Ejercicios: Conservación del momento angular

Una patinadora artística gira sobre el hielo con los brazos extendidos. En un momento dado recoge los brazos pegándolos al cuerpo y, sin impulsarse de nuevo, empieza a girar mucho más deprisa.

1. a) ¿Qué fuerzas exteriores actúan sobre la patinadora y por qué su momento respecto del eje de giro es prácticamente nulo?
2. b) Enuncia el principio de conservación del momento angular y aplícalo a este caso.
3. c) Al recoger los brazos, ¿qué magnitud disminuye: el momento de inercia $I$ o la velocidad angular $\omega$? Deduce por qué aumenta la otra.

Una patinadora gira con un momento de inercia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ y una velocidad angular $\omega_1 = 4\ \text{rad/s}$. Al encoger los brazos, su momento de inercia se reduce a $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. La figura resume el cambio:

1. a) Calcula su momento angular inicial, $L = I_1 \cdot \omega_1$.
2. b) Aplica la conservación del momento angular, $I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$, y calcula la velocidad angular final $\omega_2$.
3. c) Expresa el resultado como «veces más rápido»: ¿cuántas vueltas da ahora por cada vuelta que daba antes?

Un planeta describe una órbita elíptica alrededor de su estrella, que ocupa uno de los focos de la elipse. Llama $r_a$ a la distancia en el punto más alejado (afelio) y $r_p$ a la del punto más cercano (perihelio).

1. a) Justifica, por el carácter central de la fuerza gravitatoria, que el momento angular del planeta es el mismo en toda la órbita.
2. b) Escribe la igualdad de conservación entre afelio y perihelio: $m \cdot v_a \cdot r_a = m \cdot v_p \cdot r_p$.
3. c) Razona, a partir de esa igualdad, en qué punto el planeta se mueve más rápido y en cuál más despacio.

Un planeta orbita alrededor de una estrella y en el afelio se encuentra a $4 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ de ella, moviéndose a $10\ \text{km/s}$. En el perihelio la distancia se reduce a $2 \cdot 10^{11}\ \text{m}$. La figura muestra la órbita (sin escala):

1. a) Escribe la ecuación de conservación del momento angular entre afelio y perihelio.
2. b) Calcula la rapidez del planeta en el perihelio, en $\text{km/s}$.
3. c) Explica físicamente por qué ha aumentado su rapidez.

El momento angular de un cuerpo no se conserva en todas las situaciones. Contesta razonadamente:

1. a) ¿Cuál es la condición sobre el momento de las fuerzas exteriores para que el momento angular se conserve?
2. b) Una peonza gira apoyada en el suelo y al cabo de un tiempo acaba parándose: ¿se ha conservado su momento angular? ¿Qué momento de fuerza es el responsable?
3. c) Un planeta lleva millones de años girando alrededor de su estrella sin cambios apreciables: relaciona este hecho con la condición del apartado a).

El rotor principal de un helicóptero gira en un sentido y, al hacerlo, el fuselaje tiende a girar en sentido contrario; el pequeño rotor de cola es el encargado de evitarlo. El esquema muestra el helicóptero visto desde arriba:

1. a) Antes de despegar, el momento angular total del helicóptero es nulo. Aplicando la conservación del momento angular, explica por qué el fuselaje tiende a girar al ponerse en marcha el rotor principal.
2. b) ¿Qué hace el rotor de cola para impedir ese giro? Razona la respuesta.
3. c) Los helicópteros con dos rotores principales los hacen girar en sentidos opuestos: explica, con la conservación del momento angular, por qué así no necesitan rotor de cola.

Un tiovivo de feria gira con velocidad angular $\omega_1$ con todos los niños sentados cerca del centro. Cuando se desplazan a los asientos del borde, el momento de inercia total del sistema se duplica.

1. a) Escribe la ecuación de conservación del momento angular para esta situación.
2. b) Deduce, sin más datos, la velocidad angular final en función de $\omega_1$.
3. c) El tiovivo real apenas se frena porque el motor mantiene el ritmo: ¿se conserva entonces el momento angular en el tiovivo real? Razona la respuesta.

