Exercícios: Corpos de revolução

Imagine que você cola as seguintes figuras planas em um palito e as faz girar rapidamente sobre ele. Identifique qual corpo de revolução é gerado em cada caso:

1. a) Um retângulo que gira sobre um dos seus lados.
2. b) Um triângulo retângulo que gira sobre um dos seus catetos.
3. c) Um semicírculo que gira sobre o seu diâmetro.

No seguinte desenho de um cone, identifique o nome dos elementos assinalados com as letras $r$, $h$ e $g$. Explique brevemente o que cada um deles representa.

Uma lata de refrigerante cilíndrica tem uma altura de $12$ cm e o raio da base dela mede $3$ cm. Desenhe de forma esquemática a planificação dela (as figuras que você obteria se cortasse a lata e a estendesse sobre uma mesa) e indique as medidas conhecidas no desenho.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Para fabricar um chapéu de festa em forma de cone, precisamos conhecer a sua geratriz ($g$). Se o chapéu tem uma altura de $8$ cm e um raio na base de $6$ cm, utilize o teorema de Pitágoras para calcular quanto deve medir a geratriz.

Calcule o volume de uma bola de boliche (que é uma esfera perfeita) sabendo que o seu raio mede $11$ cm. Utilize a fórmula $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ e tome como valor de $\pi \approx 3,14$.

Um tubo de bolas de tênis tem forma de cilindro. A base tem um diâmetro de $7$ cm e a altura do tubo é de $22$ cm. Calcule a área da superfície lateral do tubo (sem contar as tampas).

Identifique qual destas planificações não poderia formar nunca um cilindro e explique por quê.

Você tem um cilindro e um cone retos. Na figura aparece, com linha tracejada laranja, um corte horizontal (paralelo à base) e, com linha tracejada vermelha, um corte vertical que passa pelo centro das bases (o eixo do corpo).

1. a) Se fizermos o corte horizontal (paralelo à base) em um cilindro e em um cone, que figura geométrica plana obteremos na seção do corte em cada um?

1. b) Obteremos a mesma figura em cada corpo se o corte for vertical e passar pelo centro das bases? Indique que figura sai no cilindro e qual sai no cone.

O Marcos quer construir com cartolina um chapéu de festa com a forma de um cone para o festival de fim de ano da sua escola. No caderno dele está escrito: «Como o cone é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos seus catetos, para fazer a superfície lateral vou recortar um triângulo isósceles cuja base meça o comprimento da circunferência da base e cuja altura seja a do cone; depois junto os dois lados iguais». Explique de forma fundamentada que erro geométrico o Marcos comete e o que aconteceria se ele tentasse enrolar esse triângulo. Em seguida, indique o nome da figura geométrica plana que constitui realmente a planificação lateral de um cone e explique que elemento do cone (raio, altura ou geratriz) coincide com o raio dessa figura plana.

Ao descolar com cuidado o rótulo de papel que envolve completamente e sem sobreposição a parede lateral de uma lata cilíndrica de polpa de tomate, verifica-se que ele tem a forma de um retângulo com as medidas de $31,4\text{ cm}$ de base e $10\text{ cm}$ de altura. Sabendo que esse cilindro é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que coincide com um dos seus lados, deduza de forma fundamentada as dimensões exatas (base e altura) desse retângulo gerador original (adote $\pi \approx 3,14$). Se quiséssemos fabricar também as duas tampas metálicas circulares da lata, qual deve ser o raio exato de cada uma para que fechem o cilindro perfeitamente?

Desenhe em seu caderno o corpo de revolução que é gerado ao fazer girar a seguinte figura plana ao redor do eixo indicado. Que nome recebe o corpo obtido? Descreva seus elementos principais (bases, altura e geratriz).

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma marca de refrigerantes quer projetar uma nova lata cilíndrica. O raio da base deve ser de $3,5\text{ cm}$ e a altura da lata de $12\text{ cm}$. Calcule a quantidade de metal (superfície total) necessária para fabricar uma destas latas. Arredonde o resultado para duas casas decimais.

Para uma festa à fantasia, Ana está fabricando chapéus em forma de cone. Se cada chapéu tem uma geratriz de $25\text{ cm}$ e o diâmetro da base é de $14\text{ cm}$, qual será a altura do chapéu? Utilize o teorema de Pitágoras para encontrá-la.

Calcule o volume de uma bola de sorvete perfeitamente esférica que tem um raio de $3\text{ cm}$. Se o sorvete derreter dentro de um recipiente cilíndrico de mesma base e mesma altura que a esfera, qual altura alcançará o sorvete líquido? (Suponha que o volume não altera ao derreter).

