Ejercicios: El principio de incertidumbre

En $1927$, Heisenberg enunció el principio de incertidumbre.

1. a) Enúncialo con tus palabras.
2. b) ¿Qué par de magnitudes relaciona? Escribe su expresión matemática.
3. c) Explica qué significan $\Delta x$ y $\Delta p$ en esa expresión: ¿qué representa cada incertidumbre?

Un compañero afirma: «El principio de incertidumbre se debe a que nuestros instrumentos de medida son imperfectos; con aparatos mejores desaparecería».

1. a) Explica si esa afirmación es correcta: ¿es el principio una limitación tecnológica o una propiedad intrínseca de la naturaleza?
2. b) Señala la diferencia entre la incertidumbre cuántica $\Delta x$ y el error de medida ordinario de una regla o de un cronómetro.

Un electrón está confinado en una región de tamaño $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ (el tamaño de un átomo). El principio de incertidumbre establece $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$, con $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima de su momento lineal, $\Delta p$.
2. b) Si el electrón estuviera confinado en una región diez veces menor, $\Delta x = 10^{-11}\ \text{m}$, ¿cuánto valdría $\Delta p$? Razona la proporcionalidad.

En un experimento, el momento lineal de un protón se conoce con una incertidumbre $\Delta p = 10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Despeja $\Delta x$ de la expresión $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ y calcula la incertidumbre mínima de su posición.
2. b) Compara ese tamaño con el de un átomo ($10^{-10}\ \text{m}$): ¿está el protón mejor o peor localizado que el tamaño de un átomo?

Un balón de fútbol se mueve por el campo y, en principio, también está sometido al principio de incertidumbre.

1. a) Explica, apoyándote en el valor de $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, por qué el principio no tiene consecuencias prácticas en los objetos cotidianos.
2. b) ¿Qué dos características de los objetos macroscópicos (masa y tamaño) hacen que las incertidumbres cuánticas sean despreciables frente a las medidas ordinarias?

Un electrón tiene una incertidumbre en su momento lineal de $\Delta p = 5,3\cdot10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Dato: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertidumbre en su velocidad, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
2. b) Compara el resultado con la velocidad típica de un electrón en un átomo, del orden de $10^{6}\ \text{m/s}$ (dato), y comenta qué implica esa comparación.

Parte de la expresión $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ y razona sin calculadora:

1. a) Si la incertidumbre en la posición se reduce a la mitad, ¿qué le ocurre a la incertidumbre mínima del momento?
2. b) ¿Y si $\Delta x$ se multiplica por diez?
3. c) Resume la relación entre ambas incertidumbres: ¿pueden ser las dos arbitrariamente pequeñas a la vez?

En mecánica clásica, una partícula sigue una trayectoria: en cada instante tiene una posición y una velocidad exactas. En mecánica cuántica se habla de probabilidades y de orbitales.

1. a) Explica, usando el principio de incertidumbre, por qué el concepto de trayectoria exacta pierde sentido para un electrón.
2. b) ¿Qué información da un orbital sobre el electrón, en lugar de su trayectoria?
3. c) Relaciona lo anterior con el paso del modelo de Bohr (órbitas) al modelo cuántico actual (orbitales).

Un electrón está confinado en un átomo, de tamaño $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima de su momento lineal, $\Delta p$.
2. b) Calcula la incertidumbre en su velocidad, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
3. c) La velocidad típica del electrón en el átomo es del orden de $10^{6}\ \text{m/s}$ (dato): compara $\Delta v$ con esa velocidad y explica por qué no tiene sentido asignar al electrón una órbita precisa.

Antes de descubrirse el neutrón se pensó que el núcleo podía contener electrones. Comprueba con el principio de incertidumbre qué pasaría si un electrón estuviera confinado en un núcleo de tamaño $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima del momento lineal del electrón.
2. b) Calcula la incertidumbre de su velocidad.
3. c) Compara $\Delta v$ con la velocidad de la luz y extrae la conclusión: ¿puede un electrón estar confinado de forma estable en el núcleo?

Una bala de $10\ \text{g}$ atraviesa un detector que determina su posición con una incertidumbre $\Delta x = 10^{-5}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima del momento lineal de la bala.
2. b) Calcula la incertidumbre de su velocidad.
3. c) La bala lleva una velocidad de $400\ \text{m/s}$: calcula el cociente $\frac{\Delta v}{v}$ y concluye si la incertidumbre cuántica es apreciable en esta medida.

