Ejercicios: El movimiento armónico simple

Un columpio oscila libremente tras un empujón. Contando con un cronómetro, completa $15$ oscilaciones completas en $30\ \text{s}$. La figura muestra el columpio en tres posiciones de su oscilación.

1. a) Define, aplicándolos al columpio, los conceptos de elongación, amplitud, periodo y frecuencia.
2. b) Calcula el periodo $T$ y la frecuencia $f$ de la oscilación.

La elongación de una masa que oscila en un muelle horizontal viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por $x = 0,1 \cdot \sen(20 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) ¿Cuánto valen la amplitud $A$ y la frecuencia angular $\omega$?
2. b) Calcula el periodo $T$ y la frecuencia $f$ del movimiento, recordando que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$ y $f = \frac{1}{T}$.

Un oscilador describe un movimiento armónico simple de ecuación $x = 0,08 \cdot \sen(\pi \cdot t)$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Calcula la elongación en el instante $t = 0,5\ \text{s}$.
2. b) ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar la elongación? ¿En qué instantes se alcanza?

El periodo de un oscilador masa-muelle es $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$. En el laboratorio, un bloque de $m = 0,25\ \text{kg}$ oscila unido a un muelle de constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. Calcula el periodo de la oscilación.

El periodo de un péndulo simple es $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$. La lámpara del vestíbulo de un museo cuelga de un cable de $l = 1\ \text{m}$ de longitud y oscila ligeramente tras una corriente de aire (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Calcula su periodo de oscilación.

Un electrocardiograma registra un ritmo cardiaco de $75$ latidos por minuto, perfectamente regular. La figura representa la señal registrada.

1. a) Calcula la frecuencia del latido, en $\text{Hz}$.
2. b) Calcula su periodo, en segundos: ¿cuánto tiempo pasa entre dos latidos consecutivos?

La tensión de la red eléctrica española oscila con una frecuencia de $50\ \text{Hz}$. Calcula su frecuencia angular $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$, en $\text{rad/s}$.

Dos osciladores idénticos vibran según las ecuaciones, en unidades del Sistema Internacional, $x_1 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t)$ y $x_2 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$.

1. a) ¿Qué magnitudes tienen en común los dos movimientos?
2. b) Calcula la elongación inicial (en $t = 0$) de cada uno y explica en qué se diferencian.

El vástago de un motor de combustión vibra según la ecuación $x = 0,04 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Indica el valor de la amplitud $A$, la frecuencia angular $\omega$ y la fase inicial $\varphi_0$.
2. b) Calcula el periodo $T$ y la frecuencia $f$.
3. c) Calcula la elongación en $t = 0,1\ \text{s}$ e interpreta su signo.

La aguja de una máquina de coser sube y baja con un movimiento armónico simple de amplitud $6\ \text{cm}$ y periodo $0,5\ \text{s}$. En el instante inicial la aguja pasa por la posición de equilibrio moviéndose en el sentido positivo, de modo que $\varphi_0 = 0$.

1. a) Calcula la frecuencia angular $\omega$.
2. b) Escribe la ecuación completa de la elongación, $x = A \cdot \sen(\omega \cdot t + \varphi_0)$, expresando la amplitud en metros.

Un punto del centro de una cuerda de guitarra vibra con un movimiento armónico simple de amplitud $A = 2\ \text{mm}$ y frecuencia $f = 440\ \text{Hz}$ (la nota «la» de afinación). La velocidad máxima de un oscilador es $v_{max} = A \cdot \omega$.

1. a) Calcula la frecuencia angular $\omega$ de la vibración.
2. b) Expresa la amplitud en metros y calcula la velocidad máxima del punto de la cuerda.

En la Estación Espacial Internacional no se puede usar una báscula para medir la masa de los astronautas. En su lugar, el astronauta se sienta en un asiento unido a un muelle de constante $k = 1000\ \text{N/m}$ y se mide el periodo de oscilación del conjunto, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.

1. a) Si el periodo medido es $T = 1,6\ \text{s}$, despeja la masa de la fórmula y calcula la masa del astronauta (desprecia la del asiento).
2. b) Explica por qué este método funciona en ingravidez y una báscula no.

Un reloj de pie antiguo funciona con un péndulo cuyo periodo debe ser exactamente $T = 2,0\ \text{s}$: cada oscilación completa hace avanzar un diente del mecanismo (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El péndulo se muestra en la figura.

1. a) Despeja la longitud de la fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$.
2. b) Calcula la longitud que debe tener el péndulo.

En un taller se ensaya un muelle de constante $k = 250\ \text{N/m}$ uniéndole una masa de $0,4\ \text{kg}$ y haciéndolo oscilar.

1. a) Calcula el periodo de la oscilación, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
2. b) Calcula la frecuencia, en $\text{Hz}$.

Un péndulo de $l = 1,5\ \text{m}$ de longitud forma parte de un experimento que se instalará en una base lunar. La gravedad en la superficie de la Luna es $g_L = 1,6\ \text{m/s}^2$ y en la Tierra $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el periodo del péndulo en la Tierra.
2. b) Calcula el periodo en la Luna.
3. c) ¿Cuántas veces más lento oscila en la Luna? Calcula el cociente de ambos periodos.

Una boya de captación de energía undimotriz oscila verticalmente con las olas según la ecuación $x = 0,1 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot t)$, en unidades del Sistema Internacional.

1. a) Calcula el periodo y la frecuencia de la oscilación.
2. b) Calcula la elongación en el instante $t = \frac{1}{12}\ \text{s}$.
3. c) ¿En qué instante alcanza por primera vez su altura máxima?

En una pista de aire sin rozamiento, un carro de $m = 0,25\ \text{kg}$ está unido a un muelle de constante $k = 400\ \text{N/m}$. Se separa el carro $10\ \text{cm}$ de la posición de equilibrio y se suelta en reposo en el instante $t = 0$. El montaje se muestra en la figura.

1. a) Calcula la frecuencia angular, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, y el periodo de la oscilación.
2. b) Razona por qué la fase inicial es $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$: ¿cuánto vale la elongación en $t = 0$?
3. c) Escribe la ecuación completa de la elongación, en unidades del Sistema Internacional.
4. d) Calcula la velocidad máxima del carro, $v_{max} = A \cdot \omega$.

La aguja registradora de un sismógrafo oscila según la ecuación $x = 0,06 \cdot \sen(8 \cdot \pi \cdot t)$, en unidades del Sistema Internacional. La velocidad en el movimiento armónico simple es $v = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)$. La gráfica de la elongación en función del tiempo es la de la figura.

1. a) Calcula el primer instante en el que la elongación vale $x = 0,03\ \text{m}$ (la mitad de la amplitud).
2. b) Calcula la velocidad de la aguja en ese instante.
3. c) ¿En qué posición la velocidad es máxima y cuánto vale?

El péndulo de Foucault instalado en el Panteón de París tiene una longitud de $l = 67\ \text{m}$ (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula su periodo de oscilación.
2. b) Calcula cuántas oscilaciones completas realiza en una hora.
3. c) Foucault usó una esfera de $28\ \text{kg}$. Justifica, a partir de la fórmula del periodo, por qué la masa de la esfera no influye en la medida y por qué interesa construir el péndulo lo más largo posible para observar el fenómeno con comodidad.

Se quiere diseñar un péndulo de periodo $T = 2,00\ \text{s}$ para un experimento que funcionará en la superficie de Marte, donde $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la longitud que debe tener el péndulo en Marte.
2. b) Si ese mismo péndulo se trajera de vuelta a la Tierra ($g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$), ¿cuál sería su periodo?
3. c) Los geólogos usan péndulos de precisión para medir $g$ en distintos puntos de la Tierra y detectar anomalías del subsuelo. Explica, a partir de la fórmula, por qué el periodo de un péndulo revela el valor de $g$ y qué magnitudes hay que medir con más cuidado.

En el laboratorio se montan dos osciladores con el mismo muelle, de constante $k = 100\ \text{N/m}$: el oscilador A lleva una masa de $0,1\ \text{kg}$ y el oscilador B una masa de $0,4\ \text{kg}$. La figura muestra los dos montajes.

1. a) Calcula el periodo de cada oscilador y su cociente $\frac{T_B}{T_A}$.
2. b) Sin repetir los cálculos, razona con la fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ qué relación hay entre ese cociente y el cociente de masas $\frac{m_B}{m_A}$.
3. c) ¿Qué constante elástica debería tener el muelle del oscilador B para que oscilara con el mismo periodo que el A? Justifícalo.

Un grupo de estudiantes mide la gravedad con un péndulo. La longitud medida es $l = 1,20\ \text{m}$ y cronometran $20$ oscilaciones completas en $44,0\ \text{s}$.

1. a) Calcula el periodo del péndulo.
2. b) Despeja $g$ de la fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ y calcula su valor experimental.
3. c) Compara con el valor aceptado $g = 9,81\ \text{m/s}^2$ y explica por qué se cronometran $20$ oscilaciones y no una sola para obtener el periodo.

Se cuelga una masa de $m = 0,5\ \text{kg}$ de un muelle vertical de constante $k = 200\ \text{N/m}$ (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El montaje se muestra en la figura.

1. a) Calcula cuánto se estira el muelle hasta alcanzar la posición de equilibrio, donde la fuerza elástica $k \cdot x_0$ iguala al peso $m \cdot g$.
2. b) Se separa ligeramente la masa de esa posición y se suelta. Calcula el periodo de la oscilación vertical, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
3. c) Explica por qué la gravedad no modifica el periodo respecto al mismo oscilador dispuesto en horizontal: ¿qué es lo único que cambia la gravedad en la oscilación vertical?

Un puente colgante tiene una frecuencia propia de oscilación de $0,5\ \text{Hz}$. El viento, al rodear los pilares, genera remolinos que empujan lateralmente el puente una vez cada $2,0\ \text{s}$. La figura muestra cómo depende la amplitud de la oscilación forzada de la frecuencia de los empujes.

1. a) Calcula el periodo y la frecuencia angular propios del puente.
2. b) Calcula la frecuencia de los empujes del viento y compárala con la frecuencia propia del puente.
3. c) Explica qué es la resonancia y por qué es peligrosa en esta situación, aunque cada empuje sea débil.
4. d) Propón una modificación de diseño que evite el problema y justifícala indicando qué magnitud física cambia.