Ejercicios: Momento angular y fuerzas centrales

En el laboratorio de un hospital, una centrífuga hace girar un tubo de ensayo de $0,02\ \text{kg}$ que describe una circunferencia de $0,15\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $9\ \text{m/s}$. El esquema muestra el giro visto desde arriba:

1. a) Escribe la expresión del momento angular de una partícula respecto de un punto, $L = m \cdot v \cdot r$, válida cuando la velocidad es perpendicular al radio.
2. b) Calcula el momento angular del tubo respecto del eje de giro, expresado en $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

Una partícula de un simulador de vuelo describe en la pantalla una circunferencia en sentido antihorario alrededor del punto O.

1. a) Escribe la definición vectorial del momento angular, $\vv{L} = \vv{r} \times \vv{p}$, e indica qué representan $\vv{r}$ y $\vv{p} = m \cdot \vv{v}$.
2. b) Dibuja en tu cuaderno la circunferencia y los vectores $\vv{r}$, $\vv{v}$ y $\vv{p}$ en un punto cualquiera y, aplicando la regla de la mano derecha al producto vectorial, deduce la dirección y el sentido de $\vv{L}$ respecto del plano de la pantalla.

Una atleta hace girar una honda: una piedra de $0,1\ \text{kg}$ describe una circunferencia horizontal de $0,8\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $12\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el momento lineal de la piedra, $p = m \cdot v$.
2. b) Calcula su momento angular respecto del centro de la circunferencia, $L = m \cdot v \cdot r$.

El momento angular de una partícula se calcula como $L = m \cdot v \cdot r$.

1. a) A partir de las unidades de masa, velocidad y distancia, deduce la unidad del momento angular en el Sistema Internacional.
2. b) Comprueba que esa unidad equivale a $\text{J} \cdot \text{s}$ (recuerda que $1\ \text{J} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$).
3. c) A partir de la fórmula, explica qué le ocurre al momento angular de una partícula si se duplica su rapidez sin cambiar su trayectoria.

Un nanosatélite de $4\ \text{kg}$ describe una órbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radio alrededor de la Tierra con una rapidez de $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. El esquema muestra la órbita:

1. a) Calcula su momento angular respecto del centro de la Tierra, expresando el resultado en notación científica.
2. b) Indica la dirección y el sentido del vector $\vv{L}$ respecto del plano de la órbita.

Una fuerza es central cuando su dirección pasa siempre por un punto fijo llamado centro de fuerzas. Indica cuáles de las siguientes fuerzas son centrales y cuáles no, razonando cada respuesta:

1. a) La atracción gravitatoria del Sol sobre un planeta.
2. b) La tensión de la cuerda de una bola que gira atada a un poste.
3. c) La fuerza eléctrica que el núcleo de un átomo ejerce sobre un electrón.
4. d) El rozamiento del aire sobre un satélite artificial en órbita baja.
5. e) El empuje del motor de un cohete que acelera en la dirección del movimiento.

En el modelo atómico de Bohr, el electrón de un átomo de hidrógeno describe una órbita circular de $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$ de radio con una rapidez de $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ (masa del electrón: $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$). El esquema representa el modelo:

1. a) Calcula el momento angular del electrón respecto del núcleo, en notación científica y con dos cifras significativas.
2. b) Indica qué fuerza actúa como fuerza centrípeta en este caso y justifica que se trata de una fuerza central.

El momento de una fuerza respecto de un punto es $\vv{M} = \vv{r} \times \vv{F}$, y su módulo vale $M = r \cdot F \cdot \sen\theta$, donde $\theta$ es el ángulo entre $\vv{r}$ y $\vv{F}$. La figura muestra los vectores y el ángulo:

1. a) Razona cuánto vale el momento de una fuerza central respecto del centro de fuerzas: ¿cuánto vale el ángulo $\theta$ entre el vector de posición y la fuerza?
2. b) La variación del momento angular cumple $\frac{\Delta \vv{L}}{\Delta t} = \vv{M}$. Deduce qué le ocurre al momento angular de un cuerpo sometido únicamente a una fuerza central.
3. c) Pon dos ejemplos de movimientos reales en los que se cumpla lo anterior.

La nave Orión, de $2,5 \cdot 10^{4}\ \text{kg}$, pasa por el punto más cercano a la Luna a $2 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de su centro con una rapidez de $1,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, en una dirección que forma $30^\circ$ con la recta que la une con la Luna ($\sen 30^\circ = 0,5$). La figura muestra el momento de máximo acercamiento:

1. a) Escribe la expresión general del módulo del momento angular, $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$, y explica el significado de cada término.
2. b) Calcula el momento angular de la nave respecto del centro de la Luna.
3. c) Si la nave pasara por el mismo punto con la velocidad apuntando directamente hacia la Luna, ¿cuánto valdría su momento angular? Razona la respuesta.

