Probabilidade total e probabilidade condicionada «inversa»

Segundo os relatórios de mobilidade de passageiros num corredor ferroviário de Portugal, $50\,\%$ dos utilizadores viaja em serviços Alfa Pendular/Intercidades, $30\,\%$ em Regional e os $20\,\%$ restantes em Urbanos/Suburbanos. Os registos de pontualidade indicam que a probabilidade de sofrer um atraso superior a $15$ minutos é de $2\,\%$ no Alfa Pendular/Intercidades, de $6\,\%$ no Regional e de $10\,\%$ nos Urbanos/Suburbanos.

1. a) Justifica que os tipos de comboio formam um sistema completo de acontecimentos e define com clareza os acontecimentos que intervêm.
2. b) Calcula a probabilidade de um passageiro escolhido ao acaso nesse corredor chegar ao seu destino com mais de $15$ minutos de atraso.
3. c) Se um passageiro selecionado ao acaso sofreu um atraso superior a $15$ minutos, calcula a probabilidade de a sua viagem ter sido em Alfa Pendular/Intercidades. Comenta o resultado: por que razão esta probabilidade é relativamente baixa apesar de metade dos bilhetes vendidos corresponderem a esse serviço?

Em uma escola, os alunos do 2º ano do Ensino Médio podem escolher entre duas plataformas para realizar seus trabalhos na nuvem: $65\%$ utiliza Google Workspace e o restante utiliza Microsoft 365. Sabe-se que $20\%$ dos usuários do Google utiliza ferramentas de Inteligência Artificial para redigir rascunhos, enquanto no Microsoft esse valor é de $15\%$.

Calcule a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso utilizar Inteligência Artificial para os seus rascunhos.

Num centro de alto rendimento para e-sports, os jogadores treinam em três plataformas distintas: PC, consola e dispositivos móveis. $50\ \%$ dos jogadores usa PC, $30\ \%$ usa consola e o restante, dispositivos móveis. Observou-se que o rendimento diminui por fadiga visual em $8\ \%$ dos jogadores de PC, em $5\ \%$ dos de consola e em $12\ \%$ dos que usam telemóveis.

1. a) Calcule a probabilidade de um jogador escolhido ao acaso apresentar fadiga visual.

1. b) Se selecionarmos um jogador e verificarmos que sofre de fadiga visual, qual é a probabilidade de treinar habitualmente com um dispositivo móvel?

Uma rede de supermercados vende iogurtes de dois fornecedores distintos. $40\%$ provém do Fornecedor A e $60\%$ do Fornecedor B. O controlo de qualidade indica que $5\%$ dos iogurtes do Fornecedor A apresentam defeitos de embalagem, enquanto no Fornecedor B esse defeito aparece apenas em $2\%$ dos casos.

Se comprarmos um iogurte e verificarmos que tem um defeito de embalagem, qual é a probabilidade de proceder do Fornecedor A?

Um serviço de streaming de música classifica os seus utilizadores em três categorias: "Free" (com anúncios), "Premium" e "Family". $60\ \%$ são utilizadores Free, $30\ \%$ Premium e $10\ \%$ Family. Sabe-se que $80\ \%$ dos utilizadores Free ouvem mais de 2 horas diárias, enquanto essa percentagem é de $90\ \%$ para os Premium e de $95\ \%$ para os Family.

1. a) Escolhido um utilizador ao acaso, qual é a probabilidade de ele ouvir música 2 horas ou menos por dia?

1. b) Se selecionarmos um utilizador que ouve mais de 2 horas diárias de música, qual é a probabilidade de pertencer à modalidade "Premium"?

Uma empresa de cibersegurança utiliza três sistemas de inteligência artificial ($S_1$, $S_2$ e $S_3$) para detetar tentativas de acesso não autorizado numa rede empresarial. O sistema $S_1$ gere $45 \%$ dos alertas, o $S_2$ $35 \%$ e o $S_3$ o resto.

Sabe-se por auditorias prévias que, entre os alertas emitidos por cada sistema, são falsos alarmes (dá-se como ataque um acesso legítimo) $2 \%$ dos de $S_1$, $5 \%$ dos de $S_2$ e $8 \%$ dos de $S_3$. O resto dos alertas de cada sistema correspondem a ataques reais. Por outro lado, a probabilidade de um sistema ignorar um ataque real (falso negativo) é de $1 \%$ em todos os casos; é um dado de que não vais precisar para este problema.

Num determinado momento, dispara um alerta no painel de controlo a indicar um ataque.

1. a) Representa a situação através de um diagrama em árvore, detalhando as probabilidades de cada ramo.

1. b) Calcula a probabilidade de o alerta emitido ser realmente um falso alarme.

1. c) Se se confirmar que o alerta era um falso alarme, qual é a probabilidade de ter sido gerado pelo sistema $S_3$?

Num torneio de eSports, um jogador chega à final. Ele pode escolher entre duas estratégias: Ofensiva (escolhe-a $70\%$ das vezes) ou Defensiva ($30\%$). Se jogar de forma ofensiva, ganha a partida com uma probabilidade de $0,6$, enquanto se jogar de forma defensiva, a sua probabilidade de vitória é de $0,4$.

Sabendo que o jogador ganhou a partida, calcule a probabilidade de ele ter utilizado uma estratégia defensiva.

Um estudo sobre mobilidade sustentável numa cidade indica que $45\ \%$ dos trajetos são realizados em transporte público, $35\ \%$ em bicicleta ou trotinete elétrica e $20\ \%$ em carro particular. Estima-se que a probabilidade de chegar atrasado ao trabalho seja de 0,15 se for usado transporte público, de 0,05 se for usada bicicleta/trotinete e de 0,30 se for usado carro particular (devido aos engarrafamentos).

1. a) Calcule a probabilidade de um cidadão escolhido ao acaso chegar pontual ao seu local de trabalho.

1. b) Sabendo que um trabalhador chegou atrasado, qual é a probabilidade de ter viajado no seu carro particular?

Num centro de alto rendimento desportivo, os atletas são submetidos a um controlo de dopagem. $1 \%$ dos atletas consome uma substância proibida. O teste utilizado tem uma fiabilidade de $98 \%$ (probabilidade de dar positivo se a substância tiver sido consumida). No entanto, o teste também produz $3 \%$ de "falsos positivos" (dar positivo em atletas que não consumiram nada).

1. a) Se um atleta testar positivo no controlo, qual é a probabilidade de realmente ter consumido a substância?
2. b) O comité decide realizar um segundo teste independente ao mesmo atleta se o primeiro der positivo. Se este segundo teste (com a mesma fiabilidade) também resultar positivo, qual é a probabilidade agora de o atleta ser culpado? Justifique se a confiança no veredito aumentou significativamente.

Um laboratório farmacêutico desenvolve um teste rápido para detetar uma deficiência vitamínica que afeta $5\ \%$ da população jovem. Os ensaios clínicos mostram que o teste dá positivo em $96\ \%$ das pessoas que realmente têm a deficiência. No entanto, também dá um "falso positivo" em $2\ \%$ das pessoas saudáveis.

1. a) Qual é a percentagem da população total que dará positivo no teste?

1. b) Se um jovem realizar o teste e o resultado for positivo, qual é a probabilidade real de ele sofrer de tal deficiência vitamínica? Comente se o resultado lhe parece alto ou baixo em relação à fiabilidade do teste.

Num laboratório de biotecnologia, manipulam-se três tipos de bactérias: $T_1$, $T_2$ e $T_3$. Há um recipiente que contém 100 amostras: 20 de $T_1$, 30 de $T_2$ e 50 de $T_3$. A probabilidade de uma amostra desenvolver resistência antibiótica em 24 horas é de $0,2$ para $T_1$, $0,4$ para $T_2$ e um valor desconhecido $p$ para $T_3$.

Retira-se uma amostra ao acaso e observa-se que desenvolveu resistência após 24 horas. Sabendo que a probabilidade de tal amostra ser do tipo $T_2$ é de $0,375$:

1. a) Determine o valor da probabilidade $p$ associada às bactérias do tipo $T_3$.
2. b) Com o valor de $p$ obtido, calcule a probabilidade de, ao escolher uma amostra ao acaso, ela não desenvolver resistência.

Três máquinas, $M_1$, $M_2$ e $M_3$, fabricam peças de precisão. $M_1$ produz o dobro de peças que $M_2$, e $M_3$ produz o mesmo número que $M_1$ e $M_2$ juntas. A percentagem de peças defeituosas é de $2 \%$ para $M_1$ e de $4 \%$ para $M_2$.

Sabe-se que, ao retirar uma peça ao acaso da produção total, a probabilidade de ser defeituosa é de $2,5 \%$.

1. a) Calcule a percentagem de peças defeituosas que a máquina $M_3$ produz.
2. b) Se retirarmos uma peça e verificarmos que é defeituosa, qual é a máquina que tem maior probabilidade de a ter fabricado?