Ejercicios: La ecuación de ondas y su relación con el MAS

En un laboratorio se genera en una cuerda tensa una onda transversal cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0,05 \cdot \sen(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$. La figura muestra el perfil de la cuerda en un instante.

1. a) Indica los valores de la amplitud $A$, del número de onda $k$ y de la frecuencia angular $\omega$.
2. b) Razona, a partir del signo que acompaña al término en $t$ dentro de la fase, en qué sentido del eje $x$ se propaga la onda.

Un diapasón vibra y genera en el aire una onda armónica de frecuencia angular $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcula su periodo $T$, recordando que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$.
2. b) Calcula su frecuencia $f$, en $\text{Hz}$.

En una cubeta de ondas del laboratorio se generan ondas en la superficie del agua con un número de onda $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$. La figura muestra el perfil de la superficie en un instante.

1. a) Calcula la longitud de onda $\lambda$, recordando que $\lambda = \frac{2 \cdot \pi}{k}$.
2. b) Explica con tus palabras qué representa físicamente la longitud de onda observando el perfil de la superficie.

El oído humano percibe sonidos entre $20\ \text{Hz}$ y $20\ \text{kHz}$, y el sonido viaja por el aire a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la longitud de onda del sonido más grave que podemos oír usando $v = \lambda \cdot f$.
2. b) Calcula la longitud de onda del sonido más agudo que podemos oír, expresando antes $20\ \text{kHz}$ en hercios.
3. c) Razona, a la vista de los resultados, cómo varía la longitud de onda cuando aumenta la frecuencia si la velocidad no cambia.

La ecuación $y(x, t) = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$ describe una perturbación doblemente periódica: en el tiempo y en el espacio. Las dos gráficas de la figura representan esa doble periodicidad.

1. a) Si elegimos un punto fijo del medio (fijamos $x$), ¿con qué periodo oscila? Exprésalo en función de $\omega$.
2. b) Si observamos el perfil de la perturbación en un instante fijo (fijamos $t$), ¿cada qué distancia se repite? Exprésalo en función de $k$.
3. c) Explica, a partir de lo anterior, por qué se dice que el movimiento ondulatorio combina una oscilación en el tiempo con una periodicidad en el espacio.

Por un muelle espiral tenso se propaga una onda longitudinal cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0,04 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcula su frecuencia $f$ y su periodo $T$.
2. b) Calcula su longitud de onda $\lambda$.
3. c) Calcula su velocidad de propagación usando $v = \frac{\omega}{k}$.

Cuando una onda armónica atraviesa un medio, cada punto del medio oscila con un movimiento armónico simple (MAS).

1. a) Indica qué magnitudes del MAS de cada punto coinciden con las de la onda: piensa en la amplitud y en la frecuencia.
2. b) Indica qué magnitud distingue la oscilación de un punto cercano al foco de la de un punto más alejado.
3. c) Explica la diferencia entre la velocidad de oscilación de un punto del medio y la velocidad de propagación de la onda.

Una onda transversal viaja por una cuerda según la ecuación, en unidades del Sistema Internacional, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sen(5 \cdot x + 20 \cdot t)$.

1. a) Determina en qué sentido del eje $x$ se propaga la onda y justifícalo a partir del signo de la fase.
2. b) Calcula su velocidad de propagación a partir de $k$ y $\omega$.
3. c) Reescribe la ecuación cambiando lo imprescindible para que la onda viajara en el sentido positivo del eje.

Una boya oceanográfica registra el paso de un tren de olas de amplitud $1,5\ \text{m}$ y periodo $T = 4\ \text{s}$; la distancia entre dos crestas consecutivas es de $25\ \text{m}$. La figura representa el perfil de las olas.

1. a) Calcula la frecuencia angular $\omega$ y el número de onda $k$.
2. b) Calcula la velocidad de propagación de las olas usando $v = \lambda \cdot f$.
3. c) Escribe la ecuación de ondas suponiendo fase inicial nula y propagación en el sentido positivo del eje $x$.

Por una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0,02 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot x - 200 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcula la elongación del punto situado en $x = 0,5\ \text{m}$ en el instante $t = 0,01\ \text{s}$.
2. b) Indica cuál es la elongación máxima que puede alcanzar ese punto y razona si depende del punto elegido.
3. c) Calcula el periodo con el que oscila ese punto.

