Exercícios: Números combinatórios

Calcule o valor numérico dos seguintes números combinatórios aplicando sua fórmula de definição:

1. a) $\binom{9}{3}$
2. b) $\binom{15}{0}$
3. c) $\binom{8}{8}$
4. d) $\binom{12}{10}$

Utilizando a propriedade de simetria dos números combinatórios, determine o valor numérico de $x$ (sabendo que é diferente de 5) que satisfaz a seguinte igualdade:

$\binom{17}{5} = \binom{17}{x}$

Encontre o valor exato da seguinte soma sem a necessidade de calcular cada número combinatório de forma individual, aplicando as propriedades conhecidas:

$\binom{6}{0} + \binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6}$

Resolva a seguinte equação, determinando o valor do número natural $x$:

$\binom{x}{2} = 28$

Desenvolva a expressão matemática $(2a + b)^4$ aplicando a fórmula do binômio de Newton.

Escreva os elementos que compõem a sexta linha do triângulo de Pascal (ou de Tartaglia), lembrando que a primeira linha corresponde a $n=0$, e utilize-a para desenvolver o binômio $(x - 2)^5$.

Determine apenas o coeficiente numérico que acompanha o termo em $x^3$ no desenvolvimento do binômio $(x + 4)^5$.

Expresse a soma $\binom{11}{4} + \binom{11}{5}$ como um único número combinatório utilizando a relação de recorrência (fórmula de Pascal) e, em seguida, calcule seu valor numérico.

Durante uma campanha de voluntariado ambiental no Parque Nacional do Pantanal (Mato Grosso do Sul), devem-se selecionar 8 pessoas de um grupo de 10 aspirantes para formar uma equipe de controle de trilhas. O Rafael, um dos participantes, tenta descobrir quantas equipes distintas podem ser formadas e escreve no quadro:

1. a) Localize e explique o erro conceitual que o Rafael cometeu ao aplicar a fórmula. Que tipo de agrupamento combinatório ele calculou na realidade ao não incluir o termo $(10-8)!$ no denominador?
2. b) Corrija o cálculo aplicando a propriedade de simetria $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ para justificar por que é muito mais direto calcular $\binom{10}{2}$ e obtenha o número real de equipes possíveis.

Numa turma do 10.º ano com 25 estudantes vão ser eleitas 2 pessoas para os representar no conselho escolar da escola. A professora recorda que o número de pares possíveis se pode escrever como $\binom{25}{2}$ ou como $\binom{25}{23}$. Para obter o resultado numérico, três membros do grupo propõem caminhos distintos:

• A Lucía propõe desenvolver a fórmula fatorial completa: $\frac{25!}{23! \cdot 2!}$ calculando todos os fatoriais até 1 antes de simplificar.

• O Marcos propõe aplicar a propriedade de simetria $\binom{25}{23} = \binom{25}{2}$ e simplificar a fração $\frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1}$ antes de realizar qualquer produto.

• A Alba propõe construir o triângulo de Pascal linha por linha desde a linha 0 até à linha 25 para ler diretamente a posição correspondente.

1. a) Compara as três propostas analisando as suas vantagens e desvantagens. Qual dos métodos é o mais eficiente na prática e qual se revela completamente desadequado para uma prova escrita? Justifica a tua resposta.
2. b) Aplica o método mais conveniente para calcular o valor final e enuncia uma regra simples sobre quando convém utilizar a propriedade de simetria dos números combinatórios.

Em um laboratório de biotecnologia dispõe-se de 12 cepas bacterianas diferentes. Para realizar um ensaio de resistência, deve-se selecionar uma amostra composta exatamente por 5 cepas. Expresse o número total de amostras possíveis utilizando a notação de números combinatórios e calcule seu valor. Quantas destas amostras possíveis incluem uma cepa específica que já se sabe que é resistente aos antibióticos?

Determine todos os valores naturais de $x$ que satisfazem a seguinte equação combinatória:

$\binom{20}{2x} = \binom{20}{x+2}$

Calcule e simplifique ao máximo o quarto termo do desenvolvimento do binômio $(3x - \frac{y}{2})^7$, ordenando os termos segundo as potências decrescentes de $x$.

Simplifique a seguinte expressão algébrica expressando o resultado final como um polinômio dependente de $n$:

$\frac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{3}}$

Em um dispositivo de Galton utilizado para demonstrações de probabilidade, uma bola cai através de 6 níveis de pregos. Em cada nível, a bola se choca contra um prego e pode rebater para a esquerda ou para a direita. Expresse por meio de um número combinatório a quantidade de caminhos distintos que levam ao terceiro compartimento a partir da esquerda (considerando o compartimento situado mais à esquerda como o número zero) e calcule esse valor.

