O método de Newton (método das tangentes)
Quando carregas na tecla $\sqrt{\ \ }$ da calculadora, ela não «sabe» a raiz quadrada de 5: calcula-a por aproximações sucessivas, e em poucos passos obtém uma dezena de algarismos certos. Como é que isso é possível? Neste apartado vês um dos métodos mais rápidos para resolver equações $f(x)=0$: o método de Newton, também chamado método das tangentes.
A ideia: substituir a curva pela tangente
Já conheces o método da bisseção: seguro, mas lento, porque só corta o intervalo ao meio. O método de Newton usa mais informação: a derivada.
Parte-se de uma primeira aproximação $x_0$ do zero. Perto de $x_0$, o gráfico de $f$ e a reta tangente em $(x_0, f(x_0))$ quase se confundem. Ora, o zero da reta tangente sabemos calcular facilmente. Esse zero é a nova aproximação $x_1$.
Repete-se o processo a partir de $x_1$: traça-se a tangente em $(x_1, f(x_1))$, obtém-se $x_2$, e assim sucessivamente. Os valores $x_0, x_1, x_2, \dots$ aproximam-se, em geral, muito depressa do zero.
Porquê «em geral»? Porque a tangente só substitui bem a curva perto do ponto de tangência. Se $x_0$ estiver longe do zero, ou se a curva mudar muito de direção, a tangente pode levar-te para longe. Voltaremos a isto na última secção.
A fórmula de recorrência
Vamos traduzir a construção em contas. A reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x_0$ tem declive $f'(x_0)$ e passa em $(x_0, f(x_0))$. Logo:
$$y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0) \quad\Longleftrightarrow\quad y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)$$O ponto onde esta reta corta o eixo $Ox$ é o que tem $y=0$ (supondo $f'(x_0)\neq 0$):
$$0 = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \;\Longleftrightarrow\; x - x_0 = -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \;\Longleftrightarrow\; x = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$A fórmula tem uma leitura simples: $\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ é a «correção» que se subtrai a $x_n$. Quanto mais perto do zero, menor é $f(x_n)$ e, portanto, menor é a correção. Por isso o método estabiliza.
Seja $f$ uma função derivável e $x_0$ uma primeira aproximação de um zero de $f$. O método de Newton consiste em tomar como nova aproximação $x_1$ o ponto de interseção…
Seja $f$ uma função derivável e $x_0$ uma primeira aproximação de um zero de $f$. O método de Newton consiste em tomar como nova aproximação $x_1$ o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $(x_0, f(x_0))$ com o eixo $Ox$.
- a) Explica, com as tuas palavras, por que razão $x_1$ é, em geral, uma melhor aproximação do zero do que $x_0$.
- b) Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x_0$.
- c) Fazendo $y = 0$ na equação da alínea anterior, mostra que se obtém $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$.
Aplicar o método passo a passo
O procedimento é sempre o mesmo: calcular $f'(x)$, escrever a fórmula de recorrência simplificada e iterar na calculadora, guardando valores com a precisão máxima e arredondando só no fim.
Repara como o número de casas decimais certas, grosso modo, duplica a cada passo. Esta é a grande vantagem do método.
Podes ver a construção no gráfico de $x^2-5$ (zero em $\sqrt5\approx 2{,}236$):
Como saber se $x_n$ já é uma boa aproximação? Duas verificações práticas:
-
se $|x_{n+1}-x_n|$ for menor do que a tolerância desejada, o método «parou de se mexer»;
-
para ter a certeza, confirma com o teorema dos valores intermédios: se $f(x_n-\varepsilon)$ e $f(x_n+\varepsilon)$ tiverem sinais contrários, existe um zero a menos de $\varepsilon$ de $x_n$.
Também podes calcular $f(x_n)$: se for muito próximo de $0$, a equação está quase satisfeita.
