Experiências aleatórias

Classifique as seguintes experiências como determinísticas ou aleatórias, justificando brevemente a sua resposta em cada caso:

1. a) Largar um smartphone de uma altura de um metro e observar se cai ao chão.
2. b) Abrir uma lista de reprodução no modo aleatório e anotar qual é a primeira canção que toca.
3. c) Calcular o tempo que um carro demora a percorrer $200$ km se circular a uma velocidade constante de $100$ km/h.
4. d) Perguntar à primeira pessoa que encontrar na rua em que mês nasceu.
5. e) Retirar uma carta de um baralho de $40$ cartas e observar o seu naipe.

Retiramos uma bola de uma urna que contém $5$ bolas numeradas de $1$ a $5$. Indique se os seguintes acontecimentos são possíveis, certos ou impossíveis:

1. a) $A = \text{"obter um número maior que 0"}$.
2. b) $B = \text{"obter o número 7"}$.
3. c) $C = \text{"obter um número par"}$.
4. d) $D = \text{"obter um número menor ou igual que 5"}$.
5. e) $F = \text{"obter um número negativo"}$.

Um estudante tem no seu estojo três canetas de cores diferentes: Azul (A), Preto (N) e Vermelho (R). Decide retirar duas canetas de forma consecutiva e sem repor a primeira no estojo.

1. a) Escreva o espaço de resultados $E$ desta experiência.
2. b) Indique quantos acontecimentos elementares formam esse espaço de resultados.
3. c) Defina o acontecimento composto $S = \text{"retirar a caneta azul em qualquer posição"}$.

Considera-se a experiência aleatória que consiste em lançar um dado tetraédrico (4 faces) com as faces numeradas de $1$ a $4$, e uma moeda de $1$ euro. Anota-se o número da face inferior do dado e se a moeda mostra cara $(C)$ ou coroa $(X)$.

1. a) Utilize um diagrama em árvore para representar todos os resultados possíveis.
2. b) Escreva o espaço de resultados $E$.
3. c) Determine os elementos do acontecimento $A = \text{"obter um número par no dado e cara na moeda"}$.

Numa turma do 12.º ano, analisam-se as subscrições de plataformas de streaming. Chamamos $A$ ao acontecimento "ser subscritor da Netflix" e $B$ ao acontecimento "ser subscritor do Spotify". Expressa por palavras o significado dos seguintes acontecimentos relacionados com as operações com conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (ou evento complementar de $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Observa o seguinte diagrama de Venn que representa a distribuição de alunos que praticam Basquetebol ($B$) e Futebol ($F$) num centro desportivo municipal.

A partir do gráfico, define mediante operações de acontecimentos as seguintes regiões:

1. a) Alunos que praticam ambos os desportos.
2. b) Alunos que praticam basquetebol, mas não futebol.
3. c) Alunos que praticam pelo menos um dos dois desportos.
4. d) Alunos que não praticam nenhum dos dois desportos mencionados.

Numa experiência aleatória, o espaço de resultados é formado por um conjunto de números inteiros positivos $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Definem-se três acontecimentos $A$, $B$ e $C$ sobre os quais se conhece a seguinte informação:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ é um acontecimento incompatível com $A$ ($A \cap C = \emptyset$), mas compatível com $B$, verificando-se que $B \cap C = \{3\}$.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. O número de acontecimentos elementares que formam $C$ é igual a $3$.\na) Reconstrói fundamentadamente os conjuntos que definem os acontecimentos $A$, $B$, $C$ e o espaço de resultados completo $E$, determinando o valor do cardinal $n$.\nb) Exprime mediante operações formais entre conjuntos (reuniões, interseções ou complementares) e escreve explicitamente os elementos do acontecimento: «ocorre exatamente um dos três acontecimentos ($A$, $B$ ou $C$)».

Num novo jogo de tabuleiro estratégico, um jogador deve lançar um dado tetraédrico (faces numeradas de $1$ a $4$) e, simultaneamente, retirar uma carta de um baralho reduzido que contém apenas os quatro ases e os quatro reis do baralho espanhol.

Considerando a experiência aleatória de registar o número do dado e o valor da carta (Ás ou Rei):

1. a) Descreva o espaço de resultados $E$ da experiência.
2. b) Sejam os acontecimentos:

$A$ = "Obter um número par no dado".

$B$ = "Obter um Ás de qualquer naipe".

$C$ = "Obter um número menor que $3$ no dado e que a carta seja um Rei".

Determine os elementos que compõem os acontecimentos $A \cup B$, $A \cap B$ e $B \cap C$.