El cometa 67P, visitado por la sonda Rosetta, pasa por el perihelio a $1,86 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ del Sol y por el afelio a $8,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Escribe la conservación del momento angular entre ambos puntos y despeja el cociente $\frac{v_p}{v_a}$.
2. b) Calcula ese cociente e interprétalo: ¿cuántas veces más rápido va el cometa cerca del Sol que lejos de él?
3. c) El cometa tarda unos $6$ años y medio en dar la vuelta completa: razona en qué parte de la órbita pasa la mayor parte de ese tiempo.

La Tierra pasa por el afelio, su punto más alejado del Sol, a $1,521 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ con una rapidez de $29,3\ \text{km/s}$; por el perihelio pasa a $1,471 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservación del momento angular y calcula la rapidez de la Tierra en el perihelio, en $\text{km/s}$.
2. b) Halla la diferencia entre ambas rapideces y comenta si es grande o pequeña en términos relativos.
3. c) En enero la Tierra está en el perihelio y aun así es invierno en el hemisferio norte: a la vista de los datos, comenta por qué las estaciones no se deben a la distancia al Sol.

Mercurio es el planeta con la órbita más alargada del sistema solar: pasa por el perihelio a $4,6 \cdot 10^{10}\ \text{m}$ del Sol con una rapidez de $59\ \text{km/s}$ y por el afelio a $7,0 \cdot 10^{10}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservación del momento angular y calcula la rapidez de Mercurio en el afelio, en $\text{km/s}$.
2. b) Expresa ambas rapideces en $\text{m/s}$, en notación científica.
3. c) Calcula el cociente $\frac{v_p}{v_a}$ y el de distancias $\frac{r_a}{r_p}$: comprueba que coinciden y explica por qué deben hacerlo.

Una saltadora de trampolín inicia un salto mortal girando a una vuelta por segundo con el cuerpo extendido, con un momento de inercia de $12\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. Al agruparse en el aire, su momento de inercia se reduce a $4\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$.

1. a) Expresa la velocidad angular inicial en $\text{rad/s}$ (una vuelta equivale a $2 \cdot \pi\ \text{rad}$).
2. b) Aplica la conservación del momento angular y calcula la velocidad angular final, en $\text{rad/s}$.
3. c) Exprésala en vueltas por segundo y explica por qué las gimnastas se agrupan para dar varias volteretas y se estiran antes de llegar al agua.

Un niño de $30\ \text{kg}$ corre a $3\ \text{m/s}$ en dirección tangente al borde de un tiovivo de $2\ \text{m}$ de radio y salta sobre él, quedándose agarrado al borde. El tiovivo estaba en reposo y su momento de inercia es $I = 400\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. Considera al niño una masa puntual. El esquema muestra la situación vista desde arriba:

1. a) Calcula el momento angular del niño respecto del eje del tiovivo justo antes de saltar, $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcula el momento de inercia total después del salto, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
3. c) Aplica la conservación del momento angular y calcula la velocidad angular con la que empieza a girar el conjunto.

Cuando una estrella agota su combustible, su núcleo puede colapsar conservando prácticamente su momento angular. Modela el núcleo como una esfera cuyo momento de inercia es proporcional al cuadrado de su radio, $I \propto R^2$. La figura resume el colapso:

1. a) Si el radio del núcleo se reduce a la mitad, razona en qué factor cambia su momento de inercia.
2. b) Aplica la conservación del momento angular y deduce en qué factor cambia su velocidad angular.
3. c) Si inicialmente el núcleo giraba con un período de $10\ \text{h}$, calcula su período de giro final.

El cometa Halley cruza el perihelio a $8,8 \cdot 10^{10}\ \text{m}$ del Sol con una rapidez de $54,5\ \text{km/s}$; en el afelio se aleja hasta $5,2 \cdot 10^{12}\ \text{m}$.

1. a) Calcula la rapidez del cometa en el afelio aplicando la conservación del momento angular, en $\text{km/s}$.
2. b) Expresa esa rapidez en $\text{m/s}$, en notación científica.
3. c) La masa del cometa no aparece en el cálculo: justifica por qué se puede cancelar en la ecuación de conservación.