La Tierra describe una órbita prácticamente circular de $1,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ de radio alrededor del Sol con una rapidez de $29,8\ \text{km/s}$ (masa de la Tierra: $5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$).

1. a) Expresa la rapidez en $\text{m/s}$, en notación científica.
2. b) Calcula el momento angular orbital de la Tierra respecto del Sol, con tres cifras significativas.
3. c) Indica la dirección del vector $\vv{L}$ respecto del plano de la órbita y si este cambia a lo largo del año.

En la prueba de lanzamiento de martillo, la bola de $7,26\ \text{kg}$ gira con una rapidez de $25\ \text{m/s}$ y su momento angular respecto del eje de giro vale $290\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

1. a) Despeja el radio de giro de la expresión $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcula el radio de giro de la bola, con dos cifras significativas.
3. c) Compara el resultado con la longitud del cable reglamentario, que es de unos $1,2\ \text{m}$, y explica a qué se debe la diferencia.

Dos cuerpos de prueba, A y B, giran en el laboratorio alrededor del mismo eje. El cuerpo A tiene una masa de $0,3\ \text{kg}$, una rapidez de $4\ \text{m/s}$ y un radio de giro de $0,5\ \text{m}$; el cuerpo B tiene una masa de $0,6\ \text{kg}$, una rapidez de $2\ \text{m/s}$ y un radio de $1\ \text{m}$. El esquema muestra ambos cuerpos vistos desde arriba:

1. a) Calcula el momento angular de cada cuerpo respecto del eje.
2. b) Calcula el cociente $\frac{L_B}{L_A}$ e interprétalo: ¿cuántas veces es mayor el momento angular de B?
3. c) Sin repetir cálculos, razona cómo cambiaría ese cociente si la rapidez de A se duplicara.

Un satélite de comunicaciones de $300\ \text{kg}$ ocupa una órbita geoestacionaria circular de $4,22 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ de radio y completa una vuelta cada $24\ \text{h}$.

1. a) Expresa el período en segundos y calcula la rapidez orbital, $v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$.
2. b) Calcula el momento angular del satélite respecto del centro de la Tierra, en notación científica.
3. c) ¿Cómo cambiaría el resultado si el satélite fuera el doble de masivo? Justifícalo sin repetir el cálculo completo.

La Luna describe una órbita casi circular de $3,84 \cdot 10^{8}\ \text{m}$ de radio alrededor de la Tierra con un período de $27,3$ días (masa de la Luna: $7,35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$).

1. a) Expresa el período en segundos y calcula la rapidez orbital de la Luna, $v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$.
2. b) Calcula el momento angular orbital de la Luna respecto del centro de la Tierra, en notación científica y con tres cifras significativas.

Una partícula de abrasivo de $1\ \text{g}$ de masa está adherida al borde del disco de una amoladora, que gira con velocidad angular $\omega = 250\ \text{rad/s}$ a $5\ \text{cm}$ del eje. El esquema muestra el disco visto desde arriba:

1. a) Expresa la masa y el radio en unidades del Sistema Internacional.
2. b) Calcula la rapidez lineal de la partícula, $v = \omega \cdot r$.
3. c) Calcula su momento angular respecto del eje del disco.

Sobre una barra que puede girar alrededor de un eje se aplican dos fuerzas de $20\ \text{N}$ en puntos situados a $0,4\ \text{m}$ del eje: la fuerza A apunta radialmente hacia el eje y la fuerza B es perpendicular a la barra ($\sen 90^\circ = 1$, $\sen 0^\circ = 0$). El esquema muestra la barra y las dos fuerzas:

1. a) Calcula el momento de cada fuerza respecto del eje, $M = r \cdot F \cdot \sen\theta$.
2. b) A partir de $\frac{\Delta \vv{L}}{\Delta t} = \vv{M}$, indica cuál de las dos fuerzas cambia el momento angular de la barra y cuál no.
3. c) Relaciona el resultado con el comportamiento de las fuerzas centrales: ¿a cuál de las dos se parece una fuerza central?

Se desea situar un satélite de observación terrestre de $500\ \text{kg}$ en una órbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radio medido desde el centro de la Tierra. Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ y $M_{Tierra} = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, que actúa como fuerza centrípeta. Iguala $G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}$ y deduce la expresión $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$.
2. b) Calcula la rapidez orbital del satélite.
3. c) Calcula su momento angular respecto del centro de la Tierra.
4. d) Justifica, a partir del carácter central de la fuerza gravitatoria, que ese momento angular permanece constante durante toda la órbita.

En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón solo puede tener determinados valores del momento angular. El primer valor permitido es $L_1 = \frac{h}{2 \cdot \pi}$, con $h = 6,63 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$.

1. a) Calcula el valor de $L_1$, en notación científica y con tres cifras significativas.
2. b) Con los datos de la órbita fundamental (radio $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$, rapidez $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$, masa del electrón $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$), calcula el momento angular del electrón con $L = m \cdot v \cdot r$ y compáralo con $L_1$.
3. c) El segundo nivel permitido es $L_2 = 2 \cdot L_1$. Si el radio de esa órbita es $2,12 \cdot 10^{-10}\ \text{m}$, calcula la rapidez que debe llevar el electrón en ella.

