Função polinomial
Um drone de observação levanta voo e o centro de controlo regista a sua altura em cada instante: $h(t) = -5t^2+20t+2$. Esta expressão é um polinómio em $t$, e o gráfico que descreve o voo do drone é o de uma função polinomial. Neste apartado vais rever o que já conheces de retas e parábolas: domínio, contradomínio, o que acontece quando $x$ cresce sem limite, a paridade e como usar os zeros para estudar o sinal da função. Qual será a altura máxima do drone? Vais descobri-lo no fim.
O que é uma função polinomial
Conforme o grau, cada família tem nome próprio: grau $1$ é função afim (reta), grau $2$ é função quadrática (parábola), e grau $3$ ou superior diz-se simplesmente função polinomial de grau $n$. O contradomínio, esse, depende da família: nem sempre é $\mathbb{R}$.
Calcule o valor do parâmetro $c$ para que a função quadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ passe pelo ponto $(-1, 10)$.
Calcule o valor do parâmetro $c$ para que a função quadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ passe pelo ponto $(-1, 10)$.
Determine os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da função polinomial de segundo grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(0, 3)$, $(1, 4)$ e…
Determine os coeficientes $a$, $b$ e $c$ da função polinomial de segundo grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(0, 3)$, $(1, 4)$ e $(-1, 6)$.
Função afim: grau 1
Encontra a expressão analítica da função afim que passa pelos pontos $A(2, -3)$ e $B(5, 6)$.
Encontra a expressão analítica da função afim que passa pelos pontos $A(2, -3)$ e $B(5, 6)$.
Função quadrática: vértice e concavidade
Determine as coordenadas do vértice e a equação do eixo de simetria da função quadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Determine as coordenadas do vértice e a equação do eixo de simetria da função quadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Indique se a parábola dada pela função $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ tem a concavidade voltada para baixo (ramos para baixo) ou para cima (ramos para cima) e calcule as…
Indique se a parábola dada pela função $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ tem a concavidade voltada para baixo (ramos para baixo) ou para cima (ramos para cima) e calcule as coordenadas exatas do seu vértice.
Encontra a equação da parábola cujo vértice é o ponto $V(3, -2)$ e que passa pelo ponto $P(5, 6)$. Exprime o resultado na forma $y = ax^2 + bx + c$.
Encontra a equação da parábola cujo vértice é o ponto $V(3, -2)$ e que passa pelo ponto $P(5, 6)$. Exprime o resultado na forma $y = ax^2 + bx + c$.
Comportamento no infinito e paridade
O grau e o sinal do coeficiente de maior grau determinam o que acontece a $f(x)$ quando $x\to+\infty$ e quando $x\to-\infty$.
Analise o comportamento no infinito (ramos infinitos) da função polinomial $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando o valor dos seus limites quando $x \to +\infty$ e…
Analise o comportamento no infinito (ramos infinitos) da função polinomial $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando o valor dos seus limites quando $x \to +\infty$ e quando $x \to -\infty$.
Uma função polinomial de terceiro grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ é ímpar. Sabendo que passa pelos pontos $(1, -4)$ e $(2, 4)$, determine a sua expressão analítica e…
Uma função polinomial de terceiro grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ é ímpar. Sabendo que passa pelos pontos $(1, -4)$ e $(2, 4)$, determine a sua expressão analítica e calcule todos os seus pontos de interseção com os eixos coordenados.
Zeros, fatorização e sinal
Calcule analiticamente os pontos de interseção com os eixos coordenados da função polinomial $p(x) = x^3 - 4x$.
Calcule analiticamente os pontos de interseção com os eixos coordenados da função polinomial $p(x) = x^3 - 4x$.
Encontre as raízes da função polinomial de segundo grau $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Encontre as raízes da função polinomial de segundo grau $f(x) = x^2 - 5x + 6$.
Encontra a expressão analítica de um polinómio de terceiro grau $P(x)$ cujas únicas raízes são $x = -2$, $x = 1$ e $x = 4$, sabendo também que o seu gráfico interseta o…
Encontra a expressão analítica de um polinómio de terceiro grau $P(x)$ cujas únicas raízes são $x = -2$, $x = 1$ e $x = 4$, sabendo também que o seu gráfico interseta o eixo das ordenadas no ponto $(0, 16)$.
Aplicações: otimizar e intersetar
Dois usos muito frequentes das funções polinomiais: encontrar o máximo ou mínimo de uma quantidade modelada por uma parábola e encontrar onde se intersetam dois gráficos (duas funções com o mesmo valor).
A altura em metros de um drone de observação em função do tempo em segundos é dada pela expressão $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcule a altura em que o drone se encontra…
A altura em metros de um drone de observação em função do tempo em segundos é dada pela expressão $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcule a altura em que o drone se encontra nos instantes $t = 1$ e $t = 3$.
Um agricultor dispõe de $100$ metros de cerca para vedar uma horta retangular aproveitando a margem reta de um rio, por isso não precisa de colocar cerca nesse lado.…
Um agricultor dispõe de $100$ metros de cerca para vedar uma horta retangular aproveitando a margem reta de um rio, por isso não precisa de colocar cerca nesse lado. Expresse a área da horta em função da largura $x$ perpendicular ao rio e determine as dimensões que maximizam essa área.
Um projétil é lançado para cima de forma que a sua altura em metros em relação ao tempo em segundos segue a função $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcule a altura…
Um projétil é lançado para cima de forma que a sua altura em metros em relação ao tempo em segundos segue a função $h(t) = -4,9t^2 + 19,6t + 1,5$. Calcule a altura máxima atingida pelo projétil e o instante de tempo em que ela ocorre.
De volta ao início: para o drone $h(t) = -5t^2+20t+2$, o vértice ocorre em $t_v = -\dfrac{20}{2\times(-5)} = 2$ s, com altura máxima $h(2) = -5\times 2^2 + 20\times 2 + 2 = 22$ metros.