Uma pizzaria oferece uma base padrão de queijo e tomate à qual se podem adicionar até 8 ingredientes extras diferentes. Um cliente pode escolher desde não adicionar nenhum ingrediente extra até adicionar todos eles. Expresse o número total de combinações de pizzas diferentes que podem ser pedidas como uma soma de números binomiais e demonstre numericamente que esse valor coincide com $2^8$.

Desenvolva completamente e simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica utilizando o binômio de Newton:

$(x^2 - \frac{2}{x})^4$

Demonstre, utilizando a propriedade de recorrência dos números binomiais $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$, que a seguinte igualdade é verdadeira sem a necessidade de calcular o valor numérico de cada combinação:

$\binom{10}{4} + 2\binom{10}{5} + \binom{10}{6} = \binom{12}{6}$

Um restaurante tradicional de tapas em Logroño oferece no seu cardápio 8 porções riojanas distintas. Para os jantares de grupo, criaram a promoção «Degustação a seu gosto», que permite à mesa pedir qualquer seleção dessas 8 porções: desde pedir 0 porções (se apenas consumirem bebidas) até pedir as 8 porções, passando por combinações de 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 porções diferentes sem repetir nenhuma.

1. a) Antes de realizar cálculos detalhados, faça uma estimativa fundamentada: o número total de pedidos distintos possíveis estará mais próximo de 50, de 250 ou de 1000? Explique em que você baseia a sua estimativa prévia sem somar termo a termo.
2. b) Aplique a propriedade da soma dos números binomiais de uma linha do triângulo de Pascal ($\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \dots + \binom{8}{8} = 2^8$) para obter o número exato de pedidos possíveis.
3. c) Verifique se a sua estimativa inicial foi correta. Se o restaurante exigir que cada grupo escolha obrigatoriamente pelo menos uma porção e decidir adicionar 2 novas tapas ao cardápio (tendo 10 no total), o número de opções disponíveis duplica ou quadruplica em relação ao valor obtido no item b? Justifique a sua dedução a partir das propriedades das potências.

Um entregador de bicicleta distribui encomendas no bairro de l'Eixample, em Barcelona, cujas ruas formam uma grade regular. O ciclista deve sair da central de distribuição (ponto $A$) e chegar ao endereço de entrega (ponto $B$), situado a 4 quarteirões para leste e a 3 quarteirões para norte de $A$. Para economizar bateria, ele se desloca apenas para leste ($E$) ou para norte ($N$) em trajetos de comprimento mínimo (7 segmentos de rua no total).

1. a) Represente por meio de um número combinatório da forma $\binom{m+p}{m}$ o total de trajetos mínimos diferentes que o entregador pode seguir e calcule o seu valor numérico.
2. b) Devido a obras de reforma de uma ciclovia, o cruzamento $C$, situado a 2 quarteirões a leste e a 1 quarteirão ao norte de $A$, está totalmente interditado. Calcule quantos trajetos mínimos vão de $A$ até $C$ e quantos vão de $C$ até o destino final $B$.
3. c) Utilizando os resultados anteriores, deduza quantos trajetos mínimos sobram para o ciclista ir de $A$ até $B$ sem passar pelo ponto $C$ em obras. Explique o raciocínio que permite resolver esta questão por meio de uma subtração.

Encontre o termo independente (ou seja, o termo que não depende da variável $x$) no desenvolvimento do binômio $(2x^2 - \frac{1}{x})^9$.

Demonstre algebricamente, partindo da definição fatorial $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, a validade da relação de recorrência do triângulo de Pascal:

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

Resolva a seguinte equação combinatória, determinando o valor do número natural $x$:

$\binom{x+1}{2} + \binom{x}{2} = 36$

Calcule o valor exato da expressão $(\sqrt{5} + 2)^6 + (\sqrt{5} - 2)^6$. Aplique o desenvolvimento do binômio de Newton e observe como os termos que contêm raízes de índice ímpar se anulam entre si.

Um robô de um armazém logístico se desloca por uma rede de corredores em forma de malha quadriculada do ponto de origem $A(0,0)$ até o ponto de destino $B(6,4)$, movendo-se apenas um passo para a direita ou um passo para cima em cada iteração. Devido a tarefas de manutenção, o robô não pode passar pelo nó $C(3,2)$. Expresse o número de trajetórias válidas utilizando números combinatórios e calcule o resultado final.