En un laboratorio se dispara un dardo de $0,05\ \text{kg}$ a $40\ \text{m/s}$ que se clava en el borde de un disco horizontal de $0,25\ \text{m}$ de radio, libre de girar alrededor de su eje vertical. El disco estaba en reposo y su momento de inercia es $I = 0,2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. El dardo impacta en dirección tangente al borde; desprecia el momento de inercia del dardo clavado.

1. a) Calcula el momento angular del dardo respecto del eje del disco justo antes del impacto.
2. b) Justifica que en el choque se conserva el momento angular aunque no se conserve la energía cinética, por ser un choque inelástico.
3. c) Calcula la velocidad angular del disco con el dardo clavado.

Un giroscopio es una rueda que gira a gran velocidad angular alrededor de su eje. Los satélites y la Estación Espacial Internacional llevan ruedas de reacción basadas en este principio para orientarse sin gastar combustible.

1. a) El vector $\vv{L}$ de una rueda que gira libremente en el espacio se conserva en módulo, dirección y sentido: explícalo a partir del momento de las fuerzas exteriores.
2. b) Deduce por qué un giroscopio mantiene fija la orientación de su eje en el espacio y qué utilidad tiene eso como referencia de navegación.
3. c) Si una rueda de reacción del satélite aumenta su velocidad de giro en un sentido, ¿qué le ocurre al resto del satélite? Razona la respuesta con la conservación del momento angular total.

El exoplaneta HD 80606 b tiene una órbita muy alargada: en el punto más cercano a su estrella pasa a $4,5 \cdot 10^{9}\ \text{m}$ de ella con una rapidez de $1,2 \cdot 10^{5}\ \text{m/s}$, y en el más lejano se aleja hasta $1,35 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Justifica que el momento angular del planeta se conserva en toda la órbita.
2. b) Calcula su rapidez en el punto más lejano, en notación científica.
3. c) Calcula el cociente de distancias $\frac{r_{lejos}}{r_{cerca}}$ y compáralo con el cociente de rapideces: ¿qué relación hay entre ambos?
4. d) El planeta tarda unos $111$ días en dar la vuelta completa, pero pasa la mayor parte del tiempo lejos de su estrella: explica este hecho con la conservación del momento angular.

Una patinadora gira con un momento de inercia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ y una velocidad angular $\omega_1 = 6\ \text{rad/s}$. Al recoger los brazos, su momento de inercia queda $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. La energía cinética de rotación vale $E_c = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2$.

1. a) Calcula la velocidad angular final aplicando la conservación del momento angular.
2. b) Calcula la energía cinética de rotación inicial y final.
3. c) Comprueba que la energía final es mayor que la inicial: ¿de dónde ha salido esa energía extra si nadie empuja a la patinadora desde fuera? Razona la respuesta pensando en el trabajo que realizan sus músculos al acercar los brazos al eje.

El núcleo de una estrella gigante, de radio $R_1 = 2 \cdot 10^{8}\ \text{m}$, gira con un período de $20\ \text{h}$. Al agotarse su combustible colapsa y forma una estrella de neutrones de radio $R_2 = 1 \cdot 10^{4}\ \text{m}$, conservando su momento angular. Modela el núcleo como una esfera, $I \propto R^2$.

1. a) Escribe la ecuación de conservación $I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$ en función de los radios y deduce el factor $\frac{\omega_2}{\omega_1}$.
2. b) Calcula ese factor con los datos del enunciado.
3. c) Expresa el período inicial en segundos y calcula el período final de la estrella de neutrones, en notación científica.
4. d) Los púlsares reales giran con períodos de milésimas de segundo: comenta si tu resultado es compatible y qué supone sobre la violencia del colapso estelar.

Una plataforma giratoria de un parque ($I = 100\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$) gira libremente a $\omega_1 = 2\ \text{rad/s}$ con un niño de $40\ \text{kg}$ sentado en el borde, a $1,5\ \text{m}$ del eje (considéralo una masa puntual). El niño se arrastra despacio hasta el centro de la plataforma.