Um reservatório de água tem forma de cilindro com um raio de $2\text{ metros}$ e uma altura de $5\text{ metros}$. Se o reservatório estiver cheio até três quartos da sua capacidade, quantos litros de água ele contém? (Lembre-se de que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litros}$).

Um cone de sinalização de trânsito tem uma altura de $60\text{ cm}$ e um raio da base de $15\text{ cm}$. Calcule a área lateral dele (a superfície que teria que ser pintada de laranja). Para isso, primeiro você deverá encontrar a geratriz do cone usando o teorema de Pitágoras.

Corta-se uma laranja esférica de $10\text{ cm}$ de diâmetro por um plano que passa a uma distância de $3\text{ cm}$ do centro. Ao separar os dois pedaços, a seção do corte é um círculo. Calcule o raio desse círculo de corte aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo sombreado.

Temos um pedaço de cartolina com forma de setor circular como o da imagem. Ao unir as bordas retas, formamos a superfície lateral de um cone. Calcule a área total desse cone sabendo que o raio do setor (que será a geratriz) é de $10\text{ cm}$ e que o comprimento do arco é de $18,84\text{ cm}$.

Você tem uma cartolina retangular que mede exatamente $10\text{ cm}$ de largura por $20\text{ cm}$ de comprimento. Imagine que você a faz girar $360^\circ$ no espaço: primeiro em torno do seu lado de $10\text{ cm}$ (obtendo o cilindro $A$) e, num segundo ensaio, em torno do seu lado de $20\text{ cm}$ (obtendo o cilindro $B$). Antes de realizar qualquer cálculo, estime de forma fundamentada: qual dos dois cilindros você acha que terá maior área lateral? E qual você acha que encerrará maior volume interior? Registre a sua intuição inicial. Depois, confirme a sua estimativa calculando a área lateral de ambos os cilindros (deixe o resultado expresso em função de $\pi$) e o volume de cada um por meio da fórmula $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$. Por último, compare os resultados com a sua previsão e explique matematicamente por que o raio tem maior impacto do que a altura no volume de um cilindro.

Numa aula de Educação Tecnológica pretende-se construir em escala um cone de sinalização rodoviária cuja base circular tenha um raio de $9\text{ cm}$ e cuja altura seja de $12\text{ cm}$. Para recortar em cartolina a peça correspondente à superfície lateral, duas alunas propõem caminhos distintos: a Irene calcula primeiro a geratriz $g$ por meio do teorema de Pitágoras e aplica diretamente a fórmula reduzida da área lateral: $A_{lat} = \pi \cdot r \cdot g$; já a Alba calcula também a geratriz $g$, mas depois descobre a medida do ângulo central $\alpha$ que o setor circular planificado deve ter, resolvendo a proporção $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{g}$, e em seguida calcula a área com a fórmula geral do setor circular: $A_{setor} = \frac{\pi \cdot g^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$. Faça os cálculos passo a passo usando os dois métodos (adote $\pi \approx 3,14$). Demonstre algebricamente por que a fórmula direta da Irene é equivalente ao procedimento da Alba. Se você tivesse de desenhar a planificação na cartolina com régua, compasso e transferidor para montá-la fisicamente, qual dos dois métodos fornece a informação indispensável para o traçado? Justifique sua resposta.

Uma empresa de perfumes está projetando um novo frasco de vidro. O frasco tem uma base cilíndrica de $3 \text{ cm}$ de raio e $6 \text{ cm}$ de altura. Sobre essa base, apoia-se um tronco de cone cuja base superior tem $1 \text{ cm}$ de raio e cuja geratriz mede $5 \text{ cm}$. Sabendo que a tampa é uma semiesfera perfeita que se encaixa exatamente na abertura superior de $1 \text{ cm}$ de raio, calcule a área total externa do frasco (sem contar a base de apoio).

Um rolo industrial de aço tem forma de cilindro oco. O diâmetro externo do rolo é de $20 \text{ cm}$, o diâmetro interno é de $16 \text{ cm}$ e o seu comprimento total é de $50 \text{ cm}$. Se a densidade do aço é de $7,85 \text{ g/cm}^3$, calcule a massa total do rolo em quilogramas. (Lembre-se de que, para determinar o volume do cilindro oco, você deve subtrair o volume do cilindro interno do volume do cilindro externo).

