Paridade de uma função

Determine analiticamente se a função polinomial $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Verifique matematicamente se a função polinomial $h(x) = x^3 - 5x + 2$ apresenta algum tipo de simetria em relação ao eixo das ordenadas ou em relação à origem.

A Maria afirma na aula: «Como na função $f(x) = 2x^3 - 5x + 3$ os expoentes dos $x$ são $3$ e $1$ (ambos ímpares), a função tem de ser ímpar. Para demonstrá-lo, calculo $f(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) + 3 = -2x^3 + 5x + 3 = -(2x^3 - 5x - 3)$, e como quase todos os termos mudam de sinal, pode-se considerar ímpar exceto pela constante».\na) Identifica o erro conceptual e algébrico cometido pela Maria ao aplicar a definição de função ímpar.\nb) Determina analiticamente se $f(x)$ é par, ímpar ou nenhuma das duas.\nc) Justifica que modificação mínima teria de ser feita no termo independente para que a função resultante seja simétrica em relação à origem das coordenadas.

Sabendo que o custo de manutenção de uma máquina segue uma função par $C(t)$ em relação ao tempo ótimo $t=0$, e que $C(4) = 150$ euros, qual será o valor de $C(-4)$?

A posição de um objeto num ambiente virtual tridimensional é regida por uma função ímpar $p(t)$. Se no instante $t=3$ s a sua posição num dos eixos é $p(3) = -12$ m, qual era a sua posição no instante $t=-3$ s?

Complete os valores que faltam para que a função $f(x)$ seja ímpar em todo o seu domínio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$

Estude a paridade da função racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando se apresenta simetria em relação ao eixo das ordenadas ou em relação à origem.

Determine analiticamente a paridade da função trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando as propriedades do seno para ângulos negativos.

O perfil de um arco arquitetónico é modelado pela função $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, onde $x$ é a distância horizontal ao centro, em metros. Demonstre analiticamente se este perfil é simétrico em relação ao eixo central vertical (função par).

Uma empresa de análise de dados utiliza a função $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir o erro simétrico de um algoritmo de previsão. Analise e demonstre a paridade desta função.

Dada a função $g(x) = x^3 \cdot \sin(x)$:\na) Estima a sua paridade antes de calcular: analisa a simetria de cada fator separadamente ($x^3$ e $\sin(x)$) e, aplicando a regra dos sinais para o produto de funções simétricas, antecipa se esperas que $g(x)$ seja par, ímpar ou nenhuma das duas.\nb) Verifica formalmente a tua estimativa calculando $g(-x)$ passo a passo e utilizando a propriedade trigonométrica de $\sin(-x)$.\nc) Avalia numericamente $g\left(\frac{\pi}{2}\right)$ e $g\left(-\frac{\pi}{2}\right)$. Estes valores coincidem com o que prevê a paridade obtida? Justifica a tua resposta.

Dadas duas funções, $f(x)$ que é par e $g(x)$ que é ímpar, demonstre analiticamente que tipo de paridade a função produto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ possui.

Estuda a paridade da função $f(x) = x|x|$, que descreve a força de arrasto aerodinâmico de um veículo em função da sua velocidade $x$.

Determine analiticamente se a função $g(x) = \frac{x^3 - x}{|x|}$ é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Se $f(x)$ é uma função par e $g(x)$ é uma função ímpar, determine e demonstre rigorosamente a paridade da função composta $h(x) = f(g(x))$.

Para estudar a paridade da função $h(x) = \frac{x^3 \cdot \sin(x^2)}{1 + \cos(x)}$, propõem-se dois caminhos diferentes:\n- Método 1 (Avaliação direta): Substituir sistematicamente $x$ por $-x$ em toda a expressão, operar aplicando as identidades trigonométricas de paridade e comparar $h(-x)$ com $h(x)$ e $-h(x)$.\n- Método 2 (Álgebra de simetrias): Decompor $h(x)$ no produto e quociente dos blocos elementares $f_1(x) = x^3$, $f_2(x) = \sin(x^2)$ e $f_3(x) = 1 + \cos(x)$, analisar a paridade de cada bloco mediante as regras de composição e soma, e deduzir a simetria global.\na) Aplica ambos os métodos detalhando todos os passos analíticos.\nb) Compara ambos os caminhos: qual se revela mais seguro e eficiente para evitar erros com os sinais em funções compostas complexas? Justifica a tua posição.\nc) Utilizando o método que justificaste como mais eficiente na alínea anterior, deduz diretamente a paridade da função modificada $k(x) = \frac{x^3 \cdot \sin^2(x)}{1 + \cos(x)}$ sem desenvolver o cálculo direto completo.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que a função de lucros de uma empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, seja uma função par e, portanto, simétrica em relação a $x=0$.

A força de atração eletromagnética entre dois componentes metálicos é modelada por uma função ímpar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, onde $d$ é a distância. Determine o valor que o parâmetro $b$ deve ter obrigatoriamente para que essa simetria seja satisfeita.

Considera a família de funções racionais $f(x) = \frac{a \cdot x^3 + (b - 4) \cdot x^2 + 6x}{x^2 + 2}$, onde $a$ e $b$ são parâmetros reais.\na) Encontra os valores de $a$ e $b$ para que a função $f(x)$ seja ímpar e o seu gráfico passe pelo ponto $(1, 3)$.\nb) É possível escolher valores para $a$ e $b$ de modo a que $f(x)$ seja uma função par? Se achas que é possível, calcula-os; se não for, justifica de forma algébrica por que razão nenhum par de valores reais o consegue.

Um engenheiro projeta uma peça mecânica cujo contorno superior é dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabendo que o contorno é uma função ímpar, passa pelos pontos $(2, \frac{10}{3})$ e $(3, \frac{15}{4})$, e tem uma assíntota vertical em $x=1$ (para $x>0$), calcule os valores exatos dos parâmetros $a, b$ e $c$.