Para estudiar la fase de una onda sonora de $f = 85\ \text{Hz}$ que viaja por el aire a $340\ \text{m/s}$ se colocan dos micrófonos alineados con el altavoz que la emite, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula la longitud de onda del sonido.
2. b) Calcula la diferencia de fase entre las oscilaciones de dos puntos separados $1\ \text{m}$, usando $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Los micrófonos se colocan finalmente separados $2\ \text{m}$: calcula el nuevo desfase y razona si en ese caso los puntos oscilan en fase o en oposición de fase.

En una prospección geológica se genera una onda sísmica armónica de amplitud $0,01\ \text{m}$ y frecuencia $f = 10\ \text{Hz}$ que se propaga por el terreno a $6000\ \text{m/s}$ en el sentido positivo del eje $x$.

1. a) Calcula su longitud de onda y su número de onda.
2. b) Calcula su frecuencia angular.
3. c) Escribe su ecuación de ondas sabiendo que la fase inicial es $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$.

Un punto del centro de una cuerda de violín oscila con amplitud $A = 5\cdot10^{-4}\ \text{m}$ cuando la cuerda emite un la de $f = 440\ \text{Hz}$.

1. a) Calcula la frecuencia angular de la oscilación.
2. b) Sabiendo que la velocidad máxima de oscilación de un MAS es $v_{max} = A \cdot \omega$, calcula la velocidad máxima de ese punto.
3. c) La onda viaja por esa cuerda a $250\ \text{m/s}$: compara ese valor con el del apartado anterior y razona por qué ambas velocidades son tan distintas aunque se midan en la misma cuerda.

Un generador de ultrasonidos de laboratorio emite ondas de $f = 40\ \text{kHz}$ que se propagan por el aire a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Expresa la frecuencia en hercios y calcula la longitud de onda, en metros y en milímetros.
2. b) Calcula el periodo y exprésalo en segundos y en microsegundos ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
3. c) Razona, sabiendo que el oído humano percibe como mucho unos $20\ \text{kHz}$, por qué nadie oye el tono que emite el generador.

La fotografía instantánea de una cuerda muestra un perfil senoidal cuyas crestas se elevan $5\ \text{cm}$ sobre la posición de equilibrio y distan entre sí $80\ \text{cm}$; la perturbación avanza por la cuerda a $2\ \text{m/s}$. La figura muestra esa fotografía instantánea.

1. a) Determina la amplitud y la longitud de onda a partir de la descripción de la fotografía, expresándolas en metros.
2. b) Calcula la frecuencia, el periodo, la frecuencia angular y el número de onda.
3. c) Escribe la ecuación de ondas con fase inicial nula y propagación en el sentido positivo del eje $x$, con todas las magnitudes en unidades del Sistema Internacional.

Una onda transversal de amplitud $0,04\ \text{m}$ y periodo $T = 0,5\ \text{s}$ se propaga por una cuerda a $8\ \text{m/s}$ en el sentido negativo del eje $x$.

1. a) Calcula su frecuencia angular.
2. b) Calcula su longitud de onda y su número de onda.
3. c) Escribe su ecuación de ondas con fase inicial nula, cuidando el signo de la fase para que represente el sentido de propagación indicado.

Por una cuerda de laboratorio viaja una onda armónica de $f = 50\ \text{Hz}$ a $200\ \text{m/s}$. En la figura se representa el perfil de la onda con tres puntos P, Q y R señalados.

1. a) Calcula su longitud de onda.
2. b) Calcula la distancia mínima entre dos puntos de la cuerda que oscilan en fase y justifica el resultado.
3. c) Calcula la distancia mínima entre dos puntos que oscilan en oposición de fase.
4. d) Determina el desfase entre dos puntos separados $3\ \text{m}$ y describe cómo oscila uno respecto del otro.

Por una cuerda tensa se propaga en el sentido positivo del eje $x$ una onda transversal de amplitud $0,05\ \text{m}$, frecuencia angular $\omega = 20 \cdot \pi\ \text{rad/s}$ y velocidad $10\ \text{m/s}$. En el instante $t = 0$ el punto del origen alcanza su elongación máxima positiva.

1. a) Calcula el número de onda $k$.
2. b) Determina la fase inicial $\varphi_0$ imponiendo la condición $y(0, 0) = A$.
3. c) Escribe la ecuación de ondas completa.
4. d) Calcula la elongación del punto $x = 1\ \text{m}$ en el instante $t = 0,05\ \text{s}$ y razona el signo del resultado.

