Las leyes del movimiento planetario

Johannes Kepler dedujo tres leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol a partir de las observaciones de Tycho Brahe.

1. a) Enuncia la primera ley de Kepler (ley de las órbitas).
2. b) Dibuja en tu cuaderno una órbita elíptica y señala en ella los dos focos de la elipse, la posición del Sol, el perihelio (punto más cercano al Sol) y el afelio (punto más alejado).
3. c) Indica qué es el semieje mayor $a$ de la órbita y escribe su expresión en función de las distancias del perihelio, $r_p$, y del afelio, $r_a$.

La Tierra pasa por el perihelio a una distancia del Sol $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ y por el afelio a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. La figura muestra la órbita con ambas distancias (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sabiendo que $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$ (unidad astronómica: distancia media Tierra–Sol), expresa el resultado en unidades astronómicas y comenta lo que observas.

La excentricidad de una elipse es $e = \frac{c}{a}$, donde $a$ es el semieje mayor y $c$ la distancia del centro de la elipse a uno de los focos. Para la Tierra: $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ (perihelio) y $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$ (afelio). Observa la geometría de la órbita en la figura (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calcula la distancia focal, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, y la excentricidad $e$ de la órbita terrestre.
3. c) Un valor $e = 0$ corresponde a una circunferencia y un valor próximo a $1$, a una elipse muy alargada. Comenta la forma de la órbita terrestre según el valor obtenido.

1. a) Enuncia la segunda ley de Kepler (ley de las áreas).
2. b) Un planeta recorre su órbita elíptica pasando por el perihelio y por el afelio. Aplica la ley de las áreas para razonar en cuál de esos dos puntos se mueve más rápido.
3. c) La velocidad areolar (área barrida por el radio vector por unidad de tiempo) es constante porque el momento angular del planeta se conserva. Explica cualitativamente por qué un radio vector más corto en el perihelio implica una velocidad mayor.

Dibuja en tu cuaderno una órbita elíptica alargada con el Sol situado en uno de sus focos.

1. a) Marca dos intervalos de tiempo iguales, uno centrado en el perihelio y otro en el afelio, y sombrea las áreas barridas por el radio vector en ambos tramos.
2. b) De acuerdo con la ley de las áreas, ¿qué relación existe entre las dos áreas sombreadas?
3. c) Razona, a partir del dibujo, en qué tramo el planeta recorre un arco más largo en el mismo tiempo y qué implica eso sobre su velocidad.

Por la conservación del momento angular, en el perihelio y en el afelio se cumple $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$. La Tierra pasa por el perihelio ($r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$) con una velocidad de $30,3\ \text{km/s}$, y el afelio está a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. El esquema muestra la órbita y las velocidades en ambos puntos (sin escala):

1. a) Despeja la velocidad en el afelio, $v_a$, de la expresión anterior.
2. b) Calcula su valor, en $\text{km/s}$.
3. c) El perihelio ocurre a primeros de enero y el afelio a primeros de julio. Indica en cuál de esos meses la Tierra se desplaza más rápido por su órbita y relaciónalo con la segunda ley de Kepler.

1. a) Enuncia la tercera ley de Kepler (ley de los periodos) y escribe su expresión matemática, $\frac{T^2}{a^3} = C$, indicando el significado de $T$ y de $a$.
2. b) La constante vale $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, donde $M$ es la masa del cuerpo central. Razona si $C$ es la misma para todos los planetas del sistema solar y si lo sería también para las lunas de Júpiter.

Para los cuerpos que orbitan el Sol, si el periodo $T$ se expresa en años y el semieje mayor $a$ en unidades astronómicas, la tercera ley de Kepler se reduce a $T^2 = a^3$. Mercurio orbita con un semieje mayor $a = 0,387\ \text{UA}$.

1. a) Calcula el periodo orbital de Mercurio, en años.
2. b) Exprésalo en días terrestres ($1$ año $= 365,25$ días).

Un asteroide del cinturón principal tarda $T = 8$ años en completar su órbita alrededor del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol se cumple $T^2 = a^3$, con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Despeja el semieje mayor $a$ de la expresión anterior.
2. b) Calcula su valor, en $\text{UA}$.

Un alumno afirma: «como $\frac{T^2}{a^3} = C$ es una constante universal, su valor es el mismo para la Tierra alrededor del Sol que para la Luna alrededor de la Tierra».

1. a) Razona por qué la afirmación es falsa, teniendo en cuenta que $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, siendo $M$ la masa del cuerpo central.
2. b) Indica un conjunto de cuerpos para el que sí coincidiría la constante con la de las lunas de Júpiter.

Para una órbita circular de radio $r$, la tercera ley de Kepler puede deducirse de la ley de la gravitación universal. El esquema muestra un planeta en órbita circular con la fuerza que actúa sobre él:

1. a) Iguala la fuerza gravitatoria, $F = \frac{G\cdot M\cdot m}{r^2}$, con la fuerza centrípeta del movimiento circular, $F_c = \frac{m\cdot v^2}{r}$, y obtén la velocidad orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.
2. b) Sustituye $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$ en el resultado anterior y deduce que $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}\cdot r^3$.
3. c) Identifica en la expresión obtenida la constante de la tercera ley de Kepler y explica de qué magnitudes depende.

