Ejercicios: Contracción de la longitud, dilatación del tiempo y energía relativista

Un fenómeno dura $\Delta t_0 = 10\ \text{s}$ medido en su propio sistema de referencia. Para un observador que lo ve pasar a gran velocidad, el factor de Lorentz vale $\gamma = 2$. Sabiendo que la dilatación del tiempo es $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, ¿cuánto dura el fenómeno para ese observador?

La contracción de la longitud es $L = \frac{L_0}{\gamma}$. Una nave mide $L_0 = 100\ \text{m}$ en reposo y viaja con $\gamma = 2$. ¿Qué longitud mide un observador en la Tierra?

La energía asociada a una masa en reposo es $E = m \cdot c^2$, con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Calcula la energía correspondiente a $1\ \text{kg}$ de masa y exprésala en notación científica.

Una varilla tiene una longitud propia de $2\ \text{m}$ y se mueve respecto al laboratorio con $\gamma = 1,25$. Usando $L = \frac{L_0}{\gamma}$, calcula su longitud medida desde el laboratorio.

Un muón tiene una vida media en reposo de $2,2\ \mu\text{s}$. Un haz de muones viaja por un anillo de almacenamiento con $\gamma = 10$. Aplicando $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, ¿cuál es la vida media de los muones medida desde el laboratorio?

Calcula la energía de la masa en reposo de un electrón, $m = 9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$, usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Expresa el resultado en notación científica con dos cifras significativas.

La contracción de la longitud solo afecta a la dimensión paralela al movimiento. Una nave de $50\ \text{m}$ de largo propio y $20\ \text{m}$ de alto viaja horizontalmente con $\gamma = 1,25$. La figura muestra sus dimensiones propias.

1. a) ¿Qué longitud mide desde la Tierra ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) ¿Qué altura mide desde la Tierra? Justifícalo.

Un reloj viaja en una nave con $\gamma = 1,5$. Cuando para el viajero han pasado $6$ años, ¿cuántos años han transcurrido en la Tierra? Aplica $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$ e indica cuál de los dos tiempos es el tiempo propio del viaje.

Un astronauta viaja en una nave con $\gamma = 1,25$. Desde la Tierra se mide que el viaje dura $8$ años.

1. a) Usando $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, ¿cuántos años envejece el astronauta?
2. b) Si partió con $30$ años, ¿qué edad tiene al regresar y qué edad tiene su hermano gemelo, que se quedó en la Tierra?

Un muón se crea en la alta atmósfera viajando a $v = 0,998c$ con $\gamma = 15$; su vida media propia es $2,2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula su vida media medida desde la Tierra ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$).
2. b) Calcula la distancia media que recorre según un observador terrestre.
3. c) Si el muón se hubiera creado a $30\ \text{km}$ de altura, ¿llegaría de media a la superficie? Justifícalo con el resultado anterior.

Una nave de longitud propia $L_0 = 120\ \text{m}$ viaja con $\gamma = 1,5$.

1. a) ¿Qué longitud mide un observador terrestre ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Si el viaje dura $10$ años para la Tierra, ¿cuánto dura para la tripulación ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) Razona cuál de los dos observadores mide el tiempo propio del viaje y por qué.

Un kilovatio-hora, la unidad de energía de las facturas eléctricas, equivale a $3,6 \cdot 10^{6}\ \text{J}$.

1. a) Usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula a qué masa equivale $1\ \text{kW} \cdot \text{h}$ de energía.
2. b) Compara esa masa con la de un grano de arena ($10^{-5}\ \text{kg}$): ¿cuántas veces mayor es el grano de arena? Comenta el resultado.

El Sol radia una potencia de $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convirtiendo parte de su masa en energía.

1. a) Calcula la energía que emite cada segundo.
2. b) Usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula la masa que el Sol convierte en energía cada segundo.
3. c) Expresa el resultado en toneladas ($1\ \text{t} = 10^{3}\ \text{kg}$).

Un pión tiene una vida propia de $2,6 \cdot 10^{-8}\ \text{s}$. En un acelerador lineal viaja a $v = 0,98c$ con $\gamma = 5$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) ¿Cuál es su vida media medida en el laboratorio ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
2. b) ¿Qué distancia media recorre en el acelerador antes de desintegrarse?
3. c) Explica por qué sin la dilatación del tiempo los piones apenas recorrerían unos $8\ \text{m}$ y qué consecuencia tendría eso para su detección.

El factor de Lorentz es $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, de donde $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$.

1. a) Calcula la velocidad de una nave que viaja con $\gamma = 2$, expresada como fracción de $c$.
2. b) Expresa esa velocidad en $\text{m/s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

Una bombilla de $100\ \text{W}$ permanece encendida durante $10$ años, es decir, $3,2 \cdot 10^{8}\ \text{s}$.

1. a) Calcula la energía eléctrica consumida.
2. b) Usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula la masa equivalente a esa energía.
3. c) Compara esa masa con la de una bacteria ($10^{-15}\ \text{kg}$): ¿cuántas veces mayor es?

