Função com raízes

Determine o domínio de definição da seguinte função com raiz de índice par:

$f(x) = \sqrt{3x - 12}$

Determine o domínio da função quadrática sob uma raiz quadrada:

$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$

Calcule o domínio da função que contém uma raiz de índice par no denominador:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$

Calcule o domínio de definição da função com raiz de índice ímpar:

$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$

Determine o domínio da função irracional que contém uma expressão racional:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$

Determine o domínio de definição da função formada pela soma de duas raízes:

$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$

Determine o domínio da função irracional cujo radicando é uma fração algébrica com um numerador quadrático:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$

Resolva a inequação associada ao domínio da função $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ e expresse-o na forma de intervalo.

A partir da função $f(x) = \sqrt{x}$, escreva a expressão analítica da função $g(x)$ cujo gráfico é obtido ao deslocar $f(x)$ três unidades para a esquerda e duas unidades para cima. Qual é o domínio de $g(x)$?

Determine o domínio e o contradomínio da função com coeficiente principal negativo:

$f(x) = -\sqrt{x - 1}$

Pretende-se conceber uma função da forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$ (com $a, b, c \in \mathbb{R}$) cujo gráfico seja uma semiparábola e que satisfaça simultaneamente as seguintes três condições:

1. O seu domínio de definição é o intervalo $[4, +\infty)$.

2. O seu contradomínio ou imagem é $(-\infty, 5]$.

3. O seu gráfico interseta o eixo das abcissas no ponto $(13, 0)$.

1. a) A partir exclusivamente das condições de domínio e contradomínio, deduz as coordenadas do vértice $(b, c)$ da semiparábola e justifica, sem efetuar cálculos numéricos, que sinal deve ter obrigatoriamente o coeficiente $a$.
2. b) Formula a equação correspondente com o ponto de interseção $(13, 0)$ e calcula o valor exato do parâmetro $a$.
3. c) Com a fórmula completa de $f(x)$, justifica analiticamente se a função é crescente ou decrescente no seu domínio.

Observe o gráfico ao lado que representa uma função da forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determine os valores dos parâmetros $a$, $b$ e $c$ sabendo que o vértice da semiparábola se encontra no ponto $(2, 1)$ e passa pelo ponto $(6, -3)$.

Encontra os pontos de interseção com os eixos coordenados da função:

$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$

Calcule os pontos de interseção entre a função irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ e a função afim $g(x) = x + 1$.

Dada a função $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determine a sua função inversa $f^{-1}(x)$ e indique o domínio e o contradomínio dessa função inversa.

Dada a função $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcule a sua função inversa $f^{-1}(x)$ restringindo o domínio original ao intervalo $(-\infty, 0]$. Indique claramente o domínio e o contradomínio da função inversa obtida.

A relação entre a área $A$ de um círculo e o seu raio $r$ é dada pela fórmula $A = \pi r^2$. Expresse o raio em função da área, $r(A)$, e indique o domínio de definição válido neste contexto geométrico.

O período $T$ (em segundos) de um pêndulo simples pode ser aproximado pela função $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, onde $L$ é o comprimento do pêndulo em metros. Calcule o comprimento necessário para que o período seja exatamente de $2$ segundos e indique o domínio teórico da função $T(L)$ neste contexto físico.

O custo de produção $C(x)$, em euros, de $x$ peças de um componente eletrónico para satélites segue um modelo de rendimentos decrescentes dado por $C(x) = 2500 + 120\sqrt{x - 50}$. Determine o domínio válido para a função de custo e calcule quantas peças foram fabricadas se o custo total subiu para $4900$ euros.

Na teoria da relatividade restrita, o fator de Lorentz $\gamma$ depende da velocidade $v$ de um objeto segundo a função $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, onde $c$ é a velocidade da luz no vácuo (aproximadamente $3 \cdot 10^8$ m/s). Determine o domínio da função $\gamma(v)$ e interprete fisicamente o que acontece com a função quando $v$ se aproxima dos extremos desse domínio.