Para uma exposição de arte, foi construída uma peça de metal formada por um cone que se encaixa perfeitamente dentro de um cilindro de mesma altura ($12 \text{ cm}$) e mesmo raio da base ($5 \text{ cm}$). O cone está invertido, de modo que o seu vértice toca o centro da base inferior do cilindro. Calcule o volume de água necessário para encher o espaço vazio que fica entre as paredes do cilindro e o cone.

Um sorvete de casquinha tem forma de cone de $15 \text{ cm}$ de altura e $3 \text{ cm}$ de raio na abertura superior. Coloca-se uma bola de sorvete que é uma esfera perfeita de $3,5 \text{ cm}$ de raio. Devido ao tamanho, parte da bola fica fora da casquinha e parte fica dentro. Se a bola se apoia exatamente na borda circular do cone, qual é a distância do ponto mais baixo da bola de sorvete até o vértice inferior da casquinha? (Utilize o teorema de Pitágoras).

Uma boia marítima é formada pela união de dois cones idênticos pelas bases. O comprimento total da boia de ponta a ponta é de $2 \text{ metros}$ e o diâmetro da seção circular central onde eles se unem é de $120 \text{ cm}$. Calcule o volume total da boia em litros e a sua superfície externa total.

Corta-se uma esfera de raio $13 \text{ cm}$ mediante um plano horizontal que passa a uma distância de $5 \text{ cm}$ do centro. Esse corte gera um círculo (seção). Calcule a área desse círculo de corte e a área da calota esférica superior resultante, sabendo que a superfície de uma calota esférica é calculada como $S = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h$, onde $h$ é a altura da calota.

Um reservatório de água tem forma de tronco de cone invertido. O raio da base superior (aberta) é de $4 \text{ metros}$ e o da base inferior (fundo) é de $2 \text{ metros}$. A altura total do reservatório é de $6 \text{ metros}$. Se o reservatório for preenchido até a metade da sua altura ($3 \text{ metros}$), utilize a semelhança de triângulos para encontrar o raio da superfície da água nesse momento e calcule o volume de água acumulado.

Calcule o volume do corpo gerado ao girar $360^\circ$ o seguinte polígono irregular ao redor do eixo vertical indicado. O polígono é formado por um retângulo de $2 \times 4 \text{ cm}$ e um triângulo retângulo de base $3 \text{ cm}$ unido ao seu lateral.

Uma empresa de fornecimentos agrícolas de Ribeirão Preto (SP) encomenda o projeto de um silo vertical para armazenar cereais. A estrutura completa é um sólido de revolução formado por um cilindro inferior com $4\text{ m}$ de diâmetro externo e $6\text{ m}$ de altura, arrematado por uma cobertura cônica superior com a mesma base circular e uma altura de $1,5\text{ m}$. Em primeiro lugar, modele geometricamente a seção plana: descreva com precisão que figura plana poligonal (indicando as medidas de todos os seus lados) gera este sólido completo ao girar $360^\circ$ em torno do eixo vertical de simetria do silo. Em segundo lugar, para impermeabilizar o exterior, será aplicada uma resina protetora sobre a parede cilíndrica vertical e sobre a cobertura cônica (o chão e a união horizontal interna entre o cilindro e o cone não são tratados). Calcule os metros quadrados totais de superfície que devem ser impermeabilizados (adote $\pi \approx 3,14$). Por último, se cada lata de resina custa $\text{R\$}\ 45$, dá para cobrir exatamente $12\text{ m}^2$ e não se vendem latas fracionadas, determine o orçamento mínimo necessário se for obrigatório aplicar duas demãos completas em toda a superfície.

Uma oficina de design educativo fabrica maquetes para explicar a geometria do planeta Terra e as projeções cartográficas. Para construir a superfície lateral de uma cúpula cônica protetora, cortam sobre uma folha de plástico um setor circular com um raio de $20\text{ cm}$ e um ângulo central de amplitude $144^\circ$. Formule e resolva o problema inverso: ao enrolar o setor circular unindo seus bordos retos para formar o cone, calcule o raio da base circular que se obtém e a altura vertical que esse cone alcançará (arredonde a altura às décimas de centímetro). Por outro lado, para a maquete esférica do globo terrestre, um aluno da equipe propõe: «Para que as escolas possam recortar e montar em aula uma esfera perfeita de cartolina, podemos imprimir a sua planificação em uma única folha retangular contínua, tal como fazemos com o cilindro e o cone». Analise e explique detalhadamente por que razão a proposta do aluno é um erro geométrico incontornável, baseando-se nas propriedades da planificação da esfera e explicando o que acontece inevitavelmente com qualquer mapa plano do mundo quando tenta representar a superfície terrestre sem deformá-la.