Seja $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ o espaço de resultados de uma experiência aleatória. Dados os acontecimentos $A = \{1, 3, 5, 7\}$ e $B = \{2, 3, 5, 8\}$, determine os seguintes conjuntos:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Verifique se se cumpre a Primeira Lei de De Morgan: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Uma equipa de analistas de dados de uma plataforma de comércio eletrónico com sede em Espanha classifica cada reclamação segundo dois fatores: o canal de entrada (Telefone, Web, App móvel) e o departamento de resolução atribuído (Logística, Faturação, Garantias, Apoio ao cliente). A experiência aleatória consiste em registar ambos os fatores para a próxima reclamação recebida.\na) Sem escrever a lista detalhada de casos, faz uma estimativa intuitiva de quantos resultados elementares compõem o espaço de resultados $E$ e quantos acontecimentos distintos no total (subconjuntos de $E$) se podem definir teoricamente nesta experiência. Verifica as tuas estimativas calculando o cardinal de $E$ através do princípio multiplicativo e o cardinal do conjunto das partes $\mathcal{P}(E)$. Comenta se a magnitude do número total de acontecimentos corresponde à tua intuição inicial.\nb) Definem-se os acontecimentos $A$: «a reclamação não entra pela App móvel» e $B$: «a reclamação é atribuída a Logística ou Faturação». Descreve com precisão o significado verbal do acontecimento $\overline{A \cup B}$, transforma-o aplicando as Leis de De Morgan e determina quantos acontecimentos elementares o compõem.\nc) Justifica analiticamente se os acontecimentos $A$ e $\overline{B}$ são compatíveis ou incompatíveis.

Sejam $A, B$ e $C$ três acontecimentos quaisquer de uma experiência aleatória. Demonstre formalmente, utilizando as propriedades da álgebra dos acontecimentos (distributiva, complementaridade, etc.), a seguinte identidade:

Explique que nome essa operação recebe na teoria dos conjuntos e represente o acontecimento resultante mediante um diagrama de Venn sombreado.

Um satélite de comunicações envia rajadas de dados compostas por sequências binárias de comprimento $n=3$. Devido ao ruído cósmico, cada bit tem uma probabilidade de ser alterado. Definimos o espaço de resultados $E$ como o conjunto de todas as ternas binárias possíveis. Sejam os acontecimentos:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Utilizando as Leis de De Morgan, simplifique ao máximo a expressão do acontecimento $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$. Uma vez simplificado, descreva por palavras que característica comum têm as sequências que formam esse acontecimento $S$ em relação ao número de "uns" presentes na rajada.

Um jogo eletrónico de RPG permite criar uma personagem escolhendo entre duas fações: Guerreiro (G) ou Mago (M). Além disso, a personagem pode ser de três raças: Humano (H), Elfo (E) ou Anão (D).

Escolhe-se uma personagem ao acaso do servidor de jogo.

1. a) Escreva o espaço de resultados $E$ utilizando a nomenclatura das iniciais (por exemplo, $GH$ para Guerreiro Humano).
2. b) Descreva o acontecimento $S = \text{"o personagem não é um Mago"}$.
3. c) Se chamarmos $A$ ao acontecimento $\text{"o personagem é um Elfo"}$, indique quais os elementos que compõem o acontecimento contrário $\bar{A}$.

Hugo, estudante do 2.º ano de Bacharelato, analisa o controlo de qualidade de componentes eletrónicos numa fábrica do setor automóvel em Navarra. Para cada componente selecionado ao acaso, define os acontecimentos $A$: «o componente apresenta defeito elétrico» e $B$: «o componente apresenta defeito mecânico». Ao redigir o relatório técnico, Hugo afirma: «O acontecimento consistente em um componente não apresentar nenhum dos dois defeitos exprime-se formalmente como $\overline{A} \cup \overline{B}$».\na) Encontra o erro conceptual cometido por Hugo e explica com precisão que tipo de componentes estão realmente representados pela reunião $\overline{A} \cup \overline{B}$.\nb) Corrige a sua proposta escrevendo de forma matematicamente rigorosa o acontecimento «o componente não apresenta nenhum dos dois defeitos» de duas formas equivalentes: primeiro como uma interseção de acontecimentos e depois aplicando as Leis de De Morgan a partir de uma reunião.

Num ambiente de desenvolvimento de aplicações móveis, um programador está a testar a segurança de um sistema de acesso. Define-se uma experiência aleatória que consiste em gerar uma chave aleatória de 4 dígitos usando unicamente os números $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Consideram-se os seguintes acontecimentos:

• $A$: "A chave contém pelo menos dois dígitos iguais consecutivos".

• $B$: "A soma dos dígitos da chave é um número primo maior que 15".

• $C$: "A chave é capicua (lê-se igual da esquerda para a direita e da direita para a esquerda)".

Descreve detalhadamente o espaço de resultados $E$ indicando o seu cardinal e utiliza a álgebra de acontecimentos para expressar simbolicamente os seguintes acontecimentos:

1. a) A chave não é capicua ou a soma dos seus dígitos não é um número primo maior que 15.

1. b) A chave é capicua e tem pelo menos dois dígitos iguais consecutivos, mas a soma dos seus dígitos não é um número primo maior que 15.

1. c) Demonstra se os acontecimentos $A$ e $C$ são compatíveis ou incompatíveis, justificando a tua resposta com um exemplo de um elemento do espaço de resultados.

Consideramos a experiência aleatória que consiste em lançar um dado octaédrico (faces de $1$ a $8$) e um dado cúbico convencional (faces de $1$ a $6$). Definimos os seguintes acontecimentos:

$A$ = "A soma dos pontos é um número primo".

$B$ = "O produto dos pontos é múltiplo de $10$".

1. a) $A$ e $B$ são acontecimentos compatíveis ou incompatíveis? Justifique a resposta indicando pelo menos um elemento da interseção, se existir.
2. b) Calcule o número de elementos do acontecimento contrário de $B$.