Tipos de funções

Dada a função polinomial $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$, faça um estudo básico do seu comportamento seguindo estes passos:

1. a) Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados.
2. b) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento utilizando a primeira derivada $f'(x)$.
3. c) Determine as coordenadas $(x, y)$ dos seus máximos e mínimos relativos.

Determina os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ tenha um ponto de inflexão em $x = 1$ e o declive da reta tangente nesse ponto seja $1$. Depois de encontrados os parâmetros:

1. a) Estuda a monotonia da função resultante.

1. b) Determina se tem algum máximo ou mínimo relativo.

1. c) Justifica se a função tem assíntotas.

Considera a função racional $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Para compreender a sua estrutura antes de a representar, analisa os seus elementos principais. A figura mostra parte do seu gráfico; as marcas dos eixos estão separadas 1 unidade.

1. a) Determina o seu domínio de definição.

1. b) Calcula as equações das suas assíntotas verticais e horizontais.

1. c) Estuda a simetria da função. É par, ímpar ou não apresenta simetria?

Dada a função racional $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$, realiza um estudo completo para a sua representação gráfica seguindo estes passos:

1. a) Determina o domínio de definição e os pontos de interseção com os eixos coordenados.

1. b) Estuda a existência de simetrias na função.

1. c) Determina as assíntotas verticais, horizontais e a posição da curva em relação a elas.

1. d) Calcula os intervalos de crescimento e decrescimento, e determina os seus máximos e mínimos relativos.

1. e) Esboça o gráfico da função com base nos resultados anteriores.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Considere a função $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. Pede-se:

1. Determinar as equações das suas assíntotas. Caso exista uma assíntota oblíqua, determine a posição da curva em relação a ela quando $x \to +\infty$ e $x \to -\infty$.

2. Determinar os intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para cima e para baixo, e averiguar se existem pontos de inflexão.

3. Utilizar a informação sobre a monotonia e os extremos para esboçar o gráfico com rigor.

O domínio de uma função é fundamental para a sua representação. Determine o domínio das seguintes funções transcendentes:

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Explique brevemente porque existem restrições em cada caso.

Um biólogo estuda a evolução de uma população de bactérias num ambiente controlado. A quantidade de bactérias (em milhares) é dada pela função $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, onde $t$ é o tempo em horas desde o início da experiência ($t \geq 0$). A figura mostra o gráfico de $P(t)$.

1. a) Que população há no início da experiência ($t = 0$)?

1. b) Qual é o limite da população quando o tempo cresce indefinidamente? Interpreta o resultado em termos de assíntotas.

1. c) A população aumenta ou diminui com o tempo? Justifica a tua resposta usando a derivada $P'(t)$.

Seja a função $f(x) = (x - 2)e^x$. Faz um estudo detalhado da mesma para a representar graficamente, incluindo:

1. Domínio e pontos de interseção com os eixos.

2. Assíntotas horizontais e comportamento no infinito.

3. Intervalos de monotonia e extremos relativos.

4. Pontos de inflexão e concavidades.

Estuda e representa a função logarítmica $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Na tua análise, deves incluir:

1. Demonstração de que a função é par. Como é que isso afeta a sua representação?

2. Determinação dos intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento).

3. Estudo da concavidade e determinação dos pontos de inflexão.

4. A função tem assíntotas de algum tipo? Justifica a tua resposta.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dada a função $f(x) = x^4 - 2x^2$, estude a sua curvatura realizando os seguintes passos:

1. a) Calcule a segunda derivada $f''(x)$.
2. b) Determine os intervalos em que o gráfico tem a concavidade voltada para baixo ($\cup$) e para cima ($\cap$).
3. c) Determine os pontos de inflexão da função.

Considere a função $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Calcule os pontos de interseção com os eixos e as assíntotas da função.

2. Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais (máximos e mínimos).

3. Determine os intervalos em que o gráfico tem a concavidade voltada para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

4. Sabendo que $e^{-2} \approx 0,135$ e $e^0 = 1$, esboce o gráfico da função.

5. Calcule a área do triângulo formado pela origem do referencial e pelos pontos do gráfico onde a tangente é horizontal.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

As funções com valores absolutos costumam apresentar pontos onde o gráfico muda bruscamente de direção. Seja a função $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Expressa a função como uma função definida por ramos.

1. b) Indica o ponto do gráfico onde a função é contínua mas não é derivável (ponto anguloso).

1. c) Esboça o seu gráfico indicando o vértice.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma foto com a tua resposta.

Dada a função com módulo $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$:

1. a) Expressa a função como uma função definida por ramos.

1. b) Estuda a derivabilidade da função nos pontos $x = 1$ e $x = 3$. O que acontece geometricamente nesses pontos?

1. c) Determina os extremos relativos da função e representa-a graficamente.

Considera-se a função definida por ramos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{se } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{se } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Estude a continuidade e a derivabilidade da função em $x = 0$.

2. Determine as assíntotas da função no seu domínio de definição.

3. Calcule os mínimos e máximos locais de cada ramo no respetivo intervalo.

4. Esboce o gráfico da função.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Considera a função definida por ramos:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{se } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b x & \text{se } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{se } x \ge 0 \end{cases}$$

Realiza um estudo completo da função seguindo estes passos:

1. Encontra os valores de $a$ e $b$ para que a função seja contínua em $x = -2$ e tenha um extremo relativo em $x = -1$.

2. Para os valores encontrados, estuda a derivabilidade em $x = -2$ e $x = 0$.

3. Calcula as assíntotas da função em todo o seu domínio.

4. Determina os intervalos de monotonia, bem como os máximos e mínimos relativos no intervalo $(-\infty, 0)$.