Próxima Centauri, la estrella más cercana al Sol, está a $4,2$ años luz medidos desde la Tierra. Una nave viaja hacia allí con $\gamma = 2$, lo que corresponde a $v = 0,866c$ (se obtiene de $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$). Recuerda que un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. El esquema resume el viaje.

1. a) ¿Cuánto dura el viaje para los observadores terrestres?
2. b) ¿Cuánto dura para la tripulación ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) ¿Qué distancia Tierra-estrella mide la tripulación ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
4. d) Comprueba la coherencia de los resultados: la tripulación debe recorrer la distancia contraída del apartado c) a la velocidad $0,866c$ en el tiempo del apartado b). Verifícalo numéricamente.

El Sol tiene una masa de $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$ y radia una potencia de $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convirtiendo masa en energía ($E = m \cdot c^2$; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la masa que el Sol pierde cada segundo.
2. b) Calcula la masa perdida en $10^{10}$ años ($3,2 \cdot 10^{17}\ \text{s}$), del orden de su vida total.
3. c) ¿Qué fracción de la masa solar representa? Exprésala en tanto por ciento.
4. d) Concluye si la radiación cambia apreciablemente la masa del Sol a lo largo de su vida y comenta por qué su gravedad apenas se ve afectada.

En el Sol, cada reacción de la cadena protón-protón convierte cuatro protones en un núcleo de helio con un defecto de masa de $\Delta m = 4,7 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$ ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la energía liberada en cada reacción ($E = \Delta m \cdot c^2$).
2. b) El Sol radia $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$: calcula cuántas de estas reacciones ocurren cada segundo.
3. c) Si cada reacción consume cuatro protones de $1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$ cada uno, calcula la masa de hidrógeno que el Sol fusiona cada segundo.
4. d) Compara la masa fusionada del apartado c) con la masa convertida en energía del apartado a) y b): ¿qué porcentaje de la masa se transforma en energía?

Una nave de longitud propia $100\ \text{m}$ atraviesa una estación espacial con $\gamma = 7,09$. La estación dispone de un hangar de $15\ \text{m}$. El esquema representa la situación.

1. a) ¿Qué longitud mide el personal de la estación para la nave ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)? ¿Cabe la nave entera dentro del hangar, aunque sea durante un instante, según ellos?
2. b) Para el piloto es la estación la que se mueve: ¿qué longitud mide el piloto para el hangar? ¿Cabe la nave según él?
3. c) La contradicción aparente se disuelve porque «la nave está entera dentro a la vez» no significa lo mismo para ambos observadores. Nombra y explica el concepto relativista que resuelve la paradoja.

Un kilogramo de gasolina libera al quemarse $4,6 \cdot 10^{7}\ \text{J}$ ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la energía correspondiente a la masa en reposo de $1\ \text{kg}$ según $E = m \cdot c^2$.
2. b) ¿A cuántos kilogramos de gasolina equivaldría esa energía?
3. c) ¿Qué fracción de su masa en reposo convierte la gasolina en energía al arder?
4. d) A la vista del resultado, explica por qué la equivalencia masa-energía pasa desapercibida en las reacciones químicas y qué tipo de procesos sí convierten una fracción apreciable de masa en energía.

Un muón se crea a $15\ \text{km}$ de altura, viaja a $v = 0,9995c$ con $\gamma = 31,6$ y su vida media propia es $2,2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). La figura compara los dos puntos de vista.

1. a) Calcula su vida media vista desde la Tierra ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$).
2. b) Calcula la distancia media que recorre según la Tierra y concluye si puede llegar a la superficie.
3. c) Desde el punto de vista del muón, su vida es de $2,2\ \mu\text{s}$ pero la atmósfera se contrae: calcula el espesor de atmósfera que atraviesa ($L = \frac{L_0}{\gamma}$) y la distancia que recorre en su vida propia, y comprueba que llega a la misma conclusión que en b).
4. d) Explica por qué ambos observadores están de acuerdo en el resultado final (el muón llega al suelo) aunque lo expliquen de forma distinta.

Una agencia espacial estudia que una nave de $50\ \text{m}$ de longitud propia mida solo $10\ \text{m}$ desde la Tierra.

1. a) ¿Qué factor $\gamma$ hace falta para ello ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Calcula la velocidad correspondiente con $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$ y exprésala como fracción de $c$.
3. c) Con ese factor $\gamma$, ¿cuántos años transcurrirían en la Tierra por cada año que envejece la tripulación ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
4. d) Valora, a la vista de los resultados, qué tendría el viaje interestelar a esas velocidades de ventaja y de problema para la exploración humana.

En una tomografía por emisión de positrones (PET), un positrón emitido por un trazador radiactivo se aniquila con un electrón del tejido y toda su masa se convierte en energía, emitida en dos fotones gamma. La masa de cada partícula es $9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). El esquema representa el proceso.

1. a) Calcula la masa total que se aniquila en el suceso.
2. b) Calcula la energía liberada ($E = m \cdot c^2$).
3. c) ¿Qué energía lleva cada fotón, si los dos se reparten la energía por igual?
4. d) Explica por qué la aniquilación materia-antimateria es el proceso de conversión de masa en energía más eficiente posible y compáralo con la fusión solar, que convierte menos del $1\ \%$ de la masa.