Técnicas de contagem

Para melhorar a segurança de uma aplicação móvel, um programador decide criar códigos de acesso constituídos por uma letra maiúscula (considerando as 26 letras do alfabeto padrão) seguida de três dígitos (de 0 a 9).

• Quantos códigos diferentes podem ser criados se os dígitos puderem repetir-se?

• Quantos códigos diferentes haveria se os três dígitos tivessem de ser distintos entre si?

• Se for gerado um código ao acaso com dígitos repetíveis, qual é a probabilidade de a letra ser um 'Z'?

O sistema ordinário de matrícula de veículos da Dirección General de Tráfico (DGT) em Espanha atribui a cada automóvel um código composto por 4 dígitos (desde o 0000 até ao 9999) seguidos de um bloco de 3 letras consoantes do alfabeto espanhol, tendo-se excluído as 5 vogais (A, E, I, O, U) para evitar acrónimos e palavras desapropriadas, bem como as letras Ñ e Q por possíveis confusões visuais. Deste modo, dispõe-se de um conjunto de 20 consoantes admissíveis.

1. a) Modela a atribuição de matrículas e calcula quantos veículos diferentes podem ser matriculados no total. Justifica as técnicas de contagem aplicadas em cada bloco da matrícula.
2. b) Uma câmara de controlo de trânsito regista a matrícula de um infrator, mas a imagem está parcialmente desfocada: o agente verifica que o bloco numérico é uma capicua de quatro algarismos com o primeiro e o segundo algarismos distintos (por exemplo, 7337), e que as três letras são distintas entre si e surgem em estrita ordem alfabética ascendente (por exemplo, CFX). Quantas matrículas do parque teórico da DGT satisfazem este padrão?
3. c) Se for escolhido um veículo ao acaso de entre todos os possíveis do sistema, determina a probabilidade de a sua matrícula não conter nenhum dígito repetido e também não conter nenhuma consoante repetida. Expressa o resultado sob a forma de fração irredutível e com quatro casas decimais.

Para melhorar a segurança de uma plataforma de desportos eletrónicos, exige-se que os utilizadores criem uma palavra-passe de acesso de 6 caracteres. Os dois primeiros devem ser letras maiúsculas do alfabeto espanhol (27 letras) e os quatro restantes devem ser dígitos de $0$ a $9$.

Calcule quantas palavras-passe diferentes podem ser geradas se:

1. a) Forem permitidas repetições de letras e números.
2. b) Não for permitido repetir nenhuma letra, mas sim os números.
3. c) As letras deverem ser distintas e os números deverem formar uma sequência estritamente crescente (por exemplo: $1258$, mas não $1225$ nem $4321$).

Uma empresa de cibersegurança gera senhas de acesso mediante a permutação dos caracteres da palavra BLOCKCHAIN. Escolhe-se uma dessas senhas ao acaso.

1. a) Calcule a probabilidade de a senha escolhida começar e terminar por vogal.
2. b) Determine a probabilidade de todas as vogais aparecerem juntas na senha.
3. c) Se se sabe que a senha começa por B, qual é a probabilidade de a segunda letra ser um L?

Uma turma de engenharia tem de escolher uma comissão de 3 representantes. Se na turma houver 20 alunos, calcule:

• De quantas formas se pode escolher a comissão se os três cargos (delegado, subdelegado e secretário) forem distintos?

• De quantas formas se pode escolher se os três representantes tiverem o mesmo cargo e a ordem não importar?

• Se houver 12 rapazes e 8 raparigas, qual é a probabilidade de a comissão (sem cargos diferenciados) ser formada apenas por raparigas? (Formule a fração por meio de números combinatórios).

Numa escola secundária, a comissão de delegados do 12.º ano é composta por 10 estudantes: 6 raparigas e 4 rapazes. Para formar uma comissão de convivência, escolhe-se por sorteio um grupo de 3 delegados.

O Marcos quer calcular a probabilidade de a comissão ser formada por exatamente 2 raparigas e 1 rapaz, e raciocina da seguinte maneira:

«Para a primeira rapariga há 6 opções, para a segunda há 5 opções, e para o rapaz há 4 opções. Portanto, os casos favoráveis são $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$. Como os casos possíveis de escolher 3 pessoas por ordem de entre as 10 são $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$, a probabilidade procurada é $\frac{120}{720} = \frac{1}{6}$».

1. a) Identifica com precisão o erro conceptual do Marcos ao calcular os casos favoráveis e explica por que razão a sua abordagem distorce o cálculo do espaço de resultados.
2. b) Resolve o problema corretamente utilizando combinações $\binom{n}{r}$ através da regra de Laplace e compara o teu resultado com o obtido pelo Marcos.

Uma urna contém 12 bolas de cristal para uma experiência de ótica: 5 são azuis, 4 são vermelhas e 3 são amarelas. Se extrairmos uma bola ao acaso, calcule as seguintes probabilidades utilizando a regra de Laplace:

• Que a bola seja vermelha ou amarela.

• Que a bola não seja azul.

• Que a bola seja branca.

Num laboratório de robótica, foram misturados numa caixa 8 sensores de proximidade em perfeito estado e 2 sensores defeituosos. Um aluno extrai dois sensores de forma consecutiva e sem reposição (sem devolver o primeiro à caixa).

Calcule a probabilidade de:

• Ambos os sensores funcionarem corretamente.

• O primeiro ser defeituoso e o segundo estar em bom estado.

