Forma trigonométrica de um número complexo

O Marcos tem de passar o número complexo $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ para a forma polar. No seu exame escreve:

«$r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.

$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60^\circ = 300^\circ$.

Logo, $z = 4_{300^\circ}$».

Identifica o erro conceptual que o Marcos cometeu ao determinar o argumento, explica analisando os sinais da parte real e da parte imaginária em que quadrante deve situar-se o afixo de $z$ e escreve a forma polar correta com o seu argumento principal no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.

Considera o número complexo $z = -3\sqrt{2} - \sqrt{6}i$.

1. a) Antes de calcular: sabendo que $\sqrt{2} \approx 1,41$ e $\sqrt{6} \approx 2,45$, estima fundamentadamente o quadrante em que se encontra o seu afixo. Compara o valor absoluto da parte real ($|a| \approx 4,24$) com o da parte imaginária ($|b| \approx 2,45$): o argumento principal estará mais perto de $180^\circ$ ou de $270^\circ$? Apresenta uma estimativa do seu argumento (com uma margem de $\pm 10^\circ$) e uma aproximação do seu módulo.
2. b) Calcula algebricamente o valor exato do módulo $r$ e do argumento principal $\alpha$ de $z$. Escreve $z$ na forma polar e na forma trigonométrica, e confronta o resultado exato com as estimativas feitas na alínea anterior, justificando se o cálculo é coerente com a posição geométrica do afixo.

Exprime o número complexo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ na forma polar e na forma trigonométrica.

Dado o número complexo na forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determine a sua expressão na forma binómica.

Observe a representação no plano complexo do vetor que define $z$. Determine o seu módulo e o seu argumento e escreva a sua expressão na forma polar e trigonométrica.

Encontra o conjugado e o simétrico do número complexo $z = 6_{45^\circ}$. Exprime ambos os resultados na forma trigonométrica com argumentos positivos compreendidos entre $0^\circ$ e $360^\circ$.

Procura-se um número complexo $z$ cujo afixo se situa no quarto quadrante e cuja distância à origem das coordenadas é igual a $6$. Sabe-se que o seu conjugado, $\bar{z}$, cumpre que a sua parte real é exatamente metade do seu módulo ($a = r/2$). Determina fundamentadamente o argumento de $\bar{z}$, deduz a forma polar de $z$ com o seu argumento no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$ e determina a forma algébrica exata do seu oposto, $-z$.

Para calcular a forma algébrica do simétrico do conjugado do número complexo $z = 4_{150^\circ}$, isto é, $-\bar{z}$, dois alunos debatem qual é a estratégia mais conveniente:

• Método 1 (via algébrica): converter primeiro $z = 4_{150^\circ}$ para a forma algébrica usando $a = r\cos\alpha$ e $b = r\sin\alpha$, calcular depois o seu conjugado $\bar{z} = a - bi$, e finalmente mudar o sinal de ambas as componentes para obter $-\bar{z}$.

• Método 2 (via trigonométrica): calcular diretamente o argumento de $-\bar{z}$ utilizando as propriedades do argumento do conjugado ($\arg(\bar{z}) = -\alpha$) e do simétrico ($\arg(-w) = \arg(w) + 180^\circ$), simplificar o ângulo resultante em $[0^\circ, 360^\circ)$ sabendo que o módulo não varia, e passar unicamente para a forma algébrica o resultado final.

Aplica ambos os métodos passo a passo para determinar $-\bar{z}$ na forma algébrica e argumenta qual dos dois caminhos minimiza o risco de cometer erros de cálculo com os sinais e as razões trigonométricas.

Num circuito de corrente alternada, a tensão é representada pelo número complexo $V = 220_{30^\circ}$ e a impedância por $Z = 10_{-15^\circ}$. A lei de Ohm para corrente alternada estabelece que a intensidade é $I = \frac{V}{Z}$. Calcule a intensidade $I$ na forma polar e expresse-a posteriormente na forma binómica.

Determina o valor de $a \in \mathbb{R}$ para que o argumento do número complexo $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ seja de $45^\circ$.

Consideram-se dois números complexos não nulos, $z_1 = r_\alpha$ e $z_2 = s_\beta$, com argumentos principais expressos no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$. Dispõe-se da seguinte informação sobre eles:

1. O produto dos seus módulos é $r \cdot s = 12$ e o quociente dos seus módulos $r / s$ é igual a $3$.

2. O quociente $z_1 / z_2$ é um número imaginário puro com parte imaginária estritamente negativa.

3. O afixo do oposto de $z_2$, isto é, $-z_2$, situa-se sobre a bissetriz do quarto quadrante.

1. a) A partir das propriedades do módulo e da posição geométrica do oposto, determina o valor exato do módulo $s$ e do argumento $\beta$ de $z_2$.
2. b) Utilizando a condição sobre o quociente $z_1 / z_2$, determina o módulo $r$ e todos os possíveis argumentos principais $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ de $z_1$.
3. c) Escreve as soluções encontradas para $z_1$ e $z_2$ na forma trigonométrica exata e verifica analiticamente que o quociente $z_1 / z_2$ cumpre todas as condições impostas.

Calcule o produto dos números complexos $z_1 = 2_{30^\circ}$ e $z_2 = 5_{45^\circ}$. Exprima o resultado na forma polar.

Realiza a divisão dos números complexos $z_1 = 12_{150^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$. Exprime o resultado final na forma trigonométrica.

Aplique a fórmula de Moivre para calcular a quarta potência do número complexo $z = 2_{20^\circ}$. Expresse o resultado na forma polar.

Calcule as raízes quadradas do número complexo $z = 9_{80^\circ}$ e expresse os resultados na forma polar.

Encontra as três raízes cúbicas do número complexo $z = 8i$. Exprime os resultados na forma polar e justifica geometricamente a figura formada pelos seus afixos no plano complexo.

Calcule o valor da expressão $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para isso, converta previamente o numerador e o denominador para a forma polar.

Numa experiência de ótica, a defasagem entre duas ondas de luz é modelada multiplicando as suas representações complexas. Se a primeira onda é $z_1 = 3_{45^\circ}$ e a segunda é $z_2 = 2_{135^\circ}$, determina, na forma trigonométrica, o resultado de $z_1 \cdot z_2^2$.

Encontre o inverso do número complexo $z = 4_{210^\circ}$ e exprima-o na forma binómica. Verifique que o produto de $z$ pelo seu inverso resulta na unidade real.

Resolva a equação $z^4 + 81 = 0$ utilizando a forma polar dos números complexos. Exprima as quatro soluções obtidas na forma binómica.

Utilize a fórmula de Moivre para desenvolver a expressão $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir da igualdade entre as partes reais e imaginárias, deduza as identidades trigonométricas para $\cos(3\alpha)$ e $\sin(3\alpha)$ em função de $\cos \alpha$ e $\sin \alpha$.

Encontra todos os números complexos $z$ que satisfazem a equação $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Exprime as soluções na forma polar. (Dica: faz uma mudança de variável).

Determine dois números complexos $z_1$ e $z_2$, sabendo que o seu quociente é $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ e que o seu produto é $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Escreva ambos os números na forma trigonométrica.

Cinco forças complanares de igual magnitude $F = 10\text{ N}$ são aplicadas sobre um ponto material situado na origem. As direções dessas forças correspondem aos afixos das raízes quintas do número complexo $z = 100000_{0^\circ}$. Demonstre matematicamente, utilizando as propriedades dos números complexos na forma polar, que a força resultante é nula.

Seja o número complexo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demonstre que $z^3 = 1$ e, em seguida, calcule o valor da expressão $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.