La tercera ley de Kepler permite «pesar» el Sol. Datos: distancia media Tierra–Sol $a = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$, periodo orbital terrestre $T = 365,25$ días y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. La figura representa la órbita terrestre con los datos conocidos:

1. a) Expresa el periodo orbital en segundos.
2. b) Despeja la masa del Sol de la expresión $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_S}$.
3. c) Calcula $M_S$ y compara el resultado con el valor aceptado, $1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

La sonda Juno ha estudiado el sistema de Júpiter. Su luna Ío orbita el planeta con un semieje mayor $a = 4,22\cdot10^{8}\ \text{m}$ y un periodo $T = 1,77$ días. Dato: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Expresa el periodo de Ío en segundos.
2. b) Despeja la masa de Júpiter de la tercera ley de Kepler, $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_J}$.
3. c) Calcula $M_J$ y compárala con el valor aceptado, $1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$.

La constante de la tercera ley de Kepler es $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, con $M$ la masa del cuerpo central. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y semieje mayor de la órbita de la Luna $a = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$.

1. a) Calcula, en unidades del Sistema Internacional, la constante $C$ para el sistema solar y para el sistema Tierra–Luna.
2. b) Razona a qué se debe la enorme diferencia entre ambos valores.
3. c) Utiliza la constante del sistema Tierra–Luna para predecir el periodo orbital de la Luna y exprésalo en días.

Ceres, el mayor cuerpo del cinturón de asteroides, tiene un periodo orbital de $T = 4,60$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita de Ceres, en $\text{UA}$.
2. b) Expresa su distancia media al Sol en metros, usando notación científica.

Un cometa tiene un semieje mayor doble que el de otro cometa del mismo sistema.

1. a) Demuestra, a partir de $T^2 = a^3$, que si $a' = 2\cdot a$ entonces $T' = \sqrt{8}\cdot T \approx 2,83\cdot T$.
2. b) Un asteroide orbita el Sol con $a = 2\ \text{UA}$. Calcula su periodo, en años.
3. c) Razona, sin hacer nuevos cálculos, si un planeta situado a la mitad de distancia del Sol que la Tierra tendría un año más largo o más corto que el terrestre.

El cometa Halley tiene un periodo de $T = 76$ años y pasa por el perihelio a $r_p = 0,586\ \text{UA}$ del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas. La figura muestra su órbita alargada (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor de su órbita, en $\text{UA}$.
2. b) Teniendo en cuenta que $a = \frac{r_p + r_a}{2}$, calcula la distancia del afelio, $r_a$.
3. c) Aplicando la conservación del momento angular, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcula el cociente $\frac{v_p}{v_a}$ y explica por qué el Halley solo es observable desde la Tierra durante unos meses de cada $76$ años.

Mercurio tiene la órbita planetaria más excéntrica del sistema solar: $a = 0,387\ \text{UA}$ y $e = 0,206$. Las distancias al Sol en el perihelio y en el afelio son $r_p = a\cdot(1 - e)$ y $r_a = a\cdot(1 + e)$.

1. a) Calcula $r_p$ y $r_a$, en $\text{UA}$.
2. b) Aplicando la conservación del momento angular, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcula el cociente $\frac{v_p}{v_a}$.
3. c) Para la Tierra ese cociente vale $1,034$. Compara ambos resultados y explica qué papel juega la excentricidad en la variación de la velocidad orbital.

Para viajar de la Tierra a Marte con el menor consumo de combustible se utiliza una órbita de transferencia de Hohmann: una elipse con el perihelio en la órbita terrestre ($1\ \text{UA}$) y el afelio en la órbita marciana ($1,524\ \text{UA}$). Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas. El esquema muestra la órbita de transferencia:

1. a) Calcula el semieje mayor de la elipse de transferencia.
2. b) Calcula el periodo completo de esa elipse, en años.
3. c) El viaje de ida dura medio periodo. Calcula su duración en días ($1$ año $= 365,25$ días) y razona por qué las misiones a Marte solo pueden lanzarse en determinadas ventanas que se repiten cada $26$ meses.

Se descubre un exoplaneta que orbita una estrella de masa $M_E = 4\cdot M_S$ (cuatro veces la masa del Sol) con un semieje mayor $a = 1\ \text{UA}$, igual que la Tierra.

1. a) Partiendo de $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M}$, demuestra que $\frac{T^2}{T_{Tierra}^2} = \frac{a^3}{a_{Tierra}^3}\cdot\frac{M_S}{M_E}$.
2. b) Calcula el periodo del exoplaneta, en años terrestres.
3. c) Explica por qué en este caso no se puede aplicar directamente la relación simplificada $T^2 = a^3$ válida para el sistema solar.