1. a) Calcula el momento de inercia total inicial, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
2. b) Calcula el momento angular inicial del sistema.
3. c) Con el niño en el centro, donde su momento de inercia es despreciable, calcula la velocidad angular final de la plataforma.
4. d) Si el niño volviera al borde, ¿recuperaría la plataforma su velocidad inicial? Justifícalo y comenta qué le responderías a quien afirme que «la plataforma se queda para siempre girando más rápido».

El sistema Tierra-Luna conserva su momento angular total casi a la perfección. Por el efecto de las mareas, la rotación de la Tierra se frena: el día se alarga unos $2\ \text{ms}$ por siglo, y la Luna se aleja de nosotros unos $3,8\ \text{cm}$ al año.

1. a) El momento angular total del sistema es la suma del de rotación de la Tierra y del orbital de la Luna: escribe esa suma indicando cada término.
2. b) Si el momento angular de rotación de la Tierra disminuye, razona qué debe ocurrir con el momento angular orbital de la Luna para que el total se conserve.
3. c) El momento angular orbital de la Luna vale $m \cdot v \cdot r$: explica por qué alejarse (aumentar $r$) aumenta ese momento aunque la Luna se mueva algo más despacio (en órbita circular $v$ decrece solo como $\frac{1}{\sqrt{r}}$, mientras que $r$ crece).
4. d) Extrapola la situación a muy largo plazo: ¿qué ocurrirá con la duración del día terrestre y con la distancia a la Luna si el proceso continúa?

Un satélite describe una órbita circular de $r_1 = 7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. Para pasar a una órbita más alta enciende brevemente el motor en la dirección del movimiento (empuje tangencial) y aumenta su rapidez un 20 %. El esquema muestra la órbita y el encendido del motor:

1. a) Calcula el momento angular por unidad de masa antes del encendido, $\frac{L}{m} = v \cdot r$.
2. b) ¿Es el empuje del motor una fuerza central? ¿Se conserva el momento angular durante el encendido? Razona ambas respuestas.
3. c) Calcula la nueva rapidez y el nuevo momento angular por unidad de masa justo después del encendido.
4. d) Con el motor ya apagado, el satélite recorre una órbita elíptica alejándose del punto de encendido: describe, con la conservación del momento angular, cómo evolucionan su rapidez y su distancia al centro de la Tierra hasta alcanzar el punto más alto.

La Estación Espacial Internacional (momento de inercia total $I_{EEI} = 1 \cdot 10^{8}\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$) se orienta con ruedas de reacción: volantes de inercia internos de $I_r = 100\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ cada una. Supón la estación inicialmente en reposo angular, con las ruedas paradas, y desprecia el momento de inercia de las ruedas frente al de la estación.

1. a) ¿Cuánto vale el momento angular total del sistema estación más ruedas en ese estado inicial?
2. b) Una rueda se pone a girar a $\omega_r = 300\ \text{rad/s}$. Aplicando la conservación del momento angular total, calcula la velocidad angular con la que empieza a girar la estación en sentido contrario.
3. c) Expresa el resultado en vueltas por hora y comenta si el método permite maniobras de orientación lentas pero controladas, sin gastar combustible.

Un patinador gira sobre hielo con una mancuerna de $2\ \text{kg}$ en cada mano y los brazos extendidos, a $0,8\ \text{m}$ del eje de giro, con $\omega_1 = 5\ \text{rad/s}$. El momento de inercia de su propio cuerpo (con los brazos) es $I_p = 3\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. En un momento dado suelta las mancuernas, sin lanzarlas: simplemente abre las manos.

1. a) Calcula el momento de inercia total inicial, sumando el del patinador y el de las dos mancuernas, tratadas como masas puntuales a $0,8\ \text{m}$ del eje.
2. b) Calcula el momento angular total inicial.
3. c) Una vez libres, las mancuernas se mueven en línea recta y se llevan consigo su momento angular respecto del eje: calcula qué parte del momento angular inicial correspondía a las mancuernas y deduce la velocidad angular final del patinador.
4. d) Compara el resultado con lo que habría ocurrido si hubiera recogido los brazos sin soltar nada: ¿es el mismo efecto? Justifícalo.