Un grano de polvo de masa $10^{-6}\ \text{kg}$ se observa con un microscopio que determina su posición con una incertidumbre $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima de su momento lineal.
2. b) Calcula la incertidumbre de su velocidad.
3. c) El grano se mueve a $10^{-3}\ \text{m/s}$: razona si la incertidumbre cuántica tiene alguna relevancia para describir su movimiento.

En un acelerador, un protón se mueve a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, velocidad medida con una incertidumbre $\Delta v = 10^{4}\ \text{m/s}$. Datos: $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ y $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula el momento lineal del protón, $p = m_p\cdot v$.
2. b) Calcula la incertidumbre del momento, $\Delta p = m_p\cdot\Delta v$.
3. c) Aplica el principio de incertidumbre y calcula la incertidumbre mínima de su posición.
4. d) Calcula la incertidumbre relativa $\frac{\Delta v}{v}$ en porcentaje.

En nanotecnología se confinan electrones en «cajas cuánticas» de distinto tamaño. Considera dos casos: caja A, con $\Delta x_A = 1\ \text{nm}$, y caja B, con $\Delta x_B = 0,1\ \text{nm}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. La figura compara las dos cajas.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima del momento lineal en cada caja.
2. b) Calcula el cociente $\frac{\Delta p_B}{\Delta p_A}$.
3. c) Explica, a partir de la fórmula del principio de incertidumbre, la relación inversa entre el tamaño del confinamiento y la incertidumbre del momento.

Un electrón y un protón están confinados cada uno en una región del mismo tamaño, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor incertidumbre mínima en el momento lineal? Justifícalo mirando la fórmula: ¿aparece la masa en ella?
2. b) Calcula la incertidumbre en la velocidad de cada partícula.
3. c) Explica por qué la masa no influye en $\Delta p$ pero sí en $\Delta v$, y qué consecuencia tiene eso para la partícula más pesada.

En un chip moderno, un electrón queda confinado en un transistor de $10\ \text{nm}$ de anchura. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima de su momento lineal.
2. b) Calcula la incertidumbre de su velocidad.
3. c) Si la industria reduce la escala del transistor a $1\ \text{nm}$, ¿qué le ocurre a $\Delta v$? Comenta qué reto supone esto para la miniaturización de la electrónica.

El modelo de Bohr dibuja el electrón en una órbita circular de radio $r = 5,3\cdot10^{-11}\ \text{m}$. Supón que quisiéramos seguir esa trayectoria conociendo su posición con una incertidumbre del $10\%$ del radio, $\Delta x = 5,3\cdot10^{-12}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. La figura muestra la órbita con la incertidumbre supuesta.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima del momento lineal que impone el principio de incertidumbre.
2. b) Calcula la incertidumbre en la velocidad.
3. c) La velocidad del electrón en la primera órbita de Bohr es $2,2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ (dato): compara $\Delta v$ con ella y concluye si la imagen de una órbita exacta es compatible con la mecánica cuántica.

Heisenberg imaginó un microscopio capaz de localizar un electrón: para «verlo» con una resolución $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ hay que iluminarlo con fotones de longitud de onda comparable, $\lambda = 10^{-10}\ \text{m}$, cuyo momento es $p_{fotón} = \frac{h}{\lambda}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. Observa el esquema del experimento mental:

1. a) Calcula el momento del fotón utilizado.
2. b) Si en el choque el fotón cede al electrón un momento de ese orden, calcula la incertidumbre en la velocidad que se induce en el electrón.
3. c) Explica la idea del experimento mental: cuanto mejor se mide la posición, más se perturba el momento. Matiza después que el principio de incertidumbre es aún más profundo que una simple perturbación de la medida: ¿qué afirma sobre la naturaleza de la partícula antes de medirla?

