Propriedades das funções deriváveis. Teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy

Dada a função polinomial $f(x) = x^2 - 6x + 8$, verifica se se verificam as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo $[2, 4]$. Em caso afirmativo, determina o valor do ponto $c \in (2, 4)$ cuja existência o teorema garante.

Explica de forma fundamentada porque não se pode aplicar o Teorema de Rolle à função $f(x) = 1 - |x-1|$ no intervalo $[0, 2]$, apesar de $f(0) = f(2) = 0$. Que hipótese falha neste caso?

Considera a função polinomial $f(x) = x^3 + x^2 + kx$.

1. a) Determina o valor do parâmetro $k$ para que a função cumpra as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo $[-2, 1]$.
2. b) Para esse valor de $k$, calcula os pontos $c$ que verificam a tese do teorema.

Considera a função $f(x) = x^2 - x$ no intervalo $[0, 2]$. Na figura aparecem o seu gráfico e a reta secante que passa pelos pontos $A$ e $B$ do gráfico de abcissas $0$ e $2$.

1. a) Comprova que se cumprem as hipóteses do Teorema do Valor Médio (de Lagrange) em $[0, 2]$ e calcula o declive da reta secante $AB$.

1. b) Determina o valor do ponto $c \in (0, 2)$ cuja existência o teorema garante.

1. c) Explica graficamente que relação tem a reta tangente ao gráfico no ponto de abcissa $c$ com a reta secante $AB$.

Sabe-se que uma função $f(x)$ é contínua no intervalo fechado $[1, 5]$ e derivável no aberto $(1, 5)$. Se os valores da função nos extremos são $f(1) = 10$ e $f(5) = 30$, podemos garantir que existe algum ponto $c$ no intervalo onde o declive da reta tangente seja igual a $5$? Justifique a sua resposta utilizando o Teorema de Lagrange.

Dada a função definida por ramos:

Estuda se são satisfeitas as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo $[1, e+2]$ e, em caso afirmativo, determina o valor ou valores de $c \in (1, e+2)$ cuja existência o teorema assegura.

Um radar de trecho numa autoestrada espanhola deteta que um veículo entra no túnel de Guadarrama (ponto $A$) às 14:00:00 h e sai dele (ponto $B$) às 14:01:30 h. A distância entre ambos os pontos de controlo é de 3,5 km.

Se o limite de velocidade no túnel é de $120 \text{ km/h}$, utiliza o Teorema do Valor Médio de Lagrange para justificar se o condutor deveria receber uma multa por excesso de velocidade, independentemente de a sua velocidade na entrada e na saída ser legal.

Dadas as funções $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = 2x - 3$, verifique se são satisfeitas as condições do Teorema de Cauchy no intervalo $[1, 3]$. Em caso afirmativo, determine o valor de $c \in (1, 3)$ tal que:

Aplica o Teorema de Cauchy às funções $f(x) = \sin(x)$ e $g(x) = \cos(x)$ no intervalo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$, isto é, com $a = 0$ e $b = \frac{\pi}{2}$. Encontra o valor de $c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ que satisfaz a igualdade:

Explica a interpretação geométrica deste resultado em termos da curva paramétrica $t \mapsto (g(t), f(t))$, com $t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$. Na figura aparecem essa curva, os seus extremos $A = (g(a), f(a))$ e $B = (g(b), f(b))$, a reta secante $AB$ e os incrementos $g(b)-g(a)$ e $f(b)-f(a)$.

Dadas as funções $f(x) = e^x$ e $g(x) = x^2 + 1$, aplique o Teorema de Cauchy (Teorema do Valor Médio Generalizado) no intervalo $[0, 2]$.

Determine o valor de $c \in (0, 2)$, correspondente ao ponto $P$ da figura, que satisfaz a tese do teorema:

Utiliza os teoremas de Bolzano e de Rolle para demonstrar que a equação:

tem exatamente uma solução real no intervalo $[0, 1]$.

Demonstre, utilizando conjuntamente o Teorema de Bolzano e o Teorema de Rolle, que a equação:

possui uma única solução real para qualquer valor da constante $k \in \mathbb{R}$. Explique fundamentadamente porque é que a existência de mais de uma raiz entraria em contradição com o enunciado do Teorema de Rolle.

Utiliza o Teorema do Valor Médio para demonstrar a seguinte desigualdade para qualquer par de números reais $a$ e $b$ tais que $0 < a < b$:

Sugestão: Aplica o teorema à função $f(x) = \ln(x)$ no intervalo $[a, b]$.