Composição de funções

Dadas as funções $f(x) = 3x + 2$ e $g(x) = x^2 - 1$, calcule o valor numérico da composição $(g \circ f)(2)$.

Considere as funções $f(x) = x - 2$, $g(x) = 3x$ e $h(x) = x^2$. Calcule o valor numérico da composição sucessiva $(h \circ g \circ f)(4)$.

Observe o seguinte gráfico onde se representam as funções $f(x)$ (em azul) e $g(x)$ (em verde). A partir da informação visual e sem necessidade de obter as suas expressões algébricas, determine os valores numéricos de $(f \circ g)(2)$ e $(g \circ f)(-1)$.

Encontra a expressão algébrica da função composta $(f \circ g)(x)$ sabendo que $f(x) = 5x - 4$ e $g(x) = x^2 + 3x$.

Dadas as funções racionais $f(x) = \frac{2}{x}$ e $g(x) = x + 3$, determine a expressão simplificada de $(f \circ g)(x)$ e a de $(g \circ f)(x)$.

O custo diário de produção de $x$ peças numa fábrica é dado pela função $C(x) = 15x + 500$ euros. O número de peças que uma máquina monta em $t$ horas de funcionamento contínuo é $x(t) = 40t$. Exprime o custo de produção em função do tempo de funcionamento da máquina e calcula o custo total após um dia de trabalho de $8$ horas.

Ao lançar uma pedra num lago, forma-se uma onda circular cujo raio aumenta com o tempo segundo a função $r(t) = 2,5t$ (com $r$ em centímetros e $t$ em segundos). Sabendo que a área do círculo é dada por $A(r) = \pi r^2$, determine a função $(A \circ r)(t)$ que descreve a área em função do tempo e calcule a área da superfície afetada aos $4$ segundos.

A procura elétrica de uma cidade, em megawatts, depende da temperatura ambiente segundo a função $D(T) = 50T^2 - 100T + 200$. Por sua vez, a temperatura varia com o tempo, em horas, segundo $T(t) = 1,5t + 10$. Calcule a procura elétrica exata que haverá decorridas $6$ horas.

Um balão aerostático esférico é inflado por meio de um compressor que injeta ar a um ritmo constante, de modo que o seu volume em metros cúbicos é dado por $V(t) = 12t$ (com $t$ em minutos). Sabendo que o volume de uma esfera é $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ e a sua superfície é $S = 4\pi r^2$, determine a função composta $S(t)$ que fornece a superfície do balão diretamente em função do tempo decorrido.

Utilizando as funções $f(x) = 5x - 4$ e $g(x) = x^2 + 3x$, determine a expressão de $(g \circ f)(x)$ e verifique analiticamente que a composição de funções não é comutativa.

Verifique analiticamente que, ao compor a função $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ com a função identidade $I(x) = x$, se obtém a mesma função original. Calcule e simplifique tanto $(f \circ I)(x)$ como $(I \circ f)(x)$.

Uma loja de eletrónicos aplica um desconto de $15\%$ a todos os seus produtos, o que é modelado pela função $d(x) = 0,85x$. Além disso, um cliente tem um cupão de fidelidade de $20$ euros de desconto direto, modelado pela função $c(x) = x - 20$. Determine as expressões de $(c \circ d)(x)$ e $(d \circ c)(x)$. Qual a ordem de composição que mais beneficia o cliente se ele quiser comprar um computador cujo preço inicial é de $600$ euros?

Determine rigorosamente o domínio da função composta $(g \circ f)(x)$ sabendo que $f(x) = x - 4$ e $g(x) = \sqrt{x}$.

Dadas as funções $f(x)$ e $g(x)$, onde $f(x) = 2x$ se $x < 1$ e $f(x) = x^2$ se $x \geq 1$, e a função $g(x) = x + 3$. Determine a expressão analítica completa da função composta $(f \circ g)(x)$, prestando especial atenção aos intervalos de definição.

Considera as funções $f(x) = \sqrt{x + 3}$ e $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$. Realiza um estudo analítico rigoroso para determinar o domínio de definição da função composta $(f \circ g)(x)$.

Dada a função composta $h(x) = \sqrt{2x + 5}$, exprima-a como a composição de duas funções mais simples $(g \circ f)(x)$, indicando claramente qual é a expressão de $f(x)$ e qual é a de $g(x)$.

Sabendo que $f(x) = 3x + 2$ e que a função composta é $(g \circ f)(x) = 9x^2 + 12x + 5$, determine a expressão algébrica da função exterior $g(x)$.

Conhecemos a função polinomial de primeiro grau $f(x) = 2x - 3$, mas desconhecemos a expressão de uma segunda função $g(x)$. Não obstante, sabe-se que, ao compô-las, se obtém como resultado a função quadrática:

1. a) Encontra, fundamentadamente, a expressão algébrica de $g(x)$. Para isso, realiza a mudança de variável $u = 2x - 3$, isola $x$ em função de $u$ e substitui-o na expressão composta $(g \circ f)(x)$.
2. b) Verifica que a tua dedução está correta, calculando novamente $g(f(x))$ a partir da fórmula que encontraste para $g(x)$.
3. c) Argumenta se a função $g(x)$ encontrada é única ou se poderiam existir outras funções distintas que produzam exatamente a mesma composição com $f(x)$.

Decomponha a função composta $H(x) = \frac{1}{\sqrt{3^{\sin x} + 2}}$ como a composição sucessiva de quatro funções elementares $f_1, f_2, f_3, f_4$ de modo que $H(x) = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)(x)$. Indique claramente a expressão algébrica de cada uma das quatro funções.