Transformações de funções

Dada a função $f(x) = x^2 - 3x$, escreva a expressão algébrica da função $g(x)$ que se obtém ao transladar o gráfico de $f(x)$ quatro unidades para a esquerda e duas unidades para cima.

Um balão de ar quente desce com uma velocidade constante. A sua altitude em metros é dada por $A(t) = 800 - 50t$, onde $t$ é o tempo em minutos. Um segundo balão inicia a sua descida $10$ minutos mais tarde exatamente com o mesmo perfil de voo. Escreva a expressão da altitude do segundo balão $B(t)$ em função de $A(t)$ e desenvolva a sua expressão algébrica final.

O lucro mensal de uma pequena empresa de tecnologia, em milhares de euros, é modelado pela função $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, onde $x$ representa o mês do ano ($x=1$ para janeiro, etc.). A empresa decide adiar o lançamento da sua campanha de marketing um mês, o que implica uma translação horizontal da curva de lucros, e além disso assume um aumento de custos fixos de $3$ mil euros mensais. Determine a nova expressão da função de lucro $N(x)$ e determine em que mês será agora atingido o lucro máximo.

O gráfico de uma função $f(x)$ passa pelo ponto $P(-3, 5)$. Determine as coordenadas do ponto homólogo nos gráficos das seguintes funções transformadas:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

Dada a função elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indique que transformações geométricas (translações, dilatações, reflexões) é necessário aplicar sucessivamente, e em que ordem, para obter a função $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

A função $C(x)$ representa o custo em euros de produzir $x$ componentes eletrónicos. Devido a uma melhoria tecnológica na linha de montagem, agora é possível produzir o triplo de componentes exatamente pelo mesmo custo total. Expresse a nova função de custo $N(x)$ em termos da função original $C(x)$.

O Marcos está a estudar como transformar o gráfico da função $f(x) = x^2 - 4x$. O seu objetivo é obter a expressão analítica de uma nova função $g(x)$ cujo gráfico seja o resultado de deslocar o de $f(x)$ exatamente $3$ unidades para a direita e, em seguida, refleti-lo em relação ao eixo das abcissas ($X$). O Marcos apresenta a seguinte resolução no seu caderno:

«Para transladar $3$ unidades para a direita, somo $3$ dentro do argumento: $x \to x + 3$. Para refletir em relação ao eixo $X$, mudo o sinal da variável independente: $x \to -x$. Portanto, substituindo na fórmula obtenho: $g(x) = (-x + 3)^2 - 4(-x + 3)$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos ao aplicar as transformações.
2. b) Mostra o procedimento correto passo a passo e escreve a expressão algébrica de $g(x)$ na sua forma desenvolvida e simplificada.

O gráfico da função $f(x)$ é formado por dois segmentos de reta que unem os pontos $(-4, -2)$, $(0, 4)$ e $(4, -2)$. Define-se uma nova função por meio da transformação $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Descreva a sucessão ordenada de transformações geométricas aplicadas a $f(x)$.

• Calcule as coordenadas exatas dos novos vértices do gráfico de $g(x)$.

Uma parábola tem o seu vértice na origem das coordenadas e passa pelo ponto $(2, 4)$. Aplicam-se-lhe as seguintes transformações de forma sequencial:

1. Uma contração horizontal que multiplica por $\frac{1}{3}$ as abcissas dos seus pontos.

2. Uma translação de $5$ unidades para a esquerda.

3. Uma reflexão em relação ao eixo das abcissas.

4. Uma translação de $7$ unidades para cima.

Determine a expressão analítica da função final $g(x)$ e as coordenadas exatas do seu novo vértice e dos seus pontos de interseção com os eixos.

A partir do gráfico da função $f(x)$ representado na figura, descreva os passos geométricos necessários para obter o gráfico da função $g(x) = |f(x)|$ e calcule as coordenadas dos novos vértices ou pontos de inflexão.

Exprime a função $g(x) = |-x^2 + 4|$ como uma função definida por ramos, eliminando o módulo e indicando claramente os intervalos onde a expressão original muda de sinal.

Associa cada uma das expressões analíticas ao painel correspondente na figura, sabendo que todas derivam de transformações com valor absoluto aplicadas à função base $y = x - 3$.

1. $y = |x| - 3$

2. $y = ||x-3| - 2|$

3. $y = ||x| - 3|$

4. $y = |x-3| - 2$

Observe o gráfico da função $f(x)$ definida no intervalo $[-4, 4]$. Determine o domínio e o contradomínio da função transformada $g(x) = f(x-3) + 1$.

Expresse a função racional $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ na forma $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$, efetuando a divisão de polinómios. A partir deste resultado, descreva passo a passo as transformações geométricas que é necessário aplicar à hipérbole equilátera $y = \frac{1}{x}$ para obter o gráfico de $f(x)$.

Dada a função racional $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 1}$:

1. a) Efetua a divisão algébrica para expressar $f(x)$ na forma canónica $f(x) = c + \frac{k}{x - h}$. A partir dessa expressão, descreve com precisão a sucessão de transformações geométricas elementares (translações, dilatações e reflexões) que permitem transformar a hipérbole básica $y = \frac{1}{x}$ no gráfico de $f(x)$.
2. b) Define-se a família de funções transformadas $g_m(x) = |f(x) + m|$, onde $m \in \mathbb{R}$ é uma constante. Sabendo que $f(x)$ possui uma assíntota horizontal, deduz fundamentadamente para que valores do parâmetro $m$ o gráfico de $g_m(x)$ terá a sua assíntota horizontal situada estritamente acima da reta horizontal $y = 3$.
3. c) Para o valor particular $m = -1$, obtém a expressão simplificada dentro do valor absoluto de $g_{-1}(x) = |f(x) - 1|$, calcula as coordenadas do ponto de interseção do seu gráfico com o eixo das abcissas e determina o intervalo exato da reta real no qual o gráfico de $f(x) - 1$ sofreu uma reflexão em relação ao eixo $X$ em consequência do valor absoluto.