No desenvolvimento do binômio $(a + b)^n$, sabe-se que os coeficientes numéricos do quarto e do quinto termo são exatamente iguais. Determine o valor do expoente natural $n$.

Utilize o desenvolvimento do binômio de Newton avaliado na expressão $(1 - 1)^n$ para demonstrar que a soma alternada dos elementos de qualquer linha do triângulo de Pascal (para $n > 0$) é sempre igual a zero:

$\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \dots + (-1)^n \binom{n}{n} = 0$

Uma empresa de tecnologia precisa formar uma equipe de cibersegurança de 5 membros, selecionados completamente ao acaso entre uma equipe de 8 programadores e 6 analistas de sistemas. Calcule a probabilidade de a equipe resultante ser formada exatamente por 3 programadores e 2 analistas. Expresse tanto os casos favoráveis quanto os casos possíveis mediante números combinatórios antes de dar a fração irredutível resultante.

Numa região rural de Minas Gerais organiza-se um torneio escolar de vôlei durante o primeiro bimestre. A comissão esportiva estabelece que, na fase prévia, todas as escolas inscritas devem disputar exatamente uma partida contra cada uma das demais equipes (sistema de campeonato de turno único). No final da fase regular, a federação confirma que foram disputados exatamente 45 jogos no total.

1. a) Modele a situação estabelecendo uma equação em que intervenha um número combinatório da forma $\binom{n}{2}$ igualado ao número total de jogos, definindo com clareza o que representa a incógnita $n$.
2. b) Aplique a fórmula do número combinatório para transformar a sua expressão numa equação do segundo grau na forma canônica ($a \cdot n^2 + b \cdot n + c = 0$). Resolva-a e interprete o resultado no contexto do problema, justificando por que você deve descartar uma das duas soluções matemáticas.
3. c) Se no próximo ano a campanha esportiva tiver sucesso e se inscrever o dobro das escolas ($2n$), serão disputados exatamente o dobro dos jogos? Demonstre a sua resposta calculando quantos jogos seriam organizados com o novo número de participantes e reflita sobre o ritmo de crescimento das combinações em comparação com o crescimento linear.

Em um hospital público do estado de São Paulo deve ser constituída uma comissão de urgência médica formada por 5 profissionais. Para selecioná-los, há uma equipe de plantão composta por 7 médicas e 5 enfermeiros (12 profissionais de saúde no total).

1. a) A direção do hospital estabelece que a comissão não pode ser exclusiva de uma só categoria profissional: deve contar com pelo menos uma médica e pelo menos um enfermeiro. Explique detalhadamente por que é muito mais simples calcular o total de comissões possíveis e subtrair os casos não permitidos (método do evento complementar) do que somar caso a caso as opções válidas. Calcule o número de comissões permitidas utilizando esse método.
2. b) Uma das 7 médicas é a coordenadora-geral do serviço. Ela percebe que, ao formar a comissão de 5 pessoas, existem apenas duas situações mutuamente exclusivas em relação a ela: ou faz obrigatoriamente parte da comissão, ou fica excluída para supervisionar as urgências externas.

Relacione este fato com a fórmula de Pascal:

Explique o que cada um dos três números binomiais desta igualdade representa no contexto do hospital e justifique, com suas próprias palavras, por que a soma dos dois termos da direita coincide exatamente com o valor da esquerda, sem que falte nem se repita nenhuma possibilidade.

Desafio do tema. É mais fácil acertar na loteria ou adivinharem o seu código da escola?

1. Investigação: Consulta no site da Loterías y Apuestas del Estado (SELAE) as regras de La Primitiva (escolher 6 números entre 49) e no site do INCIBE as orientações básicas para criar palavras-passe seguras.

2. Cálculo combinatório: Numa folha de cálculo, determina:

3. O total de apostas possíveis através do número de combinações $\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!}$, aplicando fatoriais.

4. As permutações resultantes se a ordem de extração das bolas importasse.

5. As permutações de 4 algarismos distintos para um código de cacifo face a combinações de letras.

6. Relatório e proposta: Redige um relatório de uma página onde compares a dificuldade matemática de ganhar o sorteio (com uma probabilidade de apenas $0,0000071\,\%$) face à vulnerabilidade de um PIN simples. Apresenta uma proposta fundamentada de palavra-passe segura usando os teus cálculos.

Será valorizado:

• Precisão no cálculo de fatoriais, permutações e combinações na planilha.

• Coleta e aplicação correta de dados de fontes oficiais (Caixa Econômica Federal e site de segurança digital).

• Coerência e rigor matemático nas conclusões e recomendações do relatório final.