Um centro de saúde rural do distrito de Bragança dispõe de um quadro de 11 profissionais de urgência entre pessoal médico de família e pessoal de enfermagem. Para organizar o piquete noturno do fim de semana, escolhe-se ao acaso uma equipa de piquete formada por 3 profissionais do total de 11.

Sabe-se com certeza que a probabilidade de a equipa de piquete ser composta por 2 médicos e 1 enfermeiro é exatamente o dobro da probabilidade de ser composta por 1 médico e 2 enfermeiros.

1. a) Se denotarmos por $m$ o número de médicos do quadro (com $2 \le m \le 9$), formula a equação combinatória que modela a condição dada a partir da regra de Laplace.
2. b) Resolve algebricamente essa equação para averiguar a composição exata do quadro (quantos médicos e quantos enfermeiros há no centro).
3. c) Com o quadro já determinado, calcula a probabilidade de o piquete noturno ser constituído exclusivamente por profissionais de um mesmo grupo profissional de saúde.

Num grupo de 15 estudantes do 12.º ano que frequentam Matemática II encontram-se três amigos inseparáveis: a Leonor, o Tomás e a Beatriz. O departamento vai selecionar ao acaso uma equipa de 4 estudantes para representar a escola nas Olimpíadas de Matemática da universidade local.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo matemático, faz uma estimativa qualitativa e intuitiva: achas que a probabilidade de pelo menos dois dos três amigos coincidirem na equipa de 4 pessoas é superior a $50\,\%$, situa-se em torno de $15\,\%-20\,\%$ ou é um acontecimento muito improvável (inferior a $5\,\%$)? Justifica brevemente a intuição na qual te baseias.
2. b) Modela o problema através de técnicas combinatórias e calcula o valor exato dessa probabilidade como fração irredutível e em percentagem.
3. c) Contrasta o valor obtido com a tua estimativa inicial e argumenta por que razão a intuição humana sobre coincidências grupais costuma falhar neste tipo de sorteios.

Numa auditoria técnica de cibersegurança analisam-se 18 servidores de dados pertencentes a uma entidade bancária. Foi detetado que 4 deles apresentam uma falha crítica de segurança sem correção aplicada, enquanto os restantes 14 são completamente seguros. A equipa auditora seleciona ao acaso uma amostra de 5 servidores para os submeter a um teste de penetração. Pretende-se calcular a probabilidade do acontecimento $A$: «na amostra extraída há pelo menos dois servidores vulneráveis».

1. a) Desenvolve o cálculo de $P(A)$ através de dois caminhos analíticos distintos:

• Caminho 1 (Contagem direta): particionar os casos favoráveis segundo o número exato de servidores vulneráveis encontrados.

• Caminho 2 (Passagem ao acontecimento contrário): calcular a probabilidade do acontecimento complementar $A^c$.

Verifica que ambos os procedimentos conduzem à mesma fração irredutível.

1. b) Se a dimensão do lote aumentasse para 30 servidores e a amostra a extrair fosse de 10 servidores, analisa qual dos dois métodos oferece uma vantagem operacional real face a erros de cálculo e justifica-o com base na estrutura combinatória das partições.
2. c) Um assistente da equipa propõe calcular os casos favoráveis do acontecimento $A$ do seguinte modo: «Escolhemos primeiro 2 servidores vulneráveis de entre os 4 disponíveis de $\binom{4}{2}$ formas; depois, escolhemos os 3 servidores restantes de entre os 16 que sobram no lote de $\binom{16}{3}$ formas. Portanto, os casos favoráveis são $\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}$». Demonstra analiticamente por que razão este raciocínio é erróneo e especifica se produz uma sobrestimação ou uma subestimação do número real de casos.

Para constituir um júri de exame de concurso público para docentes numa região, a administração convoca por sorteio rigoroso 5 vogais a partir de uma lista fechada de 30 candidatos qualificados, formada por 18 mulheres e 12 homens. A regulamentação da função pública exige o princípio de presença equilibrada: o júri não pode ter mais de $60\,\%$ de vogais do mesmo sexo (ou seja, o júri deve contar com pelo menos 2 mulheres e pelo menos 2 homens).

1. a) Modela a seleção do júri através de combinações e calcula a probabilidade de um júri extraído ao acaso cumprir diretamente a regulamentação de presença equilibrada.
2. b) Suponhamos que na lista de 30 pessoas figuram dois docentes concretos (um homem e uma mulher) que têm parentesco de primeiro grau, pelo que a lei do regime jurídico proíbe que ambos coincidam no mesmo júri. Se a administração descartar por sorteio prévio a possibilidade de ambos coincidirem, restringindo o espaço de resultados unicamente a júris onde não coincidam os dois familiares, determina se a probabilidade de o júri cumprir a paridade aumenta ou diminui em relação à obtida na alínea a). Justifica quantitativamente a tua conclusão.
3. c) Propõe-se como alternativa modificar o procedimento de sorteio: em vez de um único sorteio de 5 pessoas sobre os 30 candidatos, realizar duas urnas separadas (uma para mulheres e outra para homens) e sortear aleatoriamente 3 mulheres e 2 homens com probabilidade $0,5$, ou 2 mulheres e 3 homens com probabilidade $0,5$. Justifica matematicamente se este novo mecanismo mantém ou altera a probabilidade individual de cada docente ser selecionado em relação ao sorteio equiprovável original.