Imagina un universo donde la constante de Planck fuera mucho mayor. En este ejercicio trabajaremos con una pelota de $0,15\ \text{kg}$ localizada con una incertidumbre $\Delta x = 10^{-3}\ \text{m}$. Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula, con el valor real de $h$, la incertidumbre mínima de la velocidad de la pelota.
2. b) Despeja $h$ de la expresión del principio de incertidumbre y calcula qué valor debería tener para que, con el mismo $\Delta x$, la incertidumbre de la velocidad fuera apreciable, por ejemplo $\Delta v = 0,01\ \text{m/s}$.
3. c) ¿Cuántos órdenes de magnitud mayor que la constante real sería ese valor?
4. d) Imagina las consecuencias en ese universo: describe razonadamente cómo cambiaría el movimiento de los objetos cotidianos si el principio de incertidumbre se notara a escala humana.

El principio de incertidumbre permite estimar la energía mínima de una partícula confinada: si el momento es del orden de $\Delta p$, su energía cinética es del orden de $E_c \approx \frac{\Delta p^2}{2\cdot m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Estima la energía cinética mínima de un electrón confinado en un átomo, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$, y exprésala en electronvoltios. Compárala con las energías típicas de los enlaces químicos, de unos pocos electronvoltios (dato).
2. b) Estima la energía cinética mínima de un protón confinado en un núcleo, $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$, y exprésala en $\text{MeV}$ ($1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Concluye: explica cómo el principio de incertidumbre justifica que las energías de los procesos nucleares sean millones de veces mayores que las de los procesos atómicos.

Confinamos en la misma región, $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$, una mota de polvo de $10^{-15}\ \text{kg}$ y un electrón. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima del momento lineal: ¿es la misma para ambos? Justifícalo.
2. b) Calcula la incertidumbre de la velocidad de la mota de polvo y la del electrón.
3. c) Razona, a la vista de los resultados, qué magnitud decide si los efectos cuánticos son relevantes para un objeto: su tamaño de confinamiento, su masa o ambas.
4. d) Extrapola: explica por qué ningún experimento de laboratorio ha observado jamás incertidumbre cuántica apreciable en objetos visibles a simple vista.

Un alumno escribe en un examen: «Con un instrumento de medida perfecto podría conocer simultáneamente la posición y el momento de un electrón con la precisión que quisiera; el principio de incertidumbre solo refleja la mala calidad de los aparatos actuales». Dato: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Señala el error conceptual de la afirmación y corrígela.
2. b) Apóyate en números: si el «instrumento perfecto» mejora la medida de posición desde $\Delta x = 10^{-9}\ \text{m}$ hasta $\Delta x = 10^{-12}\ \text{m}$, calcula en qué factor aumenta la incertidumbre mínima del momento.
3. c) ¿Existe algún valor de $\Delta x$ para el que $\Delta p$ deje de crecer o pueda hacerse cero? Razona la respuesta a partir de la expresión $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$.

Un haz de electrones con velocidad $v = 10^{7}\ \text{m/s}$ atraviesa una rendija estrecha de anchura $\Delta y = 10^{-7}\ \text{m}$. Al pasar, la posición vertical de cada electrón queda determinada con esa incertidumbre, lo que abre el haz. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. La figura muestra la geometría del montaje.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima del componente vertical del momento, $\Delta p_y$.
2. b) Calcula el momento lineal del electrón, $p = m_e\cdot v$, y estima el ángulo de apertura del haz, $\theta \approx \frac{\Delta p_y}{p}$, en radianes.
3. c) Estima la anchura del haz en una pantalla situada a $L = 1\ \text{m}$, como $2\cdot L\cdot\theta$, y exprésala en milímetros.
4. d) Predice qué ocurre si la rendija se estrecha a $10^{-8}\ \text{m}$ y relaciona este resultado con la difracción: ¿por qué una abertura menor dispersa más el haz?

La mecánica de Newton es determinista: si en un instante se conocen con exactitud la posición y el momento de todas las partículas de un sistema, las ecuaciones del movimiento predicen todo su futuro. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Usa el principio de incertidumbre para argumentar que ese «estado inicial exacto» no puede existir: calcula la incertidumbre mínima del momento de un electrón cuya posición se conociera con $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ y la correspondiente incertidumbre en su velocidad.
2. b) Si no se puede conocer el estado inicial con exactitud, ¿qué clase de predicciones hace la física cuántica sobre el resultado de una medida?
3. c) Explica por qué la mecánica de Newton, a pesar de todo, funciona tan bien para una pelota, un coche o un planeta, apoyándote en el valor de $h$ y en las masas de esos objetos.