Un cable de acero de un banco de ensayos de vibraciones tiene una densidad lineal $\mu = 4\cdot10^{-3}\ \text{kg/m}$ y se somete a una tensión $T = 40\ \text{N}$; la velocidad de las ondas transversales en el cable es $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Se genera una onda armónica de amplitud $0,02\ \text{m}$ y frecuencia $f = 100\ \text{Hz}$ que viaja en el sentido positivo del eje $x$ con fase inicial nula.

1. a) Calcula la velocidad de propagación de la onda.
2. b) Calcula la longitud de onda, el número de onda y la frecuencia angular.
3. c) Escribe la ecuación de ondas.
4. d) Si se duplicara la tensión manteniendo la misma frecuencia, calcula las nuevas velocidad y longitud de onda, y razona por qué cambian esas magnitudes y no la frecuencia.

En un canal de olas de laboratorio se propaga en el sentido positivo del eje $x$ una onda de amplitud $0,1\ \text{m}$ y velocidad $4\ \text{m/s}$. En el instante $t = 0$ el perfil de la superficie, con las crestas separadas $2\ \text{m}$, viene dado por $y(x, 0) = 0,1 \cdot \sen(\pi \cdot x)$.

1. a) Determina $k$ y $\omega$ y escribe la ecuación de ondas completa.
2. b) Expresa la elongación del punto $x = 0,5\ \text{m}$ en función del tiempo y razona si justo después de $t = 0$ ese punto sube o baja.
3. c) Comprueba la elongación inicial del punto $x = 1\ \text{m}$ y deduce en qué sentido empieza a moverse.

En una exploración de ecografía se emplean ultrasonidos de $f = 3,5\ \text{MHz}$ que se propagan por el tejido blando a $1540\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la longitud de onda en metros y exprésala en milímetros.
2. b) El eco reflejado en una estructura interna se recibe $8\cdot10^{-5}\ \text{s}$ después de la emisión: teniendo en cuenta que el pulso recorre dos veces esa distancia, calcula la profundidad de la estructura.
3. c) Razona por qué para apreciar detalles de pocos milímetros interesa trabajar con frecuencias de megahercios en lugar de sonidos audibles.

Una onda armónica de $f = 2\ \text{Hz}$ y amplitud $0,05\ \text{m}$ viaja en el sentido positivo del eje $x$ por una cuerda ligera a $6\ \text{m/s}$ y pasa a una segunda cuerda más densa, unida a la primera, donde su velocidad es de $3\ \text{m/s}$. En el cambio de medio la frecuencia se conserva. Observa el esquema de las dos cuerdas unidas:

1. a) Calcula la longitud de onda en cada cuerda.
2. b) Escribe la ecuación de ondas en cada una de las cuerdas, con fase inicial nula.
3. c) Indica qué magnitudes se conservan y cuáles cambian al pasar de una cuerda a la otra.
4. d) Razona, pensando en cómo oscila el punto de unión entre ambas cuerdas, por qué la frecuencia no puede cambiar en ese punto.

Una onda transversal se propaga por una cuerda a $v = 50\ \text{m/s}$ con una frecuencia de $25\ \text{Hz}$.

1. a) Deriva, a partir de $y = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$, la expresión de la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda y demuestra que su valor máximo es $A \cdot \omega$.
2. b) Calcula la amplitud que debería tener la onda para que la velocidad máxima de oscilación de los puntos igualara a la velocidad de propagación.
3. c) Razona, indicando la dirección y el significado físico de cada una, por qué la velocidad de oscilación y la velocidad de propagación son magnitudes completamente distintas.

En una cuerda tensa se observa que dos puntos separados $1\ \text{m}$ oscilan siempre en fase.

1. a) Justifica que la longitud de onda solo puede tomar los valores $\lambda = \frac{1}{n}\ \text{m}$, con $n = 1, 2, 3, \dots$
2. b) Si se sabe además que $\lambda > 0,4\ \text{m}$, determina todos los valores posibles de $\lambda$.
3. c) La velocidad de propagación en la cuerda es de $100\ \text{m/s}$: calcula la frecuencia correspondiente a cada valor posible.
4. d) Propón una medida adicional que permitiera decidir cuál de los valores es el real y justifica tu propuesta.