno e represente os seguintes números decimais. Para os números negativos, utilize uma cor diferente da dos positivos.

$A = 0,4$

$B = -0,25$

$C = 0,85$

$D = -0,7$

Pode ajudar você tomar a reta desde $-1$ até $1$, com o $0$ no centro, e dividir cada unidade em 20 partes iguais, de modo que cada marca valha $0,05$. Por exemplo, se cada unidade ocupar 10 cm do caderno, cada marca ficará separada por 0,5 cm. Escreva junto de cada ponto a sua letra e o seu valor.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Sem realizar a divisão dos seus termos, indique que tipo de número decimal cada uma das seguintes frações vai gerar (exato ou dízima periódica). Justifique sua resposta analisando os fatores primos do denominador:

1. a) $\dfrac{7}{40}$
2. b) $\dfrac{5}{12}$
3. c) $\dfrac{11}{21}$
4. d) $\dfrac{3}{250}$

Observe a seguinte figura, onde um quadrado de área $1\text{ u}^2$ foi dividido em seções.

1. a) Expresse na forma decimal a parte sombreada em laranja.
2. b) Expresse na forma decimal a parte que fica em branco.
3. c) Que tipo de números decimais você obteve (exatos ou dízimas periódicas)?

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou as precipitações acumuladas em litros por metro quadrado ($\text{l/m}^2$) durante um dia de tempestades em quatro estações do Rio Grande do Sul: Estação A: $24,\widehat{7}\text{ l/m}^2$; Estação B: $24,75\text{ l/m}^2$; Estação C: $24,7\widehat{5}\text{ l/m}^2$; Estação D: $24,\widehat{75}\text{ l/m}^2$. a) Escreva o desenvolvimento de cada um dos quatro registros com pelo menos quatro casas decimais e ordene-os da maior para a menor precipitação utilizando o símbolo $>$. b) Para verificar os sensores, a equipe técnica precisa introduzir um valor de teste que seja um número decimal exato e que se encontre estritamente entre os dois registros mais chuvosos da lista. Proponha um número que cumpra esse requisito e justifique por que razão ele pertence a esse intervalo.

Queremos situar na reta numérica o número irracional $\sqrt{7}$, cujo valor exato tem infinitas casas decimais não periódicas. a) Sem utilizar a calculadora, estime entre quais dois números inteiros consecutivos se encontra $\sqrt{7}$ a partir dos quadrados perfeitos mais próximos. Em seguida, estime de forma fundamentada entre quais duas décimas consecutivas ($2,5$ e $2,6$, ou $2,6$ e $2,7$, etc.) ele deve se situar, verificando à mão o quadrado dessas décimas. b) Sabendo que o valor aproximado deste número é $\sqrt{7} = 2,645751...$, verifique se a sua estimativa por décimas estava correta. c) Baseando-se na propriedade da densidade dos decimais, proponha um número decimal exato e um número decimal dízima periódica composta que estejam compreendidos entre $2,64$ e $\sqrt{7}$.

Ordene do menor para o maior os seguintes números decimais, justificando a sua resposta por meio do desenvolvimento de pelo menos quatro de suas casas decimais:

• $A = 2,3\hat{5}$

• $B = 2,\widehat{35}$

• $C = 2,35$

• $D = 2,35\hat{3}$

• $E = 2,355$

• $F = 2,353$

Depois de ordenados, encontre um número decimal exato e uma dízima periódica simples que estejam compreendidos entre os dois valores centrais da sua lista.

Em um laboratório de biologia, mediu-se o tamanho de um micro-organismo obtendo-se um valor de $0,04586$ mm. Por um erro no software, o microscópio mostra este valor aproximado de duas formas diferentes:

• Aproximação X: truncado nas milésimas.

• Aproximação Y: arredondado nas milésimas.

Calcule o erro relativo cometido em cada uma das duas aproximações. Qual das duas estimativas é mais precisa para o estudo científico? Justifique sua resposta comparando os erros obtidos.

Intercale três números racionais (na forma de fração) entre os números decimais $0,\hat{7}$ e $0,7\hat{8}$.

Para resolver, siga estes passos:

1. Obtenha as frações geratrizes de ambos os números.

2. Reduza essas frações ao mesmo denominador.

3. Encontre três frações que fiquem entre elas e verifique que suas representações decimais cumprem a condição de intercalação.

Represente na reta numérica de forma aproximada os seguintes números e determine de forma exata qual deles é o maior:

• $X = 1,4\hat{6}$

• $Y = \sqrt{2}$ (use a aproximação $1,4142...$)

• $Z = \frac{11}{7}$

Como $\sqrt{2}$ é um número irracional, não tem fração geratriz. Por isso:

• Para $X$, calcule a sua fração geratriz e compare-a com $Z$ (por exemplo, reduzindo-as ao mesmo denominador).

• Para $Y$, use a sua aproximação decimal e compare-a com os outros dois.

Justifique a posição de cada número na reta realizando as divisões necessárias com pelo menos três casas decimais. Use a reta da figura, onde cada marca pequena vale $0,01$.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Quatro velocistas registraram marcas em segundos com desenvolvimentos decimais muito semelhantes: $A = 12,\widehat{34}\text{ s}$, $B = 12,3\widehat{4}\text{ s}$, $C = 12,3434\text{ s}$ e $D = 12,\widehat{343}\text{ s}$. Para ordená-las do menor para o maior tempo, dois juízes do campeonato propõem caminhos distintos: O Juiz 1 propõe: «Arredondemos todos os tempos às centésimas; assim será mais rápido e simples ordenar». O Juiz 2 propõe: «Desenvolvamos cada número até a sua quinta casa decimal e comparemos coluna a coluna da esquerda para a direita». a) Aplique a proposta do Juiz 1. É possível desempatar e classificar as quatro atletas com o método dele? Explique detalhadamente o que acontece e por que razão este procedimento falha neste caso. b) Aplique a proposta do Juiz 2, escreva o desenvolvimento com cinco casas decimais de cada marca e ordene as atletas da menor para a maior utilizando o símbolo $<$. Justifique por que razão cinco casas bastam neste caso e por que razão, em geral, comparar algarismo a algarismo até o primeiro algarismo diferente nunca falha. c) Se uma quinta atleta registrar um tempo irracional cujos primeiros algarismos são $12,343443444...\text{ s}$, entre quais duas atletas da lista anterior ela se classificaria? Justifique comparando a casa decimal exata em que ela se distingue das suas vizinhas.

Durante um debate na aula sobre a propriedade da densidade dos decimais, o Lucas afirma: «Entre $0,\widehat{2}$ e $0,23$ não cabe nenhum outro número decimal porque, ao escrever $0,\widehat{2} = 0,222...$, depois do $2$ nas centésimas só pode vir o $3$, logo não fica nenhum espaço no meio». a) Demonstre que o raciocínio do Lucas é falso: explique como o sistema de numeração decimal garante a existência de infinitos valores intermediários e encontre três números de tipos diferentes (um exato, uma dízima periódica simples e uma dízima periódica mista) que estejam estritamente entre $0,\widehat{2}$ e $0,23$. b) Construa um número irracional compreendido nesse mesmo intervalo mostrando as suas primeiras oito casas decimais. Explique com precisão a regra de formação que você utilizou para assegurar que os seus algarismos nunca formem um período repetitivo e que não possa ser expresso sob a forma de fração.