Para aproximar $\sqrt{5}$, aplica-se o método de Newton à função $f(x) = x^2 - 5$. a) Determina $f'(x)$ e escreve a fórmula de recorrência…
Para aproximar $\sqrt{5}$, aplica-se o método de Newton à função $f(x) = x^2 - 5$.
- a) Determina $f'(x)$ e escreve a fórmula de recorrência $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ para esta função.
- b) Partindo de $x_0 = 2$, calcula $x_1$ e $x_2$, apresentando $x_2$ com quatro casas decimais.
- c) Compara $x_2$ com o valor de $\sqrt{5}$ dado pela calculadora. Quantas casas decimais coincidem?
Considera a função $f(x) = x^3 + x - 1$. a) Determina $f'(x)$ e escreve a fórmula de recorrência do método de Newton para esta função. b) Partindo de $x_0 = 1$, calcula…
Considera a função $f(x) = x^3 + x - 1$.
- a) Determina $f'(x)$ e escreve a fórmula de recorrência do método de Newton para esta função.
- b) Partindo de $x_0 = 1$, calcula $x_1$ e $x_2$, com quatro casas decimais.
- c) Calcula $f(x_2)$ e comenta a proximidade de $x_2$ ao zero de $f$.
Newton ou bisseção? Rapidez e limitações
Na bisseção, o intervalo que contém o zero é reduzido a metade em cada passo. Se o intervalo inicial tiver amplitude $b-a$, ao fim de $n$ iterações o erro é inferior a
$$\frac{b-a}{2^n}.$$Isto dá-te uma forma de calcular antes quantas iterações são precisas: resolve $\dfrac{b-a}{2^n}<\text{tolerância}$.
No método de Newton não há uma fórmula tão simples de erro, mas, perto do zero, o número de casas decimais certas duplica a cada passo (como viste), por isso bastam muito menos iterações. O preço a pagar: é preciso calcular $f'$, o método exige uma boa escolha de $x_0$ e não garante convergência.
| Bisseção | Newton | |
|---|---|---|
| Ponto de partida | intervalo $[a,b]$ com $f(a)f(b)<0$ | valor $x_0$ perto do zero |
| Precisa de $f'$? | não | sim |
| Convergência | garantida (se $f$ contínua) | não garantida |
| Rapidez | lenta (erro ÷ 2 por passo) | muito rápida perto do zero |
Quando é que o método de Newton falha? Geometricamente, sempre que a tangente nos leva para um sítio mau:
-
Tangente horizontal: se $f'(x_n)=0$, a tangente não corta o eixo $Ox$ e a fórmula tem divisão por zero. Se $f'(x_n)$ é muito pequeno, $x_{n+1}$ salta para muito longe.
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Mau ponto de partida: o método pode convergir para outro zero, ou afastar-se de todos.
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Ciclos: as iterações repetem-se sem nunca se aproximar de um zero.
Nos exercícios anteriores aproximaste o zero de $f(x) = x^3 + x - 1$ pelo método da bisseção (a partir do intervalo $[0, 1]$) e pelo método de Newton (a partir de…
Nos exercícios anteriores aproximaste o zero de $f(x) = x^3 + x - 1$ pelo método da bisseção (a partir do intervalo $[0, 1]$) e pelo método de Newton (a partir de $x_0 = 1$).
- a) Quantas iterações do método da bisseção são necessárias para garantir um erro inferior a $0{,}01$?
- b) Com o método de Newton, quantas iterações bastaram para obter uma aproximação com erro inferior a $0{,}01$?
- c) Compara a rapidez dos dois métodos e explica, com base na construção geométrica de cada um, por que razão o método de Newton converge, em geral, mais depressa.
- d) Indica uma situação em que o método de Newton pode falhar, relacionando-a com o valor de $f'(x_n)$.
Em resumo
Voltando ao início: a calculadora obtém $\sqrt5$ de forma semelhante ao que fizeste aqui, com $f(x)=x^2-5$ e a fórmula $x_{n+1}=\tfrac12\left(x_n+\tfrac5{x_n}\right)$, e poucas iterações chegam para dezenas de casas decimais.