En una práctica de laboratorio, una bolita de $0,1\ \text{kg}$ gira sobre una mesa horizontal sin rozamiento atada a un hilo que pasa por un tubo vertical fijo a la mesa. Inicialmente gira con un radio $r_1 = 0,6\ \text{m}$ y una rapidez $v_1 = 3\ \text{m/s}$. Tirando del hilo por debajo del tubo se reduce el radio hasta $r_2 = 0,3\ \text{m}$. El esquema muestra el montaje visto desde arriba:

1. a) Calcula el momento angular inicial de la bolita.
2. b) La tensión del hilo es una fuerza central, pues apunta siempre hacia el tubo: justifica, a partir de su momento, que el momento angular de la bolita se conserva durante el proceso.
3. c) Calcula la rapidez de la bolita cuando el radio es $r_2$.
4. d) Compara las energías cinéticas inicial y final y explica de dónde procede el aumento.

Una pareja de patinadores artísticos realiza una figura en la que ambos giran unidos por los brazos alrededor del punto medio entre ellos. Modela cada patinador como una masa puntual: $m_1 = 60\ \text{kg}$ a $0,9\ \text{m}$ del centro de giro y $m_2 = 50\ \text{kg}$ a $1,1\ \text{m}$, ambos con la misma velocidad angular $\omega = 3\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcula la rapidez lineal de cada patinador, $v = \omega \cdot r$.
2. b) Calcula el momento angular de cada uno respecto del centro de giro.
3. c) El momento angular total del sistema es la suma de ambos: calcúlalo y justifica que, si las fuerzas exteriores tienen momento nulo, ese total se conserva aunque los patinadores se empujen entre sí (las fuerzas internas no cambian el momento angular total).

Un protón ($m = 1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$) se mueve en línea recta con rapidez constante de $2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ dentro de la cámara de un acelerador de partículas. Su trayectoria pasa a una distancia mínima $d = 3 \cdot 10^{-9}\ \text{m}$ de un sensor situado en el punto O.

1. a) El momento angular respecto de O vale $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$. Dibuja en tu cuaderno la situación y razona que, aunque $r$ y $\theta$ cambian a lo largo del trayecto, el producto $r \cdot \sen\theta$ es siempre igual a $d$.
2. b) Calcula el momento angular del protón respecto de O, en notación científica.
3. c) El protón se mueve libremente, sin fuerzas: ¿es coherente que su momento angular sea constante aunque no describa ninguna curva? Justifícalo.

Un satélite de $200\ \text{kg}$ en órbita baja ($r = 6,8 \cdot 10^{6}\ \text{m}$, $v = 7,7 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$) sufre un pequeño rozamiento con las capas altas de la atmósfera. La figura muestra la órbita y el sentido del rozamiento:

1. a) Calcula su momento angular inicial respecto del centro de la Tierra.
2. b) El rozamiento es una fuerza tangencial, opuesta a la velocidad: ¿su momento respecto del centro de la Tierra es nulo? ¿Es el rozamiento una fuerza central? Razona ambas respuestas.
3. c) A la vista de lo anterior, predice qué ocurrirá con el momento angular y con el radio de la órbita a lo largo de los meses: ¿mantendrá el satélite su órbita indefinidamente? Justifícalo.

Una sonda de $800\ \text{kg}$ con los motores apagados se aproxima a Marte. En el punto de máximo acercamiento se halla a $4 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centro del planeta y lleva una rapidez de $5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, perpendicular a la recta que la une con Marte.

1. a) Calcula el momento angular de la sonda en ese punto.
2. b) Mientras los motores están apagados, la única fuerza sobre la sonda es la atracción gravitatoria de Marte: justifica por qué el momento angular se mantiene constante durante toda la maniobra.
3. c) Cuando la sonda se aleja de nuevo y se encuentra a $1,6 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ del centro de Marte, moviéndose perpendicularmente a la recta que los une, calcula la rapidez que lleva.

El momento angular de rotación de un planeta esférico vale $L = I \cdot \omega$, con $I = \frac{2}{5} \cdot M \cdot R^2$ y $\omega = \frac{2 \cdot \pi}{T}$. Datos de la Tierra: $M = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$, $R = 6,37 \cdot 10^{6}\ \text{m}$, período de rotación $T = 24\ \text{h}$; en su órbita, radio $1,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ y rapidez $2,98 \cdot 10^{4}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el momento de inercia de la Tierra, en notación científica.
2. b) Expresa el período de rotación en segundos y calcula el momento angular de rotación de la Tierra.
3. c) Calcula su momento angular orbital respecto del Sol y halla el cociente entre ambos: ¿cuál domina y en qué factor aproximado?