Probabilidade condicionada

Numa convenção de aficionados do mundo do gaming, sorteia-se uma consola de última geração entre os participantes. Participam 120 pessoas de Lisboa, 80 do Porto e 50 de Coimbra. Além disso, sabe-se que 60 % dos participantes totais são menores de 18 anos. Se se escolher um vencedor ao acaso, calcula:

1. a) O espaço de resultados associado à origem dos participantes.

1. b) A probabilidade de o vencedor ser de Lisboa.

1. c) A probabilidade de o vencedor ser maior de idade.

Numa escola de idiomas, 40% dos alunos estão inscritos no curso de Alemão ($A$). Dos alunos inscritos em Alemão, 30% também frequentam aulas de conversação ($C$). Se for selecionado um aluno da escola ao acaso, determine:

1. a) A probabilidade de um aluno estar inscrito em Alemão e frequentar aulas de conversação.
2. b) Sabendo que um aluno está em Alemão, qual é a probabilidade de não frequentar aulas de conversação?

Numa escola secundária foram recolhidos dados de 200 estudantes do 2.º ano de Bachillerato sobre dois acontecimentos: $A$ (passar no exame de Matemática) e $B$ (frequentar habitualmente a biblioteca do centro). O registo mostra que 120 frequentam a biblioteca, 90 passam no exame e 60 fazem ambas as coisas.

O Marcos quer calcular a probabilidade de um aluno passar a Matemática sabendo que frequenta a biblioteca, e escreve no seu exame:

1. a) Identifica com precisão que probabilidade calculou realmente o Marcos e explica qual é o erro conceptual da sua abordagem relativamente à definição de probabilidade condicionada e à mudança de espaço amostral.
2. b) Corrige o cálculo determinando o valor correto de $P(A|B)$.
3. c) Justifica formalmente se, para este grupo de estudantes, frequentar a biblioteca e passar a Matemática são acontecimentos estatisticamente independentes.

Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Extraem-se sucessivamente duas bolas com reposição (devolve-se a primeira antes de retirar a segunda). Represente a situação através de um diagrama em árvore e calcule:

1. a) A probabilidade de ambas as bolas serem brancas.
2. b) A probabilidade de a primeira ser preta e a segunda branca.
3. c) A probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor.

Extraem-se sucessivamente e sem reposição duas cartas de um baralho de 40 cartas. Calcule as seguintes probabilidades:

1. Que a segunda carta seja um Rei, sabendo que a primeira foi um Ás.

2. Que a segunda carta seja um Rei, sabendo que a primeira também foi um Rei.

3. Que as duas cartas sejam figuras (Valete, Dama ou Rei).

4. Sabendo que a segunda carta foi de Ouros, qual é a probabilidade de a primeira também ter sido de Ouros?

Num centro de saúde, estima-se que a probabilidade de um paciente ter gripe seja $P(G) = 0,15$. Sabe-se que, se um paciente tem gripe, a probabilidade de apresentar febre é de $0,90$, enquanto, se não tem gripe, a probabilidade de apresentar febre se reduz a $0,10$.

Se for escolhido um paciente ao acaso e ele apresentar febre, que nome recebe a probabilidade condicionada $P(G|F)$ e qual é o teorema utilizado habitualmente para a calcular? (Não é necessário realizar o cálculo numérico final, apenas identificar os conceitos).

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos independentes associados a uma experiência aleatória, tais que $P(A) = 0,4$ e $P(B) = 0,5$. Determine as seguintes probabilidades:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$

Numa plataforma de streaming, $60\%$ dos utilizadores vê séries de ficção científica (acontecimento $S$) e $45\%$ vê documentários (acontecimento $D$). Sabe-se que $20\%$ dos utilizadores gosta de ambos os géneros. Se selecionarmos um utilizador ao acaso que sabemos que vê séries de ficção científica, calcule a probabilidade de também ver documentários. Os acontecimentos "ver séries de ficção científica" e "ver documentários" são independentes? Justifique a resposta.

Num controlo de qualidade de uma fábrica de componentes eletrónicos, sabe-se que o acontecimento $F$ (o componente tem uma falha de soldadura) tem probabilidade $P(F) = 0,08$, e o acontecimento $C$ (o componente tem uma falha de carcaça) tem probabilidade $P(C) = 0,12$. Se ambos os acontecimentos forem independentes, calcule:

1. A probabilidade de um componente ter ambas as falhas.

2. A probabilidade de ter alguma falha.

3. A probabilidade de não ter nenhuma falha.

4. Sabendo que o componente tem uma falha de carcaça, qual é a probabilidade de não ter falha de soldadura?

Um sistema de segurança para um servidor crítico é composto por dois componentes, $C_1$ e $C_2$, ligados em paralelo, o que significa que o sistema funciona se pelo menos um dos componentes funcionar. A probabilidade de o componente $C_1$ falhar num ano é de $0,05$ e a de falhar $C_2$ é de $0,08$. As falhas dos componentes são acontecimentos independentes.

Calcule:

1. a) A probabilidade de o sistema funcionar corretamente durante um ano.
2. b) Sabendo que o sistema funcionou corretamente, qual é a probabilidade de o componente $C_1$ ter falhado?

Foi realizado um estudo sobre a posse de animais de estimação num grupo de 100 pessoas. Os resultados estão reunidos na seguinte tabela de contingência:

1. a) Complete a tabela de contingência.
2. b) Se escolhermos uma pessoa ao acaso, qual é a probabilidade de que tenha cão e gato?
3. c) Sabendo que a pessoa escolhida tem cão, qual é a probabilidade de que também tenha gato?

Um centro de treino desportivo analisa o rendimento dos seus 120 atletas. Observa-se que 65 deles seguem uma dieta específica, 70 realizam treinos de alta intensidade e 40 cumprem ambas as condições.

1. Organize os dados numa tabela de contingência.

2. Se escolhermos um atleta ao acaso e ele não realizar treinos de alta intensidade, qual é a probabilidade de seguir a dieta específica?

3. Se o atleta escolhido não seguir a dieta, qual é a probabilidade de também não realizar treinos de alta intensidade?

Lançam-se simultaneamente dois dados equilibrados de seis faces. Calcule a probabilidade dos seguintes acontecimentos:

1. a) Obter uma soma de pontos igual a 7.
2. b) Sabendo que no primeiro dado saiu um número par, qual é a probabilidade de que a soma seja 7?
3. c) Os acontecimentos "soma igual a 7" e "primeiro dado par" são independentes? Justifique a sua resposta comparando $P(S=7|Par)$ com $P(S=7)$.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos tais que $P(A) = 0,4$, $P(B|A) = 0,25$ e $P(A' \cap B') = 0,45$.

1. Calcule $P(A \cap B)$.

2. Calcule $P(B)$.

3. Calcule $P(A|B)$.

4. Determine se os acontecimentos $A$ e $B$ são compatíveis e se são independentes. Justifique as suas conclusões.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos de uma experiência aleatória tais que as probabilidades condicionadas verificam $P(A|B) = 0,25$ e $P(B|A) = 0,4$. Sabendo que a probabilidade da união de ambos é $P(A \cup B) = 0,55$, calcule os valores de $P(A)$ e $P(B)$.

Num laboratório de biotecnologia investiga-se a resistência de uma bactéria a dois tipos de antibióticos, $A$ e $B$. Sabe-se que a probabilidade de a bactéria ser resistente ao antibiótico $A$ é $P(A) = 0,65$ e a probabilidade de ser resistente ao antibiótico $B$ é $P(B) = 0,48$. Além disso, determinou-se que a probabilidade de não ser resistente a nenhum dos dois é de $12\%$.

Calcule fundamentadamente:

1. a) A probabilidade de a bactéria ser resistente a $A$ sabendo que é resistente a $B$.
2. b) A probabilidade de ser resistente a apenas um dos dois antibióticos.
3. c) Os acontecimentos "ser resistente a $A$" e "ser resistente a $B$" são independentes? Justifique a sua resposta por meio de cálculos.