Ejercicios: La energía en el movimiento oscilatorio

Una masa oscila horizontalmente unida a un muelle, sin rozamiento, entre las posiciones $x = -A$ y $x = +A$. La figura muestra el oscilador con esas posiciones marcadas.

1. a) ¿En qué posición o posiciones es máxima la energía potencial elástica?
2. b) ¿En qué posición es máxima la energía cinética?
3. c) ¿En qué posiciones la energía cinética es nula? Justifica tus respuestas con las fórmulas $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ y $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Las poleas y el arco de un arco de tiro deportivo se comportan en conjunto como un muelle de constante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Al tensarlo, la cuerda se desplaza $x = 0,1\ \text{m}$. Calcula la energía potencial elástica almacenada, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

La energía mecánica de un oscilador masa-muelle es $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, donde $A$ es la amplitud. En el laboratorio, un oscilador tiene $k = 200\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0,05\ \text{m}$. Calcula su energía mecánica.

El vibrador de un teléfono móvil almacena una energía mecánica de $2\ \text{J}$ mientras oscila.

1. a) ¿Cuánto vale su energía cinética máxima? ¿En qué posición se alcanza?
2. b) ¿Cuánto vale su energía potencial elástica máxima? ¿En qué posiciones se alcanza?
3. c) ¿Qué relación hay entre esos dos valores y la energía mecánica? Justifícalo.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ unido a un muelle pasa por la posición de equilibrio con una velocidad de $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula su energía cinética en ese punto.
2. b) ¿Cuánto vale en ese punto su energía potencial elástica? ¿Y su energía mecánica? Justifícalo.

En una cuna de Newton (el péndulo de bolas de acero de los despachos), una bola de $m = 0,3\ \text{kg}$ se eleva $h = 0,2\ \text{m}$ sobre su punto más bajo antes de soltarla (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra la bola elevada, a punto de soltarse.

1. a) Calcula su energía potencial gravitatoria respecto al punto más bajo, $E_p = m \cdot g \cdot h$.
2. b) ¿En qué se transformará esa energía al soltar la bola? ¿Cuánto valdrá la energía cinética al pasar por el punto más bajo?

Un oscilador masa-muelle tiene una energía mecánica constante $E_m$.

1. a) Describe cómo varía la energía potencial elástica $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ con la posición: ¿qué forma tiene su gráfica frente a $x$ entre $-A$ y $+A$?
2. b) La energía cinética en cada punto es $E_c = E_m - E_p$. Describe cómo varía $E_c$ con la posición.
3. c) ¿Qué representa el punto donde se cruzan las gráficas de $E_c$ y $E_p$? Dibuja en tu cuaderno las tres gráficas ($E_p$, $E_c$ y $E_m$) frente a la posición.

Una gimnasta salta sobre una cama elástica y oscila verticalmente, sin perder contacto con la lona, entre un punto más alto y un punto más bajo.

1. a) ¿En qué punto de la oscilación es máxima su energía potencial gravitatoria?
2. b) ¿En qué punto es máxima la energía potencial elástica almacenada por la lona?
3. c) ¿Dónde es máxima su energía cinética? Justifica las tres respuestas por el intercambio de energías.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ oscila sobre una mesa sin rozamiento unido a un muelle de $k = 400\ \text{N/m}$, con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$. La figura muestra cómo se reparte la energía del oscilador en función de la posición.

1. a) Calcula la energía mecánica del oscilador, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcula la energía potencial elástica cuando la elongación es $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Calcula la energía cinética en ese mismo punto y, a partir de ella, la velocidad del carro.

Un oscilador masa-muelle oscila con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$. Se quiere encontrar la posición donde la energía cinética y la energía potencial elástica son iguales.

1. a) Plantea la condición $E_c = E_p$ teniendo en cuenta que $E_c + E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, y demuestra que en ese punto $E_p = \frac{1}{4} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Despeja la elongación y calcula su valor numérico.
3. c) Comprueba que el resultado es menor que la amplitud: ¿es razonable?

La membrana de un altavoz se puede modelar como un oscilador masa-muelle de masa $m = 0,4\ \text{kg}$ y constante elástica efectiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra con amplitud $A = 0,08\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica de la vibración.
2. b) Toda esa energía es cinética al pasar por el equilibrio: calcula la velocidad máxima de la membrana.
3. c) Comprueba que coincide con el valor que da la expresión $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$.

La bola de acero de una máquina de demolición cuelga de un cable de $l = 2\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo cuando el cable forma un ángulo de $60^\circ$ con la vertical (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). La altura que desciende respecto al punto más bajo es $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. La situación se muestra en la figura.

1. a) Calcula esa altura $h$.
2. b) Aplica la conservación de la energía, $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$, y calcula la velocidad de la bola al pasar por el punto más bajo.
3. c) ¿Depende esa velocidad de la masa de la bola? Justifícalo.

El muelle del lanzador de un pinball tiene una constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. La figura muestra cómo crece la energía potencial elástica con la compresión.

1. a) Calcula la energía potencial elástica almacenada cuando se comprime $0,1\ \text{m}$ y cuando se comprime $0,2\ \text{m}$.
2. b) ¿Qué energía adicional hay que aportar para pasar de una compresión a la otra?
3. c) ¿Por qué no vale con decir que «el doble de compresión es el doble de energía»? Razona con la fórmula.

El tambor de una lavadora, durante el centrifugado, vibra con una energía mecánica de $1,44\ \text{J}$. Los amortiguadores que lo sujetan se comportan como un muelle de constante efectiva $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Despeja la amplitud de la fórmula $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcula la amplitud de la vibración, en metros, y exprésala también en centímetros.

El martillo de un timbre eléctrico oscila con amplitud $A = 5\ \text{cm}$ impulsado por un muelle de constante $k = 800\ \text{N/m}$; su masa es $m = 0,1\ \text{kg}$.

1. a) Expresa la amplitud en metros y calcula la energía mecánica del oscilador.
2. b) Calcula la energía cinética máxima del martillo.
3. c) Calcula la velocidad máxima del martillo.

Una persona se balancea en una liana de $l = 2\ \text{m}$ y pasa por el punto más bajo a $3\ \text{m/s}$ (toma $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura muestra el balanceo.

1. a) Calcula la altura máxima que alcanza sobre el punto más bajo, aplicando $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h$.
2. b) La altura y el ángulo máximo $\theta$ con la vertical cumplen $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. Calcula el valor de $\cos\theta$ y deduce el ángulo máximo que alcanza la liana.

Un oscilador masa-muelle tiene $k = 100\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica y la energía potencial elástica en los puntos $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ y $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcula la energía cinética en esos mismos tres puntos.
3. c) Con esos valores, dibuja en tu cuaderno las gráficas de $E_p(x)$, $E_c(x)$ y $E_m(x)$ entre $-A$ y $+A$ y descríbelas: forma de cada curva, puntos de corte con los ejes y punto de cruce entre $E_p$ y $E_c$.
4. d) Calcula la posición exacta donde las gráficas de $E_p$ y $E_c$ se cruzan.

Un oscilador real con rozamiento pierde el $10\ \%$ de su energía mecánica en cada ciclo. Parte con una energía inicial $E_0 = 2\ \text{J}$. La figura muestra cómo decrece la amplitud de la oscilación con el tiempo.

1. a) Calcula la energía mecánica que le queda después de $5$ ciclos.
2. b) Teniendo en cuenta que $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, es decir, que la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, calcula en qué factor se ha reducido la amplitud tras esos $5$ ciclos.
3. c) ¿En qué se ha transformado la energía perdida? Explica por qué el periodo de la oscilación, sin embargo, apenas cambia aunque la amplitud disminuya (pista: ¿de qué magnitudes depende $T$?).

Un oscilador de $m = 0,2\ \text{kg}$ y $k = 50\ \text{N/m}$ oscila con amplitud $A = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calcula su energía mecánica.
2. b) Calcula la energía potencial, la energía cinética y la velocidad cuando la elongación es $x = 0,16\ \text{m}$.
3. c) Demuestra, usando $E_c = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (A^2 - x^2)$, que la velocidad es la mitad de la máxima cuando $x = A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, y calcula esa posición.

Un péndulo de demostración de laboratorio tiene una longitud $l = 1\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo formando $60^\circ$ con la vertical (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Recuerda que la altura sobre el punto más bajo es $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. La figura muestra el péndulo en las tres posiciones consideradas.

1. a) Calcula la velocidad máxima que alcanza al pasar por el punto más bajo.
2. b) Calcula su velocidad cuando el hilo forma $30^\circ$ con la vertical, aplicando la conservación de la energía entre los puntos de $60^\circ$ y $30^\circ$.
3. c) Compara las dos velocidades: ¿por qué la velocidad a $30^\circ$ es más de la mitad de la máxima aunque el ángulo sea justo la mitad?

Un oscilador de $m = 1\ \text{kg}$ y $k = 100\ \text{N/m}$ oscila primero con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$ y después con amplitud $A' = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica en cada caso y su cociente $\frac{E_m'}{E_m}$.
2. b) Calcula la velocidad máxima en cada caso y su cociente $\frac{v_{max}'}{v_{max}}$.
3. c) Generaliza el resultado: si la amplitud se multiplica por un factor $n$, ¿por qué factor se multiplican la energía mecánica y la velocidad máxima? Justifícalo con las fórmulas.

En un oscilador armónico se mide que, cuando la elongación vale $x = \frac{A}{2}$, la energía cinética es de $6\ \text{J}$.

1. a) Demuestra que en ese punto la energía potencial elástica vale la cuarta parte de la energía mecánica, es decir, $E_p = \frac{E_m}{4}$.
2. b) A partir de la medida, calcula la energía mecánica del oscilador.
3. c) Calcula la energía cinética al pasar por el equilibrio y la energía potencial en los extremos.

Una esfera de acero de $m = 2\ \text{kg}$ cuelga de una cuerda de $l = 2,5\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo formando $30^\circ$ con la vertical (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; recuerda $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$).

1. a) Calcula la energía mecánica del péndulo respecto al punto más bajo de la trayectoria.
2. b) Calcula la velocidad máxima al pasar por el punto más bajo.
3. c) Si la esfera tuviera el doble de masa y se soltara desde el mismo ángulo, ¿cómo cambiarían la energía mecánica y la velocidad máxima? Justifícalo con las fórmulas y explica por qué una de ellas no cambia.

Un juguete lanza verticalmente una bola de $m = 0,05\ \text{kg}$ mediante un muelle de constante $k = 500\ \text{N/m}$ que se comprime $x = 0,1\ \text{m}$ antes de soltarse (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El lanzamiento se muestra en la figura.

1. a) Calcula la energía potencial elástica almacenada en el muelle comprimido.
2. b) Suponiendo que toda esa energía se convierte en energía cinética de la bola, calcula su velocidad de salida.
3. c) Calcula la altura máxima que alcanzará la bola, aplicando de nuevo la conservación de la energía.
4. d) El juguete real alcanza menos altura de la calculada. Cita al menos dos